關于Smarandache方程的可解性研究

楊 明 順

(渭南師范學院 數理學院，陜西 渭南714099)

0 引言

1 幾個引理

引理1[9]若函數y=f(x)滿足：

(1)在閉區間[a,b]上連續；

(2)在開區間(a,b)內可導；

(3)f(a)=f(b),則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)=0。

引理3[11]設函數z=f(x1,x2,…,xn)在點(x1,x2,…,xn)具有偏導數且取得極值，則它在該點的偏導數必為0，即

2 結論及證明

證明 現將a分成3種情況：a>1，0

(1)先證在a>1的情況下，結論成立。

(2)再證在0

(3)最后證在a<0且a≠-1的情況下結論成立。

則由前面的結論可知在a<0且a≠-1的情況下結論依然成立。

有且僅有一組非負實數解x1=x2=…=xn-1=1。

證明 現將a分成3種情況：a>1,0

(1)當a>1時，由引理2可得

于是有

上式成立當且僅當

或x1=x2=…=xn-1=1。

即當a>1時，方程

僅有一組正實數解x1=x2=…=xn-1=1。

因為函數f(x1，x2,…,xn-1)關于x1,x2,…，xn-1偏導數存在，故對f(x1,x2,…,xn-1)分別求關于x1，x2，…，xn-1的偏導數，可得

…

…

故u(x)在(0,+)上是單調函數，所以對應于同一個函數值u(x0)，有且僅有一個x0成立。所以由

可得出x1=x2=…=xn=q,則(q,q,…,q)為原函數f(x1，x2,…,xn-1)可能的極值點，且僅有這一個極值點,由qn=1可得q=1,故(1,1,…,1)為原函數的極值點，此時極值為0。

事實上，假設函數f(x1，x2,…,xn-1)還有其他的極值點，設為x1′,x2′,…，xn-1′,則由引理3可知，在這一點必有x1′=x2′=…=xn-1′=1成立，與之前單調函數同一函數值對應唯一自變量矛盾,故函數只有點(1,1,…，1)這一個極值點。即此時函數

取得唯一極值，且極值為0。即當且僅當x1=x2=…=xn-1=1，方程

有且僅有一組非負實數解x1=x2=…=xn-1=1。

可化為

此時，則由前面討論的情況可知，方程

的解依然是x1=x2=…=xn-1=1。