彈性安裝條件下機械設備自由振速測量方法*

王 真, 趙志高

(1.武漢紡織大學機械工程與自動化學院 武漢, 430200) (2.武漢紡織大學數字化紡織裝備湖北省重點實驗室 武漢,430200) (3.武漢第二船舶設計研究所 武漢,430205)

引 言

設備振動源特性用于表征機械設備振動的固有特性。描述設備振動源特性的關鍵問題是源特性表征量的選取及其獲取方法。Breeuwer等[1]提出采用自由振速 (free velocity) 描述設備的振動源特性，自由振速[2]是指設備在自由懸掛條件下測得的設備機腳的振動速度，自由振速不受測量環境的影響，能夠表征設備振動的固有特性。目前，自由振速作為設備源特性的表征量已經得到了認可，是描述設備振源特性的優選參數[3-11]。

但是，自由振速的獲取存在一定困難，主要原因是自由振速的直接測量條件苛刻，在工程中難以實施。Plunt[2]指出，自由振速的自由懸掛條件可以通過在設備安裝軟彈簧來近似滿足。原春暉[9]從工程實際出發，針對自由振速測量過程中的有效頻率范圍、設備安裝要求、測量環境和背景噪聲、隔振器選型以及測點布置等問題進行了詳細的分析。朱正道等[10]歸納了測量設備自由振速的安裝條件，其實驗數據表明：若隔振器上下端的振級差達20 dB，可將測得的設備振速作為自由振速。嚴斌等[12]的研究表明，當機腳阻抗與隔振器阻抗失配程度達10倍以上時，測得的機腳振速可作為自由振速。

上述研究表明,當隔振系統滿足一定條件時，可將彈性安裝條件下的設備機腳振速近似作為自由振速，但是此結論僅基于實驗數據，而并未進行理論證明及其誤差分析。鑒于此，筆者開展了彈性安裝下設備自由振速測量方法的理論研究和實驗驗證。首先，利用阻抗綜合分析法建立動力學方程；然后，利用有效點導納分析了隔振系統對自由振速的影響規律，獲得了自由振速與機腳振速之間的關系，進而提出了自由振速的測量方法；最后，對該測量方法進行了理論誤差分析，用有限元模擬和實驗驗證了該方法的正確性。

1 理論分析

1.1 基于阻抗分析的多點耦合隔振系統建模

如圖1所示，對由設備、彈性支撐以及基座所構成的單自由隔振系統，可采用阻抗綜合分析方法，建立系統多點多激勵的動力學模型。

圖1 單層隔振系統簡圖Fig.1 Diagram of single raft system

設設備機腳的自由振速向量為V0，安裝隔振器后，設備機腳的振動速度向量為Vu，基座安裝點處的振動速度向量為Vb,Hu為隔振器與設備連接點所構成的導納矩陣，Hb為隔振器與基座連接點所構成的導納矩陣,Fu和Fb分別為隔振器作用在設備和作用在基座上的激勵力向量。

根據導納函數的定義，對設備建立以下模型[13]

Vu=V0-HuFu

(1)

其中：Hu為設備機腳所構成的導納矩陣。

其表達式為

(2)

同理，對于基座有

Vb=HbFb

(3)

對隔振器，根據四端參數模型可得

Fu=Z11Vu+Z12Vb-Fb=Z21Vu+Z22Vb

(4)

其中：Z11，Z12，Z21和Z22分別為隔振器阻抗矩陣。

由式(1)～(4)可得單層隔振系統的動力學方程為

(5)

由式(5)可知，多點耦合的單層隔振系統的變量互相耦合，設備在不同安裝點之間的振動速度也是耦合的，無法直接分析隔振系統對自由振速的影響。因此，本研究引入有效點導納的概念，將多輸入多輸出耦合系統轉化為多個單輸入輸出系統，在此基礎上分析隔振系統對設備自由振速的影響。

1.2 基于有效點導納的自由振速估算

有效點導納是指單個接觸點處、單方向上實際振動速度與所有接觸點、所有激勵分量在該點產生的單方向實際力的比值。因此，在多點激勵下，考慮所有點不同自由度對測量點的影響時，有效點導納定義[9;14]為

(6)

對式(6)進行變形，得到如下有效點導納的表達形式[9]

(7)

式(7)中有效點導納包含4部分：a.原點導納;b.點互耦合;c.傳遞耦合;d.傳遞互耦合。

工程實際中一般忽略點互耦合和傳遞互耦合，僅考慮多點安裝的傳遞耦合的影響，并且由式(7)可知，有效點導納與激勵力的大小和分布有關，本研究采用文獻[9]的方法，認為力的分布是均勻的。因此，有效點導納可以表示為

