關于函數冪級數展開與應用的探討

趙梓燕

摘 要：本文以平時可能遇到的數學問題中的實例為主線，探討了冪級數展開的條件；并充分的運用冪級數于求解函數值的近似計算、高階導數、定積分、級數和、極限等問題；巧妙地運用級數解決差分問題的求解、不等式的證明，而這對于培養學生思維，拓展學生的數學視野極有好處。

關鍵詞：冪級數 展開式 應用 計算

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2019）05-0067-02

1 引言

冪級數是一類簡單的函數項級數，其簡單的結構形式和和特殊性質使之成為一種有效的計算工具，本文將從介紹冪級數的相關知識著手，通過在數學中應用的一些典型例子對冪級數在不同問題中的應用進行分析與比較，總結不同的問題中應用了冪級數哪方面特殊性質，怎么樣應用的問題。從而讓我們能在不同的角度、不同的問題中更好地把握冪級數，應用冪級數的相關知識來解決我們遇到的問題。

2 冪級數的展開條件

2.1 冪函數的定義

由冪級數列an（x-x0）n 所產生產生的函數項級數

an（x-x0）n =a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n+…稱為冪級數。

2.2 冪級數的展開條件[1]

設函數f（x）在x0處具有任意階導數，那么f（x）在區間（x0-r，x0+r）內等于它的泰勒級數的和函數的充分條件是：對一切滿足不等式x-x0

證明：設f（x）的泰勒級數的前n項和為Tn（x）

則 Tn（x）=T（x）

由于，當x-x0

即， [f（x）-Tn（x）]=0

則， f（x）= Tn（x）

即：f（x）=Tn（x）

即f（x）在（x0-r，x0+r）內等于它的泰勒級數的和函數。

3 冪級數的應用

3.1 冪級數在計算中的應用

3.1.1近似計算。

例1.計算 的近似值，要求誤差不超過0.0001。

解：因為 = =3（1- ）

所以在二項展開式中取m= ，x= ，即得

=3（1- · - · - · -…）

于是取近似為 ≈3（1- · ）

其誤差為：

r2=3（ · + · + · +…）

< 3· · 1+ +（ ） +…

3.1.2 有關函數值的近似計算

在一些復雜函數的近似計算無法查表得到，把這類函數轉換成冪級數展開，在往往會使近似計算方便、精確。

例2.若函數f（x）=xarctanx-ln ，求f（1）。

解：因為f（x）=xarctanx-ln =arctanx

同樣將arctanx=x- + -…+（-1）n +…

兩邊積分，得：f（x）=xarctanx-ln

= - +…+（-1） +…

所以將x=1帶入，得f（1）。

可見，再求一些復雜函數的函數值時，可以想辦法將函數的展開形式寫出來，進而就會輕而易舉算出其所對應的近似值.掌握這種方法會給解決問題帶來很大方便。

3.2 在計算導數中的應用

求導數是高等數學中最基礎的知識，有些求導問題，冪級數法也是其中之一。

例3.求f（x）= 的n階函數。

3.3 在定積分計算方面的應用

利用冪級數不僅可以計算一些函數的近似值，而且還可以計算一些定積分的近似值，具體地說，如果被積函數在積分區間上能展開成冪級數，那么把這個冪級數逐項積分，用積分后的級數就可計算出定積分的近似值。

例4.計算 .

解： = dx = xe2πx（1+e2πx+…）dx

=- e-2πx| + - e-4πx - e-4πx| +- e-6πx - e-6πx| +…

= + + +…

= + + +…= · = .

以上例題說明，冪級數在函數值及定積分的計算中有著廣泛應用。對于用冪級數近似計算函數值，其思路和以前學過的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似.對于用冪級數近似計算定積分，特別是在某些被積函數的原函數不能用初等函數表示時，便顯示出冪級數方法的優越性。

3.4 冪級數在計算級數和中的應用

利用冪級數的性質，冪級數在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分可計算冪級數的和。

例5.解冪級數 的和函數。

解： = =0

所以收斂域為（-∞，+∞）

令s（x）= ，則s′（x）= =

所以s（x）+s′（x）= +

= = =ex

所以 s（x）+s′（x）=ex， s（0）=1

所以 s（x）= （ex +e-x）

所以 = （ex +e-x）.

3.5 冪級數在證明不等式中的應用

冪級數是表達函數的重要工具，巧妙利用函數冪級數展開式，能將問題從難為宜。

例6：證明當c≥ 時， （ex +e-x）≤eex ，x∈（-∞，+∞）不等式成立。

解： 由于（2n）！≥2n·n！，所以有：

= ≤ =e

所以有當c≥ 時，有 （ex +e-x）≤eex .

總之，通過函數冪級數的展開式，在證明一些特殊的不等式時，可以很起到簡便的作用。

參考文獻：

[1] 華東師范大學數學系：數學分析（下冊）[M].高等教育出版社，2001.6.

[2] 滕加俊.吉米多維奇數學分析習題集精選精解[M].東南大學出版社，2010.8.

[3] 舒陽春.高等數學中的若干問題解析[M].北京：科學出版社，2005：168-169.

[4] 梁慧.函數冪級數的展開和運用[J].中國新技術新產品，2008.09.

[5] Teman R.Infinte diensicnal dynamical systems in Mechanics and Physics[M].Springer-Verlag，NewYork，1997.