教學生具有生長力的數學

孫凱

【關鍵詞】設計意圖;教學思考;生長能力

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）19-0040-04

一、問題的提出

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，引導學生感受數學的整體性。因此，在平時的知識教學中，找準知識的生長點，選好生長路徑，教給學生具有生長力的數學尤為重要。“圓周角”是初中數學教學中的一個重要內容，尤其是圓周角的概念及定理經常被選作各級各類教學比賽的課題，受到廣大一線教師的普遍關注。

蘇科版數學九年級上冊第二章第四節“圓周角”共安排了3課時的教學內容，分別為“圓周角概念及定理”“圓周角定理的推論”“圓的內接四邊形”，其中“圓的內接四邊形”作為“圓周角”的第3課時，主要探究的是內角間的數量關系。截至2018年12月在中國知網以“圓周角”為主題，檢索到相關論文1581篇，在與圓的內接四邊形有關的65篇論文中，只有4篇是談論圓的內接四邊形的教學，可見教師研究的關注點一般聚集在圓周角的概念和圓周角定理的教學上，圓的內接四邊形的教學沒有得到應有的關注。于是，筆者在執教這節課時做了以下思考：圓的內接四邊形作為簡單的教學內容，如何挖掘其內涵與外延，讓其最大化地發揮教學價值;如何使學生的知識生成自然流暢，明晰前后知識間的內在聯系;如何在學會數學知識的過程中，發展學生的數學能力。

二、教材簡析與聚焦的問題

本節課之前，學生已經學習了圓周角定理及其推論，具備了探索圓的內接四邊形的知識和能力基礎。教材上呈現的教學內容分為四個板塊，一是圓的內接四邊形的定義，二是思考并探索對角的數量關系，三是例題教學，四是練習鞏固。顯然，教材是類比圓的內接三角形的編排流程，先給出圓的內接四邊形的定義，然后引導學生探索其對角間的數量關系，形成圓內接四邊形的性質定理，最后應用定理解決問題。在此過程中讓學生經歷由特殊到一般的思考與探索，體會由特殊到一般，再由一般到特殊的數學思想。結合以上分析，筆者在構思教學設計過程中，主要聚焦于以下三個問題：為什么要學習圓的內接四邊形？（知識生成的問題）怎樣學習圓的內接四邊形？（學習方法的問題）學生通過學習會有哪些收獲？（教學價值的問題）

三、教學立意

2011年版課標指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。”因此，在教學引入環節，注重知識的前后聯系，引導學生經歷知識的生成過程，體悟圓的內接四邊形的來龍去脈。在探索活動環節，以開放性的學習任務，驅動學生主動參與探索活動，培養探究能力，幫助學生自主內化知識結構。在啟發指導環節，以高價值的問題引領學生自主參與高階思維活動，注重學習方法的指導與思想的浸潤，幫助學生形成完整的認知結構，提升數學思維能力。最終實現明晰知識生長脈絡，內化知識結構，發展數學關鍵能力的教學效果。

四、教學過程

1.由點到線，串珠成鏈，生長知識。

基礎知識的教學是課程標準總目標的具體體現，是課堂教學的基本要求。教材是教師實施教學的“藍本”，理解教材是課堂教學的立足點。研究教材文本不難發現，本節課在知識層面要求學生了解圓的內接四邊形的定義，探索并掌握圓的內接四邊形的性質定理。采用開門見山、直奔主題的教學設計，就知識目標而言，是容易達成的。但遺憾的是學生并不明白圓的內接四邊形的來龍去脈，也不明白為什么要學習它或者它有什么研究價值？生長源于內在渴望與外部環境的作用，學生的數學學習體系也要讓其在一定環境中自內而外地生長。[1]數學教育家弗萊登塔爾反復強調：學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是中學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來。[2]

問題1：點與圓的位置關系有哪幾種？哪一種關系比較特殊？如圖1，點A在圓上，你想到什么？

設計意圖：復習回憶點與圓的位置關系，引導學生思考兩方面內容，一是我們近期學習圓的有關內容都是在點與圓的位置關系的大背景下完成的，二是研究點在圓上的相關知識是因為其相對特殊的位置關系，進一步感悟數學研究對象的特殊化與具體化。

問題2：根據前面圓的學習經歷，結合圖2、圖3分別說說圓上有兩個點、三個點時，你想到哪些相關的數學知識？并用數學語言予以描述。圓上有4個點呢？你能想到什么？

設計意圖：在問題的引導下，學生結合圖形自主回憶舊知，自覺整理知識的內在聯系，優化知識結構，明晰本節課之前所學內容的內在主線，從宏觀上把握所學內容，體會圓的內接四邊形作為學習對象的必然性與必要性。從2個點到3個點再到4個點甚至延伸至5個點，自然生長出本節課探究的主題。在整個問題互動過程中，學生不僅明晰了知識間的內在聯系，更為未來學習指明了方向。

問題3：圓的內接四邊形作為探索對象，我們探索什么？

設計意圖：問題的提出意在引發學生思考并確定探索方向與策略。教學中應引導學生首先回憶探索“四邊形”的經歷，思考有沒有可借鑒的經驗或方法，“內接四邊形”又該如何探索？驅動學生積極參與思考，更為學有余力的學生指明進一步探索的方向，比如相交弦定理、托勒密定理等。

