基于葉片貢獻度的葉盤系統頻率轉向特性*

張宏遠， 袁惠群， 楊文軍， 趙天宇

(1.沈陽理工大學汽車與交通學院 沈陽，110159) (2.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819) (3.東北大學理學院 沈陽，110819)

引 言

航空發動機壓氣機諧調葉盤具有頻率轉向現象[1-2]，而加工誤差、工作過程中的磨損和抑制顫振等原因會導致各葉片的固有頻率的差異，即失諧。失諧會造成嚴重的局部化[3]。

國內外研究人員對于失諧葉盤系統頻率轉向特性開展了大量研究。文獻[4-5] 對葉盤頻率與系統參數的關系進行了研究。文獻[6-9] 研究了葉盤頻率轉向與失諧之間的關系。文獻[10-13]對葉片頻率轉向與振型轉換特性進行了研究。王南飛等[14]的研究表明旋轉葉片必須考慮預應力影響。上述研究沒有考慮在頻率轉向區域葉片對葉盤系統振動局部化的貢獻度。

筆者采用子結構模態綜合法，考慮了預應力效應對葉盤系統有限元縮減模型的影響，分析諧調葉盤系統的頻率轉向特性和應變能分布，提出貢獻度因子來衡量葉片和輪盤對失諧葉盤系統局部化的影響，通過計算不同轉向間隙對應的貢獻度因子，分析葉片對失諧葉盤系統振動局部化的貢獻度。

1 葉盤系統建模

航空發動機葉盤系統如采用整體模型將花費大量計算時間，若再考慮榫頭與榫槽的非線性接觸會使分析極為困難。由于失諧不能采用循環對稱模型，因此采用子結構模態綜合法[15-17]，共劃分38個子結構，葉片網格采用solid45單元, 輪盤網格采用solid187單元，每個子結構共有52 163個單元和79174個節點。葉片的密度為4 400 kg/m3，彈性模量為113 GPa，泊松比為0.3；輪盤的密度為4 700 kg/m3，彈性模量為150 GPa，泊松比為0.3。壓氣機葉盤系統子結構縮減模型如圖1所示。

圖1 葉盤系統子結構縮減模型Fig.1 Finite element model of a bladed disk

第i個葉盤子結構的強迫振動方程可表達為

(1)

其中:Mi，Ki，qi,Fi分別為第i個子結構的質量、剛度、位移和子結構的作用力矩陣。

航空發動機等旋轉機械旋轉部件是否考慮離心力的影響對計算結果有較大的影響，因此，考慮預應力的方程為

(2)

(3)

令子結構界面固定，可得

(4)

由式(4)求得正則化模態φ1, 即

φ1=[φlφh]

其中：φl和φh分別為低階和高階模態。

φ1滿足以下條件

其中：E為單位矩陣。

由于在分析葉盤系統的振動模態時主要關注低階模態，所以選取低階的模態φl構成主模態φm，即

φm=φl

(7)

當忽略慣性項并只考慮界面自由度的作用力，由方程(3)得：

(8)

令 {qm}=E,{qs}=φJ

約束模態

(9)

第i個子結構的Ritz基向量為

(10)

坐標變換方程為

(11)

其中：p為子結構模態坐標；φi為坐標變換矩陣[15]。

用式(11)將式(2)轉換到模態坐標系

(12)

采用文獻[18]的方法縮減自由度，令

(13)

(14)

(15)

其中：pa為ps縮減后的模態坐標。

式(12)可以轉換為

P=βX

(16)

葉盤系統自由度進行縮減后的強迫振動方程為

(17)

表1列出了葉片在不同模態截斷數下的部分無量綱動頻。通過對比可知，模態截斷數的取值顯著影響計算精度，當模態截斷數Tn<20時，精度較差；當模態截斷數Tn≥20時，精度較好，模態截斷數的增加對精度影響較小。

