淺談中學數學教材中的分類思想

高興霞

摘 要：分類討論是中學數學重要的思想方法之一，在具體教學中培養學生的分類意識并形成運用這一思想解決問題的能力，具有重要的意義，這也是教師探索實踐的任務之一。通過對教材中所蘊含的分類思想加以簡單論述，借以說明從教材著手深入探討、研究教材中的分類思想，是教師引導學生培養分類意識，運用分類思想解決問題的重要方法之一。

關鍵詞：分類討論；數學思想；探索實踐

分類討論是中學數學教學思想方法之一，它是解決較復雜數學問題的有效方法，是人們實事求是、區別對待處理問題的一種思維方式，運用這一方法有助于把抽象的、繁雜的問題轉化為若干簡單問題，然后各個突破，逐一解決。

但是，有很多學生對怎樣的題用分類討論的方法、如何應用分類討論以及在分類時對分類的標準應如何確定等問題都感到比較棘手。因而，如何在教學中培養學生的分類意識并逐步形成運用這一思想解決問題的能力，一直是教師探索實踐的任務之一。

筆者認為，蘊含在教材中的分類思想是最真實、最基本，也是最具活力的第一手材料。深入研究并認真體會滲透在教材中的分類思想，才能幫助學生學好分類討論思想，培養學生的分類意識，才不至于使這一思想成為無水之源。

首先，教材中有些數學概念，在定義時就進行了分類定義，如a的絕對值，就是按a>0，a=0，a<0三種情況定義的。因此對式中含有絕對值的問題，在去掉絕對值進行化簡時，就要分類處理。

例1 方程x|x|-5|x|+6=0的最大根與最小根之積為（ ）

A.-6 B.-3 C.3 D.6

解：易知x=0不是原方程的解，當x>0時，原方程可化為x2-5x+6=0，所以x1=2，x2=3；當x<0時，原方程可化為-x2+5x+6=0所以x3=-1，x4=6（舍去），最大根為3，最小根為-1，積為-3，故選（B）。

教材中對概念的分類定義還有很多，諸如P點分有向線段所成的比：？姿>0時，P為內分點，？姿<0時，P為外分點；直線的斜率，α≠90°，k=tanα，α=90°，k不存在，等等。認真理解并體會這些概念的分類定義后，在具體的問題中，當遇到與這些概念相關的問題時，就會自然而然地想到分類，而且也非常明確分類的標準。

其次，有些函數性質本身就是分類表述的，如二次函數、指數函數、對數函數等。對數函數y=logax，當01時，函數在定義域內是增函數。

總之，教材中的有些概念、性質、公式，還有一些定理以及圖形的位置關系等，都不能在某個統一的標準和前提下進行闡述，為了使問題更清晰、更透徹、更深入、更科學，應運用分類定義及說明。筆者所舉例題僅是教材中蘊含的分類思想的點滴，還有很多豐富的分類思想隱含在教材的知識體系中，相信只要在平時教學中深入探討研究教材中的分類思想，對培養學生這一數學思想，并用其來解決數學問題是大有裨益的。

編輯 馮志強