冪指函數(shù)的研究

李 高,常秀芳

（山西大同大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山西大同037009）

1 概念

定義：形如

y=[u(x)]v(x)

的函數(shù)，稱為冪指函數(shù)[1-3]。

其中u(x)與v(x)都是自變量x的函數(shù)，定義域是u(x)、v(x)與[u(x)]v(x)同時都有意義的自變量x的取值。

在自變量的某個變化過程中，不定式 0∞、1∞、00、∞0型的函數(shù)極限[4-6]，一般都是冪指函數(shù)的極限。至于0∞、1∞、00、∞0型的冪指函數(shù)都可以經(jīng)過適當?shù)淖冃位癁檫@兩種類型，然后利用洛必塔法則求之。當然一部分的1∞型的冪指函數(shù)可以用第二重要極限求之。誠然1∞型不定式的冪指函數(shù)極限有第二重要極限這個利器解之，但并非是萬能的。

冪指函數(shù)象冪函數(shù)，但又不是冪函數(shù)；又象指數(shù)函數(shù)，卻又不是指數(shù)函數(shù)。因此，冪指函數(shù)的求導就不能按冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的顯函數(shù)導數(shù)公式直接求之。

2 對數(shù)法

冪指函數(shù)y=u(x)v(x)[ ]u(x)＞0取對數(shù)隱化，將顯函數(shù)化為隱函數(shù)，得

lny=v(x)lnu(x)。

2.1 求極限

對數(shù)法將顯函數(shù)變?yōu)殡[函數(shù)后兩邊取極限

limlny=lim[v(x)lnu(x)]，

因對數(shù)函數(shù)是連續(xù)的，極限號與對數(shù)符號交換位置得

lnlimy=lim[v(x)lnu(x)]，

由對數(shù)與指數(shù)互化的性質得

limy=elim[v(x)lnu(x)]。

2.2 求導數(shù)

冪指函數(shù)y=u(x)v(x)[u (x)＞0]經(jīng)過對數(shù)法得到的隱函數(shù)，利用隱函數(shù)以及復合函數(shù)的求導法則，兩邊求導得

即

3 恒等變形法

對冪指函數(shù)y=u(x)v(x)在求極限或求導時，除了用對數(shù)法之外，還可利用恒等變形法把冪指函數(shù)化成復合的顯函數(shù)來求之。

因為y=u(x)v(x)=eln[u(x)]v(x)=ev(x)lnu(x)，則

lim[u(x)]v(x)=elim[v(x)lnu(x)]

例1求函數(shù)y=(tanx)sinx的導數(shù)。

解法1：兩邊取對數(shù)得

lny=sinxlntanx，

兩邊再對x求導得

所以

y′=(tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

解法2：因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx

所以

y′=(esinxlntanx)′=esinxlntanx(sinxlntanx)′=

(tanx)sinx(cosxlntanx+secx)。

從例1也可得知，如果不明確什么是冪指函數(shù)，或用冪函數(shù)法則求導，結果得到 y′=sinx(tanx)sinx-1；或用指數(shù)函數(shù)法則求導，得y′=(tanx)sinxlntanx y′=xsinxlnx等都是錯誤的做法。

例2求函數(shù)的xli→m0+(tanx)sinx極限。

解法1：設y=(tanx)sinx，兩邊取對數(shù)得

lny=sinxlntanx

等式兩邊取極限得，

解法2：因 y=(tanx)sinx=eln(tanx)sinx=esinxlntanx，

所以

總之，首先觀察函數(shù)，確認為冪指函數(shù)后，是采用對數(shù)求導法還是恒等變形法，是非常重要的一環(huán)。