小學數學課堂學程單的應用

張福升

[摘?? 要] 朱熹說：“學起于思而貴有疑。”傳統的課堂是以教材內容編排或者教師教學活動為核心展開，這樣的教學方式并不利于呈現學生的思維，引發學生的疑問。學程式課堂就是希望以學程單為媒介，突出學生學的經歷，淡化教師教的過程，讓提問、質疑、反思促進學生學習自主。具體做法有：倡導多元思考，呈現真實的數學課堂;鼓勵體系建構，厘清知識的來龍去脈;善于自我反思，探索未知的知識領域。

[關鍵詞] 學程單;提問;探索;交流

當今的時代信息高度發達，信息攝取方式極其多樣化。教學方式也應當是隨著孩子的發展而與時俱進。孩子的知識來源多而龐雜，不能按照教學進度亦步亦趨、層層推進，所以有的孩子對課堂知識有更深一步的思考，有更進一步的追問，有更深入的學習需求。老師應該順勢而為，把提問的權力、質疑的權力、反思的權力還給學生——前提是提出的問題有價值，質疑的對象有意義，反思能夠引發新的問題。借助學程式課堂改革和學程單的應用，學生在學習中有疑惑，有思考，有真學習。

一、倡導多元思考

在五年級“真分數和假分數”一課的學習中，認識多個分數以后，要給黑板上的分數進行分類并下定義。教師在孩子的學程單上呈現出所有的分數：[1/4、2/4、3/4、4/4、5/4、6/4、7/4、8/4、10/4、20/4。]

師：仔細觀察這些分數，你能不能按照一定的標準給這些分數分分類？（同桌2人討論一下分類方法。）

師：誰來說一說你們按什么標準怎么分類的？

生1：分子大于分母的一類，分子等于分母的一類，分子小于分母的一類。

（師隨機貼出黑板條，追問：他是按照什么分類的？）

生2：分子和分母的大小關系。（板書：分子與分母的大小關系。）

師：這里的每一類都有哪些分數？

生3說后老師出示板書。

師：還有不同的分類方法嗎？

生4：把用1個圓表示的放在一類，2個圓的一類，3個圓的一類，5個圓的一類。

生5：那如果有7個圓、8個圓、10個圓的，豈不是我們要分好多類啊？

生4：……

生5：可不可以這樣，只用1個圓解決的放在一起，多于一個的分成另一類，分兩類。

師：如果按照數字來看，生5實際上是以哪個數字為標準給這些分數進行分類呢？

生4：噢，我知道了，他是在用分數和1的大小比較來分類的。（板書：和1的大小關系）

生6：還可以把分子是分母的倍數關系的放在一類，其他的分成另一類。（板書：是否存在倍數關系）

師：分類是一種重要的數學思想方法，它給我們提供了進一步深入研究學習的機會。三位同學的分類都非常好：可以按照分子分母的大小關系分;可以以1為標準按大小分;也可以按照分子分母是否有倍數關系分。大家在以后的學習中都能找到這三種思考方法的影子。今天這節課，我們就重點研究按照分子與分母的大小關系進行的分類。這里每一個類別你還能舉例說出一些分數來嗎？（學生說，老師豐富板書。）

師：其實這些分數在數學上都有各自的名字，你們想知道嗎？請同學們把書翻到第38頁，自學第38頁最后2行的內容。

師：從書上你都了解到什么？

生：我了解到分子比分母小的分數叫真分數;分子比分母大或者分子和分母相等的分數叫假分數。（師和生一起歸類板書。）

師：這就是今天這節課所要學習的內容“真分數和假分數”。（師板書課題。）

剛才在分類的時候，有同學提到了“與1的大小關系”。現在你們能結合圖再來看一看，這些真分數、假分數與1相比各有怎樣的關系嗎？

（在生的回答中完成板書：真分數<1，假分數≥1。）

師：是否存在這樣的關系，我們還將繼續學習！

在充分放手、班級交流研討的寬松氛圍下，孩子們變得敢想、敢說，課堂參與度明顯提高了，思考也變得更真切了。通過對過程性細節的質疑與討論，不知不覺中，從模糊變得清晰。在這一段討論中，不同的孩子從不同的角度思考與解釋——可以按照分子分母的大小關系分，可以以1為標準按大小分，也可以按照分子分母是否有倍數關系來分類。借助實物分類、建立表象思考、最終分類抽象，這其實是代表了完整的一個數學概念的建構過程，通過班級討論與交流，把它們全部呈現出來，有助于不同認知水平的學生從自己的角度去理解進而解決這個問題，并最終構建適合于自己的知識結構體系。

二、鼓勵體系建構

蘇教版小學數學六年級總復習——“平面圖形的面積整理與復習”，通過整理希望讓學生進一步弄清長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積公式的關聯，構建知識網絡，形成系統，進一步體會公式與公式之間的聯系。通過復習，學生能根據長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式解決一些簡單的實際問題，進一步體會數學與生活的聯系，感受數學的價值，增強學習數學的興趣。

師：我們學過的平面圖形有哪些？（長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形）

師：你能把它們的面積公式之間的關系用畫圖的方式表示出來嗎？

（學生借助學程單分組研究，討論反饋。）

小組A反饋知識結構圖（學生看圖口述）：

（1）以三年級學習的長方形面積計算方法S=ab為起點，首先推導出正方形面積計算公式S=a2 ;

