三激振器振動系統的振動同步傳動*

劉云山， 顧大衛， 張居乾， 張學良， 聞邦椿

(1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽， 110819) (2.遼寧軌道交通職業學院機械工程系 沈陽，110023)

引 言

同步現象在生物、物理、工程及技術領域都發揮著極其重要的作用。研究同步的歷史可以追溯到1665年，Huygens發現了鐘擺的同步現象，并作出了相應的解釋。近年來，學者們在機械系統的同步理論上做出了大量的理論探討和試驗研究，文獻[1-2]為其中的一些代表。

在工程技術領域，多激振器的同步理論得到了極為廣泛的應用，促進了社會生產力的發展。1984年，聞邦椿等[3]提出了振動同步傳動的概念，從能量傳遞的角度分析了振動同步傳動的物理過程。文獻[4-12]也對振動同步傳動的現象進行了相關的研究。以雙激振電機驅動的自同步振動機械為例，通常情況下，此機械在兩臺激振電機同時供電的情況下運轉。但振動同步傳動理論[1]指出，只要滿足一定的條件，在激振器實現同步運轉之后，切斷一臺電機的電源，兩個激振器仍然可以保持其同步運轉狀態。試驗指出，這種單電機供電的情況下，所消耗的電能僅為雙電機供電時的70%～85%，而達到的工藝效果保持不變。這為振動機械的設計帶來了新的思路和途徑。

目前，許多學者和工程師正在研究帶多個激振器振動機械的振動同步，但多個激振器的振動同步傳動少有涉及。筆者以遠共振 (即系統的運轉頻率是其固有頻率的3倍以上) 條件下的三激振器同向回轉的激振系統為例，從系統動力學耦合特性并通過一些數值和試驗，對其振動同步傳動原理給予詳細闡述。

1 系統動力學模型及運動微分方程

圖1為三機同向回轉激振系統的動力學模型，其中包括剛性主體、激振器及彈簧。彈簧對稱分布并與基礎和主剛體連接，3個激振器同向回轉，其回轉軸心連線為一條水平直線，每個激振器分別由感應電機驅動。設Oxy為固定坐標系，原點O為機體質心平衡點，O1與O3連線的中垂線經過原點O及激振器的回轉中心O2。整個振動系統展現出3個自由度：x,y和擺動ψ，每個激振器分別圍繞各自的旋轉軸轉動，以φi(i=1,2,3)表示。

圖1 同向回轉三激振器振動系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating system with three-motordrives rotating in the same direction

可得系統的運動微分方程如下

(1)

2 系統實現振動同步傳動的判據

設3個激振器在穩態運行時的平均相位為φ，激振器1和2以及激振器2和3之間的相位差分別為2α1和2α2，可得

(2)

在3臺電機的最小正周期內，平均角速度的平均值為一常數，即

(3)

(4)

應用線性疊加法則，設mi=ηιm0，i=1,2,3,其中m2為標準激振器，即η2=1，得到系統運動微分方程的穩態響應解為

(5)

3 系統實現振動同步傳動同步性判據

To i=Te0i-fdiωm0=χf i+χa i(i=1,2,3)

(6)

其中：To i為電機i的電磁輸出力矩，其為電機的電磁轉矩與電機轉子阻尼力矩之差；χf i及χa i的具體形式由文獻[11]給出，且χf i和χa i的表達式中包含相位差的代數項。

振動系統通過調整3個激振器之間的相位差從而在3個激振器之間傳遞電磁力矩以平衡3個電機之間輸出力矩之差，使得系統達到同步。系統實現同步的同步性判據為

(7)

其中：ΔTo12和ΔTo23為電機1與2及電機2與3之間的輸出力矩之差；Tu=m0r2ωm0/2為標準激振器的動能；τc12max和τc23max為激振器1與2及激振器2與3之間無量綱頻率俘獲力矩的最大值；Ws o1,Ws o2及Ws o3的表達式由文獻[11]給出。

定義振動系統的同步性能力指數為

(8)

其中：τa為3電機平均無量綱負載力矩，表達式由文獻[11]給出。

(9)

此時系統實現振動同步傳動時的同步性能力指數如式(10)所示，同步性能力指數越大，系統越容易實現振動同步傳動

(10)

(11)

此時系統實現振動同步傳動時的同步性能力指數如下

(12)

同步性能力指數越大，振動系統越容易實現振動同步傳動。

4 振動同步傳動狀態的穩定性判據

(13)

通過det(G-λI)=0得矩陣G的特征方程如下

λ2+c1λ+c2=0

(14)

其中

(15)

由Routh-Hurwitz準則可知，當矩陣G的特征方程(14)滿足

(16)

時，平凡解Δα=0是穩定的。

切斷電機1的電源，此時Te 01和ke 01均為零，此時系統的穩定性方程為

(17)

通過det(G′-λI)=0得矩陣G′的特征方程為

(18)

由Routh-Hurwitz準則可知，當矩陣G′的特征方程(18)滿足式(19)時，可解Δα′=0是穩定的

(19)

切斷電機3的電源，此時Te03和ke03均為零，系統的穩定性判據為

(20)

其中：矩陣A3滿足廣義Lyapunov方程；A30為A3的順序主子式。

5 數值分析和試驗驗證

圖2為三機驅動振動同步試驗臺，對應圖1所示的動力學模型，試驗臺的系統結構參數如下：β1=15°,β2=90°,β3=165°,m0=4 kg,M=155 kg,r=0.05 m,l01=l03=0.45 m,l02=0.1 m,rl1=rl3=1.25,rl2=rl1sinβ1,Jm=16 kg·m2,rm=0.026,kx=95 kN/m,ky=75 kN/m,kψ=15 kN/rad,fx=fy=0.3 kN·s/m,fψ=0.2 kN·s/rad,fd1=fd2=fd3。3臺電機逆時針同向回轉，型號均為VB-326-W(380 V，50 Hz，6-pole，Y-連接，額定電流0.82 A，額定轉速950 r/min，0.2 kW，激振力0～3 kN，絕緣等級IP54)，3電機由變頻器控制在50 Hz下運轉。

