柔體動力學模型的機器人關節振動分析與抑制*

張 鐵， 覃彬彬， 劉曉剛

(1.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641) (2. 桂林航天工業學院廣西高校機器人與焊接重點實驗室 桂林，541004)

引 言

垂直六自由度工業機器人的關節采用RV減速器及具有柔性較大的同步傳動帶系統驅動關節運動時，關節和連桿的柔性效應的增加，使得結構發生變形與共振，導致任務的期望精度降低。尤其近年來對裝配精度要求更高的3C電子行業中，機器人廣泛應用在高速分揀零部件過程中手臂慣性力使得關節彈性形變更為明顯，造成的機械諧振不僅影響伺服系統的穩定性與跟蹤精度，還會損害機械部件，降低其壽命。因此如何抑制機械諧振頻率、實現振動抑制受到當今國內外專家學者的關注。

文獻[1]采用設計控制器的方法，利用速度環反饋控制方式抑制了伺服系統的諧振。文獻[2]針對載體位置不受控、姿態受控的情況，提出了柔性空間機械臂振動抑制的模糊終端滑模控制方案，運用奇異攝動法將系統分解為慢變、快變兩個子系統并分別設計了控制器實現柔性臂的振動抑制。文獻[3]根據模型不確定性和外界擾動因素，利用反演法與干擾觀測器相結合的控制方法實現對兩慣量系統的振動抑制。文獻[4]針對柔性并聯機器人的結構振動及控制問題，采用比例-微分(proportional-derivative,簡稱PD)反饋控制器和電感自諧振頻率(self-resonant frequency,簡稱SRF)應變率反饋控制器相結合的混合控制方法來進行軌跡跟蹤與振動抑制。文獻[5]在傳統比例-積分(proportional-integral,簡稱PI)控制結構的基礎上應用低通濾波器、常用陷波器和雙T型陷波濾波器，然后比較了3種濾波器抑制伺服機械諧振的效果并指出雙T型陷波濾波器性能較優。Wang等[6]提出了一種具有振動頻率自動搜索功能的自適應陷波器，降低了永磁同步電機線性反饋系統的機械振動。

針對機器人伺服系統中的柔性傳動環節導致的機械諧振問題，筆者研究基于柔體動力學模型的機器人振動抑制的解決方法。該方法包括建模、模態分析、仿真和實驗。通過對機器人第5關節(J5軸)建立柔體動力學模型，從理論上分析其產生振動的原因，結合有限元軟件ABAQUS強大的非線性分析功能，深入說明其變形的因素；基于ABAQUS優化測點的力錘激勵法對J5軸進行模態頻率的提取;獲得諧振頻率后采用雙T型陷波濾波器進行設計，通過仿真比較，得出最優的設計參數值。

1 柔體動力學數學模型建立

目前，負載在1 000 N以下的六自由度工業機器人常采用電伺服驅動系統，關節的機械傳動部分包括傳動軸、聯軸器、減速器等，由于這些傳動機構存在一定的彈性，使得機械系統本身產生振動。

如圖1所示，由于機器人各個關節均采用了電機和減速器的結構形式，且由于電機轉速頻繁變化，當電機驅動頻率接近諧振頻率時，關節將產生機械共振，而其中第5，6關節采用的是電機通過同步帶和減速器傳遞運動，其諧振頻率較低。筆者將僅對J5軸的振動展開研究，其他軸的共振和抑制方法類似。

圖1 六自由度工業機器人Fig.1 Six-degree industrial robot

J5軸的結構如圖2所示，其驅動系統柔性因素有：同步帶、同步帶輪和諧波減速器，為分析簡便，結合彈簧的柔性特點，文獻[7]將這些柔性因素等價于彈簧質量系統，得到圖3所示的電機-彈簧-質量的兩慣量系統。

圖2 J5軸模型圖Fig.2 J5 axis model

圖3 電機-彈簧-質量的兩慣量系統Fig.3 Two inertia systems of motor-spring-mass

根據力平衡原理，分析此兩慣量系統有

柔性軸傳動部分

TS=KS(θM-θL)

(3)

由式(1)～(3)并經拉普拉斯變換后，得到系統的傳遞函數如圖4所示。

圖4 兩慣量模型的結構圖Fig.4 Structure diagram of two inertia model

因此，電機轉速和電機力矩之間的傳遞函數Q(s)為

(4)

由式(4)可知，機器人關節柔性系統中存在著零、極點，導致伺服系統的振動。根據筆者所研究的機器人，式中初始參數JM=0.277×10-4kg/m2，JL=0.1×10-4kg/m2,BM=0.05,BL=0.01,KS=60，可得系統伯德示意圖如圖5所示。