2 諧調葉盤系統模態振型轉換特性

2.1 諧調葉盤系統的頻率轉向區域

通過對葉盤系統模態分析，將獲得的頻率除以某一頻率值進行無量綱化，將無量綱固有頻率按照節徑排列，可以大致分成4個模態族，如圖2所示。圖中的模態族Ⅱ和模態族Ⅲ的0～6節徑構成了諧調葉盤系統的頻率轉向區域。圖中所涉及的頻率和應變能等都除以某一頻率值無量綱化。

由圖2可知模態族Ⅰ的頻率都集中在1.0附近，由圖3可知模態族Ⅰ的大部分應變能在葉片上，節徑的變化對葉盤的頻率基本沒有影響，在該模態族為葉片模態；由圖2和圖3可知,在模態族Ⅱ的0～6節徑葉盤的振動能量大部分在輪盤上，節徑的變化對葉盤的振動影響顯著，模態族Ⅱ為輪盤模態；同理可知，模態族Ⅲ的0～6節徑為葉片模態。

表1 不同模態截斷數下葉片無量綱動頻

圖2 諧調葉盤系統頻率轉向特性Fig.2 The frequency steering characteristics of the tuned bladed disk system

圖4為模態族Ⅱ在頻率轉向區域的振動特性，選擇節徑數為1～7和激勵階次為1～6時葉盤系統應變能分布。從圖4可知:在頻率轉向區域(0～6節徑)，應變能隨著節徑數的增大而增大，在節徑數為6時達到最大，當超過頻率轉向區域，即節徑數為7時，葉盤系統的應變能大幅度降低；在同一節徑數下，當節徑數與激勵階次相同時葉盤系統的應變能最大，比如圖中當節徑為3、激勵階次為3時的應變能，這一結論符合三重點原理[19]；當激勵階次和節徑數同為6時諧調葉盤系統的應變能最大。

圖3 各模態族葉片應變能Fig.3 Strain energy of modal families

圖4 模態族Ⅱ在頻率轉向區域應變能分布Fig.4 Strain energy of modal family Ⅱ in the region of frequency veering

2.2 頻率轉向間隙

在頻率轉向區域，節徑數的變化顯著影響葉盤系統模態振動局部化。為了分析相鄰模態族葉片應變能對葉盤系統振動的貢獻度，引入了頻率轉向間隙[10]，相對頻率間隙d計算公式為

(18)

其中：f1，f2和p分別為模態族Ⅰ的無量綱頻率、模態族Ⅱ的無量綱頻率及對應的節徑；f1min和f2max分別為模態族Ⅰ最小無量綱頻率和模態族Ⅱ的最大無量綱頻率。

采用式(18)以模態族Ⅱ和模態族Ⅲ為例，計算了相鄰兩個模態族在頻率轉向區域的頻率轉向間隙，計算結果如表2所示。

表2 模態族Ⅱ和模態族Ⅲ頻率轉向間隙

Tab.2 The frequency veering distance of modal family Ⅱ and Ⅲ

節徑模態族Ⅱ無量綱頻率模態族Ⅲ無量綱頻率無量綱頻率轉向間隙01.2782.7360.82411.7762.7080.52522.0422.7330.33832.2192.7360.23342.4142.7500.13952.5442.7710.08962.6242.8100.07172.6632.8650.07682.6802.9180.08992.6892.9600.101102.6932.9890.110112.6963.0090.116122.6973.0230.121132.6983.0320.124142.6993.0380.126152.6993.0420.127162.6993.0440.128172.7003.0460.128182.7003.0470.129192.7003.0470.129

由表2可知，隨著節徑數的增加，頻率轉向間隙呈現先減小再增加的趨勢。頻率轉向間隙在6節徑時達到最小，最小值為0.071，在頻率轉向區域(0～6節徑)頻率轉向間隙數值變化非常明顯，在遠離頻率轉向區域(9～19節徑)，頻率轉向間隙基本保持不變。

