二次方程的實根分布問題分類解析

鮑人燈

(浙江省天臺育青中學 317200)

二次方程的實根分布問題分類解析

鮑人燈

(浙江省天臺育青中學 317200)

本文就高考復習中的一類常見題型——含參的二次方程實根分布問題的求解方法，分類歸納，并舉例說明，對高考備考專題復習有參考價值.

二次方程；實根分布；區間；取值范圍

由二次方程的實根分布來求參數的取值范圍問題是對初中有關二次方程、二次函數的進一步深化，并構成高中數學的基本知識塊，是各種數學思想的交匯處，更是高考考查的熱點.本文從函數、方程、不等式諸角度對這類問題分類解析，以使考生明確思路，掌握方法，從容解答.

一、二次方程實根分布的類型

為了簡化情況，方便行文，我們約定二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實根分別為x1、x2.下面將實根范圍的約束條件分類整理如下.

1.方程的兩個實根均小于常數m

2.方程的兩個實根均大于常數m

3.方程的一個實根大于常數m，另一個實根小于常數m.

方法①f(m)<0.

方法②(x1-m)(x2-m)<0.

說明：①是從二次函數圖象的位置來思考的；

②是從根與m差的符號來考慮的.

4.方程在區間(m,n)內恰有一個實根

5.方程在區間(m,n)內恰有兩個實根

6.方程的兩個實根分別在區間(m,n)和(p,q)(n≤p)內.

二、應用舉例

例1 若方程-x2+2ax+a-2=0有兩負根，求a的取值范圍.

解先化成f(x)=x2-2ax-a+2=0.

方法1 結合二次函數f(x)的圖象，知有

解得a≤-2.

解得a≤-2.

例2 二次函數f(x)=x2-4mx+2m+6在區間(-3，0)內恰有一個零點，求實數m的取值范圍.

解結合相應二次函數f(x)的圖象與區間(-3，0)的位置關系，有四種情況.

點評二次函數零點個數與二次方程實根個數既相關，又有區別.二次方程有兩個相等的實根時，對應的二次函數有一個零點.這是本題容易混淆之處，而遺漏情況④.

例3 方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0,(1)有兩個異號根；(2)有正根.分別求實數m的取值范圍.

當2m+1≠0時，方程是二次方程，相應的二次函數f(x)=(2m+1)x2-2mx+(m-1)的圖象有四種符合要求的情況(如圖6，圖7).因此有不等式組：

上式中的Δ=(-2m)2-4(2m+1)(m-1)=-4m2+4m+4.

分別求解四個不等式組，得

(2)小題求解時易漏掉2m+1=0的情況；而當2m+1≠0時，情況也較多，應分情況一一考慮.本小題考查了思維的全面性、慎密性.

從以上可以看出，二次方程實根分布問題，涉及到數學中的函數與方程、數形結合、分類討論、化歸轉化等四大數學思想，是錘煉學生全面數學能力的重要知識板塊.因此，在總復習時，很有必要進行專題復習，從中掌握思想方法，全面提升數學素養.

[1]劉鵬.參數取值范圍問題的求解方法[J].高中數學教與學，2014(1)：19-21.

[2]夏麗琴.含參函數在定區間上存在零點問題的探究[J].中學數學研究，2014(2)上：29.

[3]劉鴻春.多變量中復合最值問題的探求[J].數學通訊，2014(3)上半月：12-13.

[4]石禮標，劉陸軍，蔣明建.一道范圍問題的簡解與推廣[J].數學通訊，2014(3)上半月：26-28.

[5]楊春娟.含參一元二次不等式的解法與恒成立問題[J].中學生數學，2015(2)上：28.

G632

A

1008-0333(2017)31-0026-03

2017-07-01

鮑人燈(1981.10-)，男，中學一級教師，大學本科，從事高中數學教學。

楊惠民]