圖5 系統伯德圖Fig.5 System bode diagram

由圖5可知，兩慣量系統中存在諧振頻率點a和反諧振頻率點b。這些諧振頻率點制約著系統響應帶寬的提高，必須對其進行調節或抑制。

2 陷波濾波器

機器人J5軸兩慣量系統存在諧振點和反諧振點的問題可以從控制器中設計陷波濾波器來對其抑制[8]。J5軸的交流伺服系統采用速度環、電流環雙閉環控制，串聯陷波濾波器后的系統框圖如圖6所示。將陷波濾波器串入速度環控制回路中，對速度控制器輸出的電流環給定信號進行陷波濾波，抑制電機電流的振蕩，進而對電機輸出電磁力矩產生抑制，最終達到抑制機械諧振的目的。

圖6 串聯陷波濾波器結構圖Fig.6 Series notch filter structure graph

對于一般的二階慣量系統有兩個極點、兩個零點，常用陷波濾波器[9]傳遞函數，其形式為

(5)

其中：ω0為陷波頻率；K為可調參數，用于改變帶寬。

上述的陷波濾波器形式只能確定陷波頻率點和對稱調整帶寬，而不能調整陷波器衰減的幅值和形狀。

為了減小諧振點處幅頻特性曲線上的幅值裕量(如圖5中的a點幅值或b點幅值)，達到消除共振的目的，采用雙T型陷波濾波器[10-12]，對陷波深度進行調節，使得陷波深度接近諧振頻率點的幅值裕量，避免系統因陷波深度過大或者過小而導致不穩定，其傳遞函數為

H(s)=(as2+cs+1)/(as2+bs+1)

(6)

其中：ω0為陷波頻率；k1為陷波帶寬參數；k2為陷波深度參數。

這3個變量可決定濾波器的系數a，b，c。

陷波帶寬Bω以及陷波深度Dp與系數k1和k2之間的關系為

(7)

通過調節陷波頻率ω0改變陷波濾波器的零點，抵消系統的諧振極點以及調節陷波帶寬系數k1實現附加極點位置的調整。在設計濾波器參數時，應先確定系統的諧振頻率ω0，再根據諧振頻率確定其陷波帶寬參數k1和陷波深度參數k2。

由于系統諧振頻率未知，而設計速度環中的陷波濾波器需要諧振頻率、振型、阻尼比等未知參數，所以機器人的J5軸將采用有限元分析法、力錘激勵法分別對其模態參數進行識別。

3 結構動力學模態分析

利用有限元分析軟件ABAQUS對機器人J5軸進行模態分析，獲取低階主導模態的信息，為力錘激勵法激勵點的選取提供優化方案，分析流程主要有前處理、計算階段和后處理三部分。為節省計算時間，在不影響結果準確性的前提下，對于J5軸的前處理工作[13]主要通過Solidworks建立三維模型，將其導入ABAQUS中進行分析，J5軸各個零件的材料力學性能參數如表1所示。

表1 材料力學性能參數表

對于軸，壓蓋和負載選用ABAQUS中網格劃分單元類型中的C3D8R單元，其余的不規則部件都采用C3D4單元類型進行網格劃分。定義接觸面摩擦因數信息以及裝配信息，如軸承由軸承座固定在基座上等；定義零部件的邊界條件，如所有螺栓孔、軸承座外圈的綁定約束，約束其六個自由度，對于同步帶輪、軸承內圈等只釋放z，x自由度，約束其余自由度。

完成前處理后，設定線性頻率提取分析步進行后處理，收集分析運算結果，直接提取有效數據。圖7為經ABAQUS的分析步計算，得出J5軸的低階振型圖。

圖7 模態分析圖Fig.7 Modal analysis diagram

由圖7(a)可知，J5軸的一階模態主要變化是同步帶繞y軸的扭轉變形；圖7(b)二階模態主要變化是從動輪與同步帶繞y軸的變形，激勵點選擇作為模態實驗的重要組成部分，不僅決定著能否激發出所有關注的模態，而且還關系到影響數據的精度，利用基于ABAQUS測點優化方法[14]，根據圖7(b)的二階模態振型的同步輪扭曲處布置激勵點，實驗選取的激勵點如圖8所示。

圖8 激勵點與測試點分布Fig.8 The placement of exciting and measured points

力錘激勵方法的測試系統包括電腦、億恒AVANT數據采集與分析儀、模態分析軟件、力錘及三向加速度傳感器等。

在被測物體上安裝加速度傳感器用來接收響應信號，可以測得輸入和輸出信號，最后通過億恒科技的AVANT數據采集與分析系統對這兩路信號進行處理，結合Model Genius2.0模態分析軟件進行模態分析，獲得如圖9所示的模態參數結果。

結構動力學模態法獲取得到的諧振頻率結果整理如表2所示，為設計陷波濾波器的陷波頻率等提供依據。

圖9 J5軸的模態實驗結果Fig.9 Modal experiment results of J5 axis

模態f/Hz阻尼/%帶寬/Hz122.075.3351.18226.320.9520.25350.247.1603.61466.101.6301.08591.902.1111.946102.530.9811.017128.311.7502.258138.643.2334.48

4 仿真與實驗

設計常用陷波濾波器時，取J5軸陷波頻率66.1 Hz。為了分析K值對于陷波衰減深度的影響，根據仿真，逐漸調節式(5)的K，若先定義K=0.2，遞減時任取數值如0.02；遞增時任取數值如0.6，通過Matlab仿真得到式(5)所描述的陷波器伯德圖(見圖10)。