圓的內接四邊形源于圓上任意4點，“由點到弦”是本節課知識教學的“生長路徑”，因此，圓上的點是本節課學生學習的起點。從圓上的任意點的視角，讓學生經歷由點到弦的“創造”與生長過程，經歷一點到多點和一弦到多弦的生成過程，體悟圓的平行弦、相交弦、垂直弦和內接四邊形等知識的來龍去脈，也為后續圓的內接多邊形、內接正多邊形等知識指明生長路徑。以“圓上的點”作為教學的“生長源”，形成知識的“生長鏈”，能幫助學生建立數學知識間的橫向和縱向聯系，進一步深化對新知識的理解。

2.猜想探索，推理歸納，生長脈絡。

學生數學知識的習得包含兩個基本過程：其一是知識的產生、發展與形成的過程，其二是學生對知識的認知過程。生長數學提倡學為中心的課堂設計理念，教學設計要求尊重學生的認知水平，緊貼最近發展區，遵循知識的生長規律。學為中心的課堂教學是指基于學情分析，聚焦學生的學習起點，關注達成教學目標的教學方式、教學方法和教學路徑，圍繞學生實施教學組織的教學形式。因此，在探索性質定理的活動中，應準確把握學生的學習起點，啟發學生利用好特殊的圓周角（特殊的弦），使知識的生成、生長符合學生的認知規律。

問題4：如圖4，圓的內接四邊形的對角存在什么關系？你是如何說明的？

設計意圖：教師明確本節課探索主題為“角”，逐步明晰探索對象為“對角”，即圓周角，隨之引導學生從圓周角特殊化的視角逐步確立由特殊到一般的探索路徑。根據課堂的生成情況，適時引導學生從弦特殊化的視角完成探索與說明，體會化歸的數學思想方法，經歷合情推理與演繹推理等活動過程，發展學生的數學探究能力。

問題5：如圖4，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C和∠D還有怎樣的數量關系？

設計意圖：引導學生感悟在四邊形內角和為360°的背景下，引入圓的內接四邊形對角互補的性質定理，此時四邊形的四個內角關系形成新的特征，比如比例關系等，以實現新知識再生長的目的。

為幫助學生理清知識的生長脈絡，經歷知識的“再創造”過程，整體把握圓各章節知識的內在聯系，落實生長的教學理念，筆者以“圓上的點”作為教學的主線，抓住知識的“生長點”與“生長路徑”，設計問題引導學生以“生成、生長”的視角整體把握知識，內化知識結構，明晰知識的生長脈絡，形成系統化的知識體系（如圖5）。這樣的教學設計，有利于學生在生長知識的過程中，既解決為什么學、學什么的低階問題，又體悟怎么學的高階問題。

3.學以致用，浸潤思想，生長能力。

數學能力是數學核心素養的重要組成部分。北京師范大學曹一鳴教授指出：數學核心素養在一定程度上表現為某些數學學科能力。數學教學中，注重“探索發現”和“演繹證明”的有機結合，有利于實現“增強學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”的課程總目標。[3]

問題6：如圖6，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若點E在AD上，求∠AED的度數。

追問1：∠DEF=______，你有什么猜想或發現？

追問2：∠BOD=______，你又有什么發現？

試用數學語言描述你的發現。

設計意圖：在圓的內接四邊形中設計求角的問題，有利于驅動學生自覺使用圓內接四邊形的性質定理，學以致用，感受性質定理的優越性。圖形中的內接四邊形既有顯性的，也有隱性的，需要學生自主建模，以此體會化歸的數學思想方法。通過追問，引領學生自主探索獲得新發現，體驗數學之美，使數學思想的浸潤達到潤物無聲的效果。

若把知識的教學看作一堂課的起點，那么能力的發展就是一堂課的終點，更是一堂課的應然追求。在教學中，給學生提供充分的探索空間與時間，使其經歷獨立思考、探索發現、合情推理、演繹證明等高階思維活動，在掌握基礎知識、基本技能的同時，積累數學活動經驗，學習數學思想方法，發展學生的數學能力。

例如在問題6的教學中，滲透化歸、特殊到一般等思想方法，使知識與思想方法的教學相融合，發展學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。又如在問題3的教學中，在確立探索“角”的主題方向時，為了充分挖掘“生長源”的潛在教學價值，可適度引導學生提出一些有關“邊”“對角線”的數學問題或數學猜想，供學有余力的學生課后探索之用，增強學生的探究意識和探究能力，培養學生的創新意識和創新能力。

總之，一節有正確價值取向的數學課，必須以課標為依據，以對教材的理解為基礎，以學生的認知規律為指導，在師生積極參與的探索活動中理性思考，不斷發展學生的數學能力。

【參考文獻】

[1]卜以樓.“生長數學”：數學課堂教學的愿景[J].江蘇教育：中學教學，2017（2）：33-35.

[2]曹一鳴，等.基于學生核心素養的數學學科能力研究[M].北京：北京師范大學出版社，2017：9，14.

[3]教育部基礎教育課程教材專家委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：203.