（2）五年級利用切割和平移以及長方形面積計算方法推導出平行四邊形面積計算方法S=ah;利用切割以及無限細分的策略，推導出圓的面積計算方法S=πr2，滲透極限的思想;

（3）利用旋轉、拼接的方法以及平行四邊形面積計算方法推導出梯形和三角形的面積計算方法S=ah÷2;S=（a+b）h÷2。

小組B反饋知識結構圖（學生看圖口述）：

（1）以平行四邊形為中心，通過切分可以推導出三角形、梯形的面積計算方法;

（2）以平行四邊形為中心，通過切割、平移可以推算出長方形、正方形的面積計算方法;

（3）如果圓形在均分時份數較少，圓形轉化后更接近一個不規則的平行四邊形，所以圓的面積計算方法在細分份數較少、較多時分別接近平行四邊形和長方形，細分份數越多越接近長方形，直到份數無窮大等于長方形面積為止。

A小組的平面圖形面積計算公式的聯系結構圖比較常見。在整個小學階段，按照教材的編排體系，按照知識習得的先后順序，把它們整理出一個具有內在聯系的完整結構。雖然和教材上呈現的方式稍有區別，但是從本質上來說，是完全一致的，屬于“中規中矩”的知識結構體系。

B小組的整理結構圖體現出了比較差異化的思維方式，一般孩子都是以長方形面積計算公式為平面圖形面積認識的起點，但是這個小組卻以平行四邊形為中心點，往外輻射出其他所有小學階段的平面圖形面積計算方法，而且全部都能夠“言之有理”，在他們的結構圖中，運用了平移、切割、轉化、拼接等各種數學策略。

綜合來看，借助學程單為媒介，結合教師給的開放性的大問題，利用指定的素材、自由的討論，兩組學生都形成了屬于自己的、完整合理的知識結構體系，A小組更加線性化，以知識習得的時間線為軸;B小組更加結構化，以知識間的內在聯系為軸。無論如何建構，開放的學程單都給與了孩子足夠的思考時間、思考空間，也有了整理思路使之顯性化的媒介，充分體現了以學生的學為中心，以學生的素材為教學資源，變“教程”為“學程”的核心思想。

三、善于自我反思

蘇教版六年級下冊第四單元是“比例”。在學生認識了比例的意義后，進行概念的強化練習。學程單：判斷下面每組的四個數是否可以組成比例，完成后再看看你還有什么發現？

（1）5、7、15和21?（2）2、4、6和8

（3）4、3、[13]和[14]?（4）[35、15、9]和3

學生完成練習后，匯報反饋。

師：對于這四道題目，你還有什么想說的嗎？

生1：老師，我有一個問題，以第二題為例，是不是只要四個數是等差數列，這四個數就不能組成比例呢？

生2：一個例子恐怕不能說明問題，我們可以再舉幾個例子驗證一下。

師：同意，誰來為大家舉幾個例子？

生3：1、2、3、4。

師：口算一下，可以組成比例嗎？

生齊：不可以（1×4<2×3）。

生4：0.8、1.6、2.4、3.2。

生5：不可以，觀察一下0.8乘3.2和1.6乘2.4的尾數就知道結果不可能相同，他們不可以組成比例。

生6：[74、54、34、14]

生7：不可以，從數值大小觀察，兩個中間數和首尾數的乘積不相等。

師：通過大家剛才的驗證，我們發現，無論是四個整數、小數還是分數組成的等差數列，都不能組成比例。可是，我們不可能把所有的例子全部舉完啊！到底該怎么證明四個數如果構成等差數列，那么，它們就一定不能組成比例這個結論呢？

生齊：用字母來表示！

師：你們分小組合作，試試看能不能解決這個問題。

A小組：我們組舉的例子是x，x+a，x+2a，x+3a。

證明過程： x×（x+3a）??????????? （x+2a）×（x+a）

=x2+3ax?????????????? =x2+ax+2ax+2a2

=x2+3ax+2a2

利用乘法分配律算出結果，把兩個式子的答案對比一下：x2+3ax和x2+3ax+2a2。假設這四個數能夠組成比例，那么x2+3ax = x2+3ax+2a2，也就是說2a2=0，即a2=0。而平方以后還等于0的數，只有0，所以結論是a=0。

通過以上的推理，我們可以得出結論，除了公差為0的四個數組成的等差數列（也就是四個一樣的數），其他所有組成等差數列的四個數，都不能夠組成比例。

學生個體所具有的反思角度、思考深度，引發出這個極具價值的數學問題。雖然在討論交流中牽涉到了一些目前他們還不夠熟悉的方法，但是教師適當指導，引領他們探索未知的數學領域，還是一件極具價值的課堂體驗。數學課程課標提倡把提問的主動權交給學生，鼓勵學生自由思考，自主發現，著力培養學生提問的習慣、批評爭論的習慣、合作探究的習慣，為學生的自主學習、終身學習奠定堅實的基礎。

“學起于思而貴有疑”，既然鼓勵孩子主動發現問題，提出問題，那么我們就應該給他們時間進行反思并解決問題。在適當的時候，可以讓學生主導的“學程”來替代教師既定的“教程”。作為老師，我們是否能夠說到做到，下放權力——真的在課堂上讓孩子有提問的權力、質疑的權力、反思的權力？借助學程式課堂變革，借助學程單這個媒介，學生腦海中的疑變得顯性化，變得可討論、可解決，課堂從“教程”走向“學程”，真正讓孩子們做課堂的主角、學習的主人！

參考文獻

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