圖2 三機驅動振動同步試驗臺Fig.2 Vibrating synchronous bedstand with three exciters

5.1 有關系統特性的數值分析

圖隨系統參數變化曲線Fig.3 the parameters of system

5.2 三激振器相同情況下的試驗分析

圖4為三激振器相同時(η1=η2=η3)的試驗結果。試驗開始時，三臺電機均以相同電源供電。在約10 s處，激振器彼此之間的相位差達到穩定狀態，為2α1≈198.6°，2α2≈205.4°和2α3≈43.7°。

圖4 三激振器相同時的同步試驗結果Fig.4 Experimental results on synchronization of three identical exciters

40 s處，切斷電機1的電源，此時振動系統原有的平衡狀態被打破，經歷短暫的波動，系統進入振動同步傳動狀態。在振動同步傳動過程中，平均耦合力矩擔任能量傳輸的工具[8]，將來自于供電電機2和3的能量傳遞給斷電的電機1以克服后者的負載力矩并繼續保持同步運轉。振動同步傳動狀態下的穩定相位差為2α1≈191.5°，2α2≈199.7°和2α3≈29.1°。

80 s處，切斷電機3的電源，此時振動系統的振動同步傳動狀態被打破，經歷短暫的波動，系統再次進入振動同步傳動狀態。此時，振動同步傳動狀態下的穩定相位差為2α1≈196.3°，2α2≈208.6°和2α3≈42.5°。

在第2次的振動同步傳動過程中，系統的轉速及相位差較之前呈現出細小的間歇性波動，導致其波動的原因如下：

1) 在兩個電機斷電的情況下，系統的平均耦合力矩恰好能夠克服三臺電機總的平均負載力矩，處于一種臨界狀態；

2) 供電電機2的電壓波動及電機自身相關參數隨外界環境變化而變化，導致電機2通過振動系統加載到電機1，3上的負載呈現不均勻性。

5.3 三激振器不同情況下的試驗分析

圖5為三激振器不同時(η1=η3=0.5,η2=1)的試驗結果，試驗仍然使用圖2所示的試驗臺。

試驗開始時，三臺電機同時供電，在約13 s處，激振器彼此之間的相位差達到穩定狀態，但呈現出較小的間歇性波動，為2α1≈168.5°～172.3°，2α2≈175.1°～178.3°和2α3≈-15.8°～-14.2°。

40 s處，切斷電機1的電源，此時振動系統原有的平衡狀態被打破，經歷短暫的波動，系統進入振動同步傳動狀態，此階段平均耦合力矩擔任能量傳輸的工具。穩定狀態的相位差為2α1≈156.9°，2α2≈164.8°和2α3≈-40.5°。通過電機1斷電前后系統的穩定性的對比，可以看出電機1斷電后系統的穩定性更好，這是因為少了一個電機的內部擾動。

圖5 三激振器不同時同步試驗結果Fig.5 Experimental results on synchronization of three non-identical exciters

80 s處，切斷電機3的電源，系統的轉速及各激振器之間的相位差開始出現較大的波動，系統處于不穩定狀態。原因如下：在兩臺電機斷電的情況下，系統的平均耦合力矩不足以克服三臺電機總的平均負載力矩。這也驗證了圖3的結果：τcijmax在η1=η2=η3=1時較τcijmax在η1=η3=0.5,η2=1時大，即振動系統在三激振器相同的條件下更容易實現同步及振動同步傳動。

5.4 系統參數帶入理論驗證

以三激振器相同(η1=η2=η3)時的試驗結果為例，將試驗系統結構參數代入穩定性判據中，如表1所示，可知同步狀態及振動同步傳動狀態下的穩定性指數都大于零(α3ij>0，det(A3)>0，det(A30)>0)，說明系統穩定，與試驗結果相符合，這也驗證了所用理論方法的有效性。

表1 電機3斷電后系統振動同步傳動狀態下的穩定性

6 結 論

1) 理論上定性地給出了超遠共振條件下同向回轉三激振器水平直線放置激振系統實現振動同步傳動的兩大判據：同步性判據及同步狀態的穩定性判據。

2) 對于三機同向回轉激振系統而言，要想實現振動同步傳動，首先必須實現三機同時供電條件下的系統同步運轉，產生頻率俘獲力矩，以保證系統在振動同步傳動過程中使得平均耦合力矩擔任起能量傳輸的工具，將來自于供電電機的能量及轉矩通過系統傳遞給斷電的激振器以克服后者的負載力矩得以繼續保持同步運轉。

3) 由三激振器相同及三激振器不同兩組試驗結果可知，電機1及電機3斷電前后系統穩態時的相位差變化不大，因此系統穩定時的主要運動形式在電機斷電前后保持不變。說明該三機振動系統在振動同步傳動狀態下仍然可以維持正常工作。

4) 通過比較分析三激振器相同及三激振器不同兩組試驗結果：當三激振器相同時，系統在振動同步狀態及振動同步傳動狀態的主要運動形式為圓周運動及擺動運動；而當三激振器不同時，系統在各個同步階段的主要運動形式為擺動運動，而擺動對工程實際來說毫無意義。同時，在三激振器相同的情況下，系統更容易實現振動同步傳動及各個階段的同步狀態更加穩定。本研究表明，在工程生產中應盡量選擇偏心塊質量一樣的電機來進行振動同步及振動同步傳動方面的設計。