(8)

將式(5)中的導納換成有效點導納，則多輸入輸出的耦合隔振系統就轉化成為多個單輸入輸出系統，則以任意一隔振器在設備機腳安裝點為研究對象，其動力學方程為

(9)

其中：v0為設備機腳的自由振速；vu和vb分別為設備機腳和基座安裝點處的振速；fu和fb分別為隔振器作用在設備和基座上的激勵力；Hu∑和Hb∑分別為設備機腳和基座安裝點的有效點導納；Z11，Z12，Z21和Z22分別為該隔振器阻抗。以上參數均為標量。

(10)

由式(10)可得

(11)

(12)

β與隔振系統隔振效果之間的關系為

(13)

由式(13)可知，隔振效果僅與隔振器和基座的阻抗有關。隔振量Δ越大，則β值越小。對于彈性安裝來說，實際工程中設備機腳的有效點阻抗要遠大于隔振器的阻抗，即

(14)

由于實際工程中彈性隔振系統的隔振效果一般大于10 dB，由式(12)可得

v0≈vu

(15)

式(15)表明：在彈性安裝條件下，在滿足式(14)的條件下，設備自由振速近似等于設備機腳的振速。所以，設備的自由振速可通過測量彈性安裝設備機腳的振速來獲得。

通過式(15)可以獲得此推論：當設備采用不同的隔振器時，如果兩個隔振系統的隔振效果大于10 dB，則該設備在不同隔振系統中測得的機腳振動速度近似相等，且均等于設備的自由振速。

1.3 誤差分析

以下對式(15)的誤差進行分析，即在彈性安裝條件下，以設備機腳的振速作為設備自由振速時，由式(16)可知誤差δ為

(16)

低頻條件下可將隔振系統視為剛體模型，設隔振器的額定載荷為M，剛度為K，阻尼為C，阻尼比為ξ，隔振器的固有頻率為ωn，則隔振器的原點阻抗Z11與傳遞阻抗Z12分別為

(17)

設被隔振設備的質量為Ma，則低頻下其阻抗Zu表現為質量阻抗

Zu=jωMa

(18)

若安裝N個隔振器，則設備的有效點阻抗Zu∑近似為

(19)

定義α為隔振器的載荷系數，表示隔振器的實際載荷與額定載荷之比。忽略載荷不均勻性，則設備質量與隔振器的額定載荷之間滿足

(20)

將式(17)(19)代入式(16)，整理得

(21)

對于隔振系統來說，|β|?1,ωn?ωr，由式(21)可知，當激勵頻率與隔振器的固有頻率吻合時(ω=ωn)，誤差δ近似為

(22)

2 數值算例

2.1 隔振系統模型

以電機作為機械設備振動源，采用ANSYS軟件對隔振系統進行有限元建模計算。電機功率為22 kW，轉速為3 000 r/min，質量為156 kg，設備機腳安裝4個隔振器，基座以四邊簡支矩形板模擬。模型材料特性為：彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3，密度7 850 kg/m3。系統的阻尼比取8%。在設備上施加服從均勻分布的隨機載荷，并疊加50 Hz基頻的諧波激勵(如圖2所示)。計算了4種隔振器工況，隔振器的固有頻率、剛度、阻尼和載荷如表1所示。

圖2 設備隨機激勵載荷Fig.2 Random force on machine

工況固有頻率/Hz剛度/(N·m-1)阻尼/(N·s·m-1)載荷/kg13.52.42×1041765025.04.93×1042515037.09.66×10435250410.01.97×10550350

2.2 隔振系統的阻抗特性

為了分析隔振系統對自由振速的影響，進行隔振器、設備機腳和基座的阻抗特性分析。對于隔振器，駐波頻率取為250 Hz，阻尼比取為8%，計算隔振器的原點阻抗和傳遞阻抗(如圖3所示)。在隔振器駐波頻率處阻抗最小，高于隔振器駐波頻率時，隔振器阻抗主要受隔振器質量的控制。低于駐波頻率時，隔振器阻抗主要表現為剛度特性。

圖3 隔振器原點阻抗和傳遞阻抗(工況1～工況4)Fig.3 Point impedances and transfer impedances of isolations (case 1 to case 4)