3 葉片對失諧葉盤系統振動局部化貢獻度

3.1 貢獻度因子

從諧調葉盤系統模態振型轉換特性可知，在頻率轉向區域，葉盤系統的振幅和應變能隨著節徑數的變化呈現一定的規律性，為了評價在頻率轉向區域葉片和輪盤對失諧葉盤系統振動局部化的影響，從模態應變能角度定義了式(19)的貢獻度因子。

葉片貢獻度因子

(19)

其中：Cb為葉片貢獻度因子；Eb i為第i個扇區葉片應變能；Ed i為第i個扇區輪盤應變能。

3.2 失諧葉盤系統模態振動局部化貢獻度

葉片剛度失諧后會使葉盤系統模態振型出現較大改變，各葉片的振動能量也不同，當較大的振動能量集中在幾個葉片上時就會導致模態振動局部化現象。為了定量描述葉盤系統振動局部化程度，引入了文獻[10]定義的局部化因子，該局部化因子的定義如式(20)所示。由于文中葉片剛度失諧模擬采用葉片彈性模量失諧來實現，三種失諧模式是通過實驗測得的三組葉片靜頻，然后采用二分法和有限元分析來識別失諧參數，通過反復迭代計算，最終獲得與實驗測得的葉片靜頻對應的彈性模量值。通過計算三種失諧模式下葉盤系統在頻率轉向區域的局部化因子，獲得如圖5所示的局部化因子隨激勵頻率的變化情況。

(20)

從圖5可知，隨著激勵頻率的增大，葉盤系統的局部化因子開始變化較小，然后逐漸增大。當激勵頻率為2.6時，模態族Ⅱ和模態族Ⅲ的頻率轉向間隙為最小，失諧葉盤系統振動局部化顯著，導致在該處振動局部化因子急劇增加。

圖5 激勵頻率對失諧葉盤系統模態振動局部化影響Fig.5 Effect of excitation frequency on the mode vibration localization of the mistuned bladed disk system

3.3 失諧葉盤系統受迫振動響應局部化貢獻度

在頻率轉向區域，對失諧葉盤系統進行受迫振動分析，計算三種失諧模式下頻率轉向間隙對應模態族Ⅱ的葉片貢獻度因子和局部化因子，頻率轉向間隙(無量綱)對失諧葉盤系統振動受迫響應貢獻度如圖6所示。

圖6 頻率轉向間隙對失諧葉盤系統振動響應貢獻度影響Fig.6 Effect of frequency veering distance on the contribution degree of forced vibration response

從圖6可知，隨著頻率轉向間隙的增大，葉片貢獻度因子逐漸減小，在最小頻率轉向間隙處三種失諧模式的葉片貢獻度因子最小，其中失諧模式2的葉片貢獻度因子最小。圖7分析了葉片貢獻度因子與葉盤系統局部化因子的關系，從圖上可知，隨著葉片貢獻度因子的增大，局部化因子增大，葉盤系統局部化程度逐漸增加。

圖7 葉片貢獻度對失諧葉盤系統振動響應局部化影響Fig.7 Effect of the contribution degree on the localization of forced vibration response

4 結束語

基于航空發動機壓氣機葉盤系統建立了有限元模型，進行了模態分析和受迫振動響應分析，通過計算頻率轉向間隙、貢獻度因子和局部化因子，從應變能角度研究了在頻率轉向區域諧調和失諧葉盤系統振動特性；分析了諧調葉盤系統模態振型轉換特性，找到了頻率轉向區域，在模態族Ⅱ和模態族Ⅲ發生了頻率轉向現象；在頻率轉向區域葉盤系統的應變能隨節徑和激勵階次的變化而變化，在激勵階次6和節徑數為6時應變能最大；定義了貢獻度因子，通過計算貢獻度因子分析了失諧葉盤系統模態振動局部化貢獻度；通過計算局部化因子，分析了失諧葉盤系統受迫振動響應，在頻率轉向區域葉片貢獻度因子和局部化因子呈現一定的規律性。