分布函數的關聯及應用分析

董羽恩

摘 要：本文分析了概率統計中離散隨機變量的概率分布函數的概念及性質，以及連續隨機變量中的概率密度函數的概念及性質，并在此基礎上深入分析不同形態分布函數（如指數函數、正態函數、均勻函數）的概率分布函數，并開展離散型隨機變量和連續型隨機變量分布函數的應用。

關鍵詞：分布函數;概率統計;應用分析

中圖分類號：O212.8 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）07-0245-02

0 引言

概率統計中的分布函數包括了離散變量的分布函數以及連續變量的分布函數，概率統計中針對離散變量的分布函數稱為概率分布函數[1-3]，針對連續變量的分布函數稱為概率密度函數[4-6]。以離散變量X的分布函數為例，其分布函數是指該隨機變量X落在特定區間上的統計概率，其概率的表述形式定義如下：

定義1：隨機變量X的值不大于任意實數x的值，即F（x）=P{X≤x}

定義2：隨機變量X的值小于任意實數x的值，即F（x）=P{X

引入隨機變量X后，可利用分布函數來解決關于取值、取值范圍或取值、取值范圍的概率問題，即可研究隨機事件的出現概率及次數，以擲硬幣為例：

將一枚硬幣連拋三引入隨機變量X后，可利用分布函數來解決關于取值、取值范圍或取值、取值范圍的概率問題次，觀察硬幣正反面向上的情況。其中全部正面向上有1次;全部反面向上有1次;3次2枚硬幣正面向上，1枚硬幣反面向上;3次2枚硬幣反面向上，1枚硬幣正面向上。其中正面向上的次數分別為3次、0次、2次與1次。設X為硬幣正面向上的次數，利用分布函數描述X出現的可能性的概率，即分布函數為P{X=2}=3/8、P{X≤2}=7/8、P{X≥1}=7/8。

F（x）是一個增函數，且F（x）∈[0，1]，F（x）在負無窮的值為0，在正無窮的值為1，即：

F（-∞）=limx→-∞F（x）=0，F（+∞）=limx→+∞F（x）=1? ? （1）

F（x）是一個右連續函數，即F（x+0）=F（x）。對于連續性隨機變量X的分布函數f（x）是一個積分函數，即有F（x）=f（x）dx。

分布函數是一個概率值，可以表示為區間的形式，即為P{a

1 分布函數的內涵及關聯

1.1 分布函數的分類

（1）累積分布函數。對離散變量而言，所有小于等于a的值出現概率的和，即Fx（X）=P（X≤x）。假設累積分布函數在負無窮到正無窮的值域為[0，1]，那么函數在定義域內單調遞增或單調遞減，具有右連續性即為F（x）=Fx（x0）。以像素大小圖像的最大灰度級為例，設M×N像素大小圖像k（h）具有灰度級，灰度級的取值范圍為[0，V-1]。k（h）除以圖像總像素個數為灰度級分布概率k（g）。圖像的累計概率分布f（t）為k（g）的前g項（g

（2）均勻分布的分布函數。在區間[a，b]上服從均勻分布的隨機變量X，落在區間[a，b]中任意等長度的子區間內的可能性是相同的。以隨機變量X為例，求均勻分布函數F（x）的值。當Xb時，F（X）=f（x）dx+f（x）dx+f（x）dx=f（x）dx=dx=1。因此，均勻分布函數的分布函數為：

（3）指數分布的分布函。指數函數的分布函數的特點為事件以恒定平均速率連續且獨立地發生的過程，如醫院嬰兒出生、公司接到電話的頻次、某超市每天出售奶粉的頻次都屬于指數分布函數，它們的共同特點為可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。以嬰兒出生頻次為例，假設某段時間內嬰兒的出生概率，已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？

由于事件的不確定性，因此服從泊松分布，假設此事件泊松分布的定義為：

1.2 連續型變量分布函數的應用

例1假設連續型變量Y的分布函數W（Y）=，那么求連續變量Y的概率密度函數;求Y∈[0.25，0.75]區間函數W（Y）的概率密度函數。

解：對于連續變量Y其分布函數稱作概率分布函數，因此其概率密度函數為其分布函數的導數。假設其概率密度函數為g（y），則可得g（y）=W'（y），由已知W（Y）的函數分布形式為分段函數，因此對于概率密度分布函數分別求解每一段可表述為：

1.3 離散型變量分布函數的應用

假設離散隨機變量Y的分布函數表述為：F{Y}，那么F{Y}=P{Y≤y}。

例2：設離散隨機變量Y的分布概率為：

那么，求出Y的分布概率函數F{Y}。

解：首先離散型隨機變量的概率分布函數的定義為 F{Y}=P{Y≤y}。即每一個y值對應一個確定的分布函數，即具有一一映射的關系。由圖中的離散關系，可將Y值的定義域分布如下的區間：[-∞，-1]，[-1，0），（0，1]，[1，2），[2，+∞）五個區間。因此，其對應的概率分布函數為：

2 結語

本文在分析分布函數含義及概念的基礎上，舉例分析分布函數的性質及內涵，并通過分布函數與其它相關函數的關聯分析，給出均勻分布概率函數的定義及性質，累積分布函數的概念及性質，并在此基礎上分析了累積分析函數的圖像應用，以及指數分布函數的概念及性質。最后在此分析的基礎上開展了連續型隨機變量和離散型隨機變量分布函數的應用。

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