圖10 常用陷波器伯德圖Fig.10 Bode diagram of notch filter

在圖10陷波器幅頻特性曲線中，K任取梯度性的3個值，都使得諧振點幅值處于200 dB以上，通過仿真得知常用陷波器形式只能確定陷波頻率點，而不能調整陷波器的的陷波深度。為了能調整陷波器的衰減深度，滿足伺服驅動器設置陷波深度參數0～32 dB的范圍要求，采用雙T型陷波濾波器設計方案,涉及到的計算變量有：表2中的J5軸諧振頻率ω0為66.10 Hz，帶寬Bω為1.08，阻尼比為1.630，從而由式(7)可確定k1=0.016,取k2

圖11 雙T型陷波器作用系統伯德圖Fig.11 Bode of double T notch filter action system

由圖11幅頻特性曲線可見，系統諧振點與陷波器凹陷點的峰值相抵消，幅值下降為0；相位角趨近于0。采用雙T型陷波濾波器能有效避免諧振點附近其他頻率信號的相角出現滯后(超前)現象，降低相頻特性的惡化，穩定了伺服驅動系統。

為了驗證雙T型陷波濾波器對機器人振動抑制效果的有效性，以廣州數控六自由度工業機器人J5軸為例進行振動抑制實驗。

如圖12所示，該平臺的控制算法以研華510工業控制計算機為核心，采用C語言編程實現，人機交互界面由C#編程建立。控制系統是Windows實時中斷內核的PC運動控制系統，工控機通過EtherCAT總線將控制量發送到伺服單元，系統控制周期為1 ms。控制回路采用德國倍福公司的模擬量輸入模塊，傳感器采用的是德國KISTLER公司的三向加速度傳感器，輸出電壓為±60 mV，測量范圍為±30 g，J5軸的交流伺服驅動器額定功率為400 W，額定轉速3 000 r/min。設置伺服驅動參數陷波頻率66.1 Hz以及陷波深度20 dB。系統給定信號為5個周期0→2 000 r/min的正反向階躍信號，在規定的運動軌跡中，分別在有無陷波濾波器的條件下采集加速度信號量并進行數據處理，比較余振對末端各方向加速度數值變化的影響，得到加速度分析圖如圖13～15所示。

圖12 機器人實驗平臺Fig.12 Robot experimental platform

圖13 總加速度分析圖Fig.13 Acceleration analysis diagram

圖14 z方向加速度分析圖Fig.14 z direction acceleration analysis chart

圖15 y方向加速度分析圖Fig.15 y direction acceleration analysis chart

由圖13可知，陷波濾波器抑制的總加速度比沒有的降低28.5%。圖14中加了陷波器補償后，z方向上振幅的加速度值能在3 s內由原先的最大加速度3下降為0.5 m/s2，圖15的y方向上振幅的加速度值由原先無陷波補償的絕對值0.2 m/s2降為0。

從末端加速度分析圖中可明顯看出陷波濾波器的作用效果，說明設計時仿真的陷波深度滿足了當前諧振頻率的陷波器設計要求。諧振頻率被陷波濾波器濾掉，如圖11所示的諧振頻率的諧振點峰值被削減至零。

采用噪聲量化手段對J5軸進行振動抑制的噪聲分析，檢測工具采用希瑪儀表的數字式聲級計AR844，測量位置距離機器人底座中心距離約55 cm，1 s實時對J5軸進行噪聲監測，得到無陷波濾波器作用的噪聲量級71降至65.9 dB，噪聲量級降低了約5 dB，體現了陷波濾波器良好的干擾抑制特性。

圖16分析電機停止起讀取的編碼器值，由于余振導致電機轉角編碼器數值變化明顯，將編碼器值進行數據處理后，在陷波器補償下，電機轉子偏移量絕對值從1°降至0.5°。圖17所示的運動階段加了陷波補償的末端加速度值降低約20%，最終降至0，體現陷波濾波器有良好的振動抑制效果。

圖16 電機轉子偏移量Fig.16 Motor rotor offset

圖17 運動階段末端加速度分析圖Fig.17 Analysis diagram of motion end acceleration

5 結束語

針對高速運動機器人由于柔性因素所引發的機械諧振問題，提出了基于柔體動力學模型的機器人關節振動抑制的解決方法。該方法通過建模、模態分析、仿真及實驗四個方面對廣州數控機器人第5關節展開了研究，以J5軸振動產生的因素為研究對象，結合有限元及力錘激勵法實現了對機器人手臂的諧振頻率的獲取，采用雙T型陷波濾波器設計算法進行仿真比較，得到最佳參數，克服了傳統常用陷波器的設計方法的局限性，解決了機器人J5軸的振動問題。陷波實驗結果表明末端Z方向上振動幅值最大，其余振幅值加速度從3降為0.5 m/s2，最后趨于0，電機轉子偏移絕對值從1°降至0.5°。該方法可應用機器人關節軸的振動抑制，具有一定的工程實用性。