根據文獻[9]的方法，對于設備和基座，采用有限元模型獲得設備機腳與基座安裝點的導納矩陣，然后根據式(6)計算出有效點導納，從而獲得設備與基座的有效點阻抗。設備機腳有效點阻抗、基座有效點阻抗與隔振器阻抗對比如圖4所示。在低頻范圍內，設備機腳的阻抗表現為質量阻抗，甚至小于隔振器的阻抗。對于四邊簡支的基座板結構，低于第1階模態頻率(61.64 Hz)時，其阻抗表現為剛度阻抗。

2.3 彈性安裝條件下設備機腳振速與自由振速

圖5 設備自由振速的理論值與有限元仿真值(工況1～工況4)Fig.5 Values of free velocities for theory and simulation (case 1 to case 4)

本研究通過有限元模擬的方法來驗證式(15)的正確性。自由振速的模擬方法為：根據其定義，對設備的有限元模型施加自由邊界條件和隨機激勵，計算設備機腳的振速即為自由振速；設備機腳振速的模擬方法為：將設備置于隔振系統中，在隔振系統的有限元模型上施加相同的隨機激勵，基座采用四邊簡支邊界條件，計算出設備機腳的振速。設備機腳振速與自由振速的4種工況的有限元模擬結果如圖5所示。機腳振速與自由振速的差異主要發生低頻段，在高頻段，機腳振速與自由振速基本一致。

2.4 自由振速測量的誤差分析與適用頻率范圍

將設備機腳振速與自由振速的代數差作為測量誤差，圖6為4種隔振器工況下的自由振速測量誤差曲線，有限元模擬的測量誤差與理論測量誤差基本一致。最大正向誤差發生在系統的垂向共振頻率處，共振時彈性安裝設備的振速放大，因此，機腳的振速遠大于該頻率點的自由振速。在低于隔振器固有頻率范圍內(如圖4所示)，由于設備機腳的阻抗小于隔振器的阻抗，此時隔振器對于設備來說相當于是剛性約束，因此，此時設備機腳振速遠小于自由振速。在高于隔振器固有頻率條件下，隨著頻率的增加，測量誤差逐漸減小，可控制在1 dB內。表2為該測量方法的適用頻率范圍。從四種隔振器工況

圖6 自由振速測量誤差(工況1～工況4)Fig.6 Measurement errors of free velocities (case 1 to case 4)

Tab.2 Adaptive frequency ranges of measurement method Hz

來看，隔振頻率越低，測量方法的適用頻率范圍越寬。若控制測量誤差在1 dB范圍內，測量方法適用的最低頻率值約為隔振器固有頻率的3倍；若控制測量誤差在3 dB范圍內，測量方法適用的最低頻率值約為隔振器固有頻率的2倍。

3 實 驗

由于工程實際中設備自由振速的測量難以實施，因此筆者采取間接驗證的實驗方法，實驗裝置如圖7所示。本實驗對變頻電機設備進行隔振，分別采用兩種型號隔振器，測試頻段取10～8 000 Hz，測量了電機在4種轉速工況下機腳的振動加速度級和系統隔振效果，各工況轉速分別為600,1 200,1 500和2 000 r/min，實測數據如表3所示。

圖7 實驗示意圖Fig.7 Experimental diagram

Tab.3 Vibration level of machine and system isolation efficiency under four cases dB

實驗數據表明，4種電機轉速下，兩種隔振系統中的電機機腳振級在測量頻段內的差異為0.9～2.5 dB，此時，兩種隔振系統的隔振效果均大于10 dB。誤差可能主要是測點位置的差異造成的。因此，如果不計測點位置影響和測量誤差，可認為設備機腳的振級與隔振器無關，且為常數，即近似等于設備的自由振速。該實驗結論驗證了文中1.2節的理論推論，間接驗證了式 (15)。

4 結 論

1) 在彈性安裝條件下，當系統的隔振效果大于10 dB時，設備自由振速近似等于設備機腳振速。

2) 自由振速可通過單層彈性安裝的方式獲得。設備機腳的阻抗特性對自由振速的測量結果影響較大，系統的隔振效果對自由振速測量的影響要小于設備機腳阻抗特性的影響。

3) 考慮到實際工程中的測量誤差一般為1 dB，誤差分析表明，當設備機腳與基座阻抗遠大于隔振器阻抗時，彈性安裝條件下測量設備自由振速的適用頻率范圍為大于3倍的隔振器固有頻率。

4) 本研究工作對自由振速的獲取以及機械設備振動源特性的轉換研究具有一定的理論價值和工程應用前景。