非接觸式旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)建模及仿真分析*

韓冰峰, 褚金奎

(1.大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點實驗室,遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 遼寧省微納米技術(shù)及系統(tǒng)重點實驗室,遼寧 大連 116024)

0 引 言

收集振動能為微型電子器件供能日益受到各國學(xué)者的關(guān)注。傳統(tǒng)的收集環(huán)境振動能[1～6]的方式包括：靜電式、電磁式、壓電式。靜電式換能需要外接電壓源；電磁式換能輸出電壓較低；壓電式換能輸出電壓高,結(jié)構(gòu)簡單,效率較高,研究較多。目前,壓電的換能器主要以壓電懸臂梁、盤形壓電片等結(jié)構(gòu)為主,相關(guān)的研究逐步從實驗階段往實際應(yīng)用階段過渡。利用傳統(tǒng)的壓電材料收集環(huán)境中振動能的方式存在以下難點：傳統(tǒng)的壓電換能裝置共振頻率較高,帶寬較窄,而環(huán)境中的振動能頻率較低,頻帶較寬,因而這些壓電換能裝置無法高效收集這些能量。

旋轉(zhuǎn)式發(fā)電裝置開始得到一些學(xué)者注意,主要是因為該類型發(fā)電機(jī)能夠?qū)⒌皖l率的外部激勵通過傳遞機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換為高頻的內(nèi)部激勵(作用在壓電發(fā)電單元上激勵),因而提高了發(fā)電機(jī)在低頻率環(huán)境中的發(fā)電性能。旋轉(zhuǎn)式壓電發(fā)電裝置主要分兩類：機(jī)械碰撞式和永磁非接觸式。PriyaS[7]提出一種機(jī)械碰撞式旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電結(jié)構(gòu),利用機(jī)械齒不斷撥動壓電雙晶梁,通過二者撞擊讓發(fā)電機(jī)不斷產(chǎn)生電能。這種機(jī)械撞擊結(jié)構(gòu)能夠?qū)⒌皖l的外部激勵轉(zhuǎn)化為高頻的內(nèi)部激勵,但這種碰撞直接作用在發(fā)電單元上,降低了發(fā)電機(jī)使用壽命。為了解決這個問題,Rastegar J和 Murray R[8]提出了無接觸旋轉(zhuǎn)發(fā)電的概念,利用相互作用的永磁鐵結(jié)構(gòu)去代替機(jī)械撞擊式結(jié)構(gòu),從根本上避免了機(jī)械撞擊對發(fā)電單元壽命的影響,是一種可期待的發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)。當(dāng)前,尚未有文獻(xiàn)對非接觸旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行詳細(xì)報道,而發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型對于其設(shè)計及優(yōu)化有重要的意義。

本文提出了一種非接觸式旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu),建立了發(fā)電機(jī)理論模型,并對壓電發(fā)電機(jī)性能的規(guī)律進(jìn)行了仿真分析。

1 非接觸式旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)理論模型

1.1 發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)與工作原理

旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示,主要結(jié)構(gòu)包括：壓電雙晶梁陣列、驅(qū)動輪、軸、永磁鐵和軸承組成。若干壓電雙晶梁均勻地陣列在發(fā)電機(jī)內(nèi)部。在驅(qū)動輪的四周均勻陣列若干個永磁鐵,每一個永磁鐵均被固定在驅(qū)動輪上。驅(qū)動輪和軸剛性連接,能夠同步轉(zhuǎn)動。每一個壓電雙晶梁的自由端也固有有永磁鐵。

圖1 旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)示意

驅(qū)動輪能夠自由雙向旋轉(zhuǎn),當(dāng)驅(qū)動輪發(fā)生轉(zhuǎn)動時,它和其陣列永磁鐵一同轉(zhuǎn)動。由于永磁鐵間存在永磁力的作用,位于壓電雙晶梁自由端的永磁鐵不斷受到交替變化的永磁鐵力作用,導(dǎo)致壓電雙晶梁不斷產(chǎn)生振動。根據(jù)正壓電效應(yīng),壓電單元將不斷產(chǎn)生電荷。這種發(fā)電機(jī)的特點是利用永磁鐵間的相互作用力完成能量的傳遞,更有利于保護(hù)壓電發(fā)電單元。盡管能量傳遞會有一些損失,但與碰撞式發(fā)電機(jī)相比,能夠延長發(fā)電機(jī)使用壽命。

1.2 永磁作用力模型

為了得到發(fā)電機(jī)動力學(xué)模型,首先要推導(dǎo)作用在壓電雙晶梁自由端的永磁力。為了簡化研究,假設(shè)在任意時刻僅一對永磁鐵發(fā)生相互作用。圖2為兩個永磁鐵相對運動示意圖,兩磁鐵相對夾角為si。

圖2 永磁鐵相對運動示意

圖2中,1#永磁鐵為固定在壓電雙晶梁端部的永磁鐵,幾何尺寸為a/b/c。2#永磁鐵為陣列在驅(qū)動輪四周的永磁鐵,幾何尺寸為a1/b1/c1,它和驅(qū)動輪一起圍繞驅(qū)動輪軸心O″旋轉(zhuǎn)。1#永磁鐵受到的作用力分別為Fx和Fy,其中,Fy為作用在壓電雙晶梁自由端永磁鐵的橫向力,是壓電梁振動的主要力量。Fx為作用在壓電雙晶梁自由端永磁鐵的縱向力,在本文的計算中并未考慮到該力對梁振動的影響(主要影響雙晶梁的振動阻力)。2#永磁鐵O′點相對于XOY坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(x01,y01),根據(jù)幾何關(guān)系易推出

(1)

(2)

式中r為驅(qū)動輪半徑(驅(qū)動輪軸心到2#永磁鐵形心的距離)；d為壓電懸臂梁和驅(qū)動輪間距。帶有夾角的兩個永磁鐵產(chǎn)生的橫向作用力Fy可用式(3)表示

Fy(si,0,x01,y01,a,b,c,a1,b1,c1,J)=

(3)

式中ω為驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速,J為永磁鐵磁極化強(qiáng)度。該式分兩種情況進(jìn)行了分類描述：兩永磁鐵磁極化方向夾角分別為銳角和鈍角。對夾角為銳角的情況,壓電雙晶梁自由端永磁鐵受到橫向作用力Fy可參照文獻(xiàn)[9]。對鈍角的情況,可假設(shè)橫向作用力Fy等于零,因為這種情況下,兩個永磁鐵通常距離較遠(yuǎn),相互作用的永磁力近乎為零。

1.3 旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)動力學(xué)模型

壓電雙晶梁可等效為非耦合線性質(zhì)量阻尼系統(tǒng),如圖3所示。圖中,M為等效質(zhì)量；K為等效剛度；C為等效阻尼；F為作用在壓電雙晶梁端部的橫向作用力

(4)

(5)

式中m為壓電雙晶梁端部永磁鐵質(zhì)量；mbeam為壓電雙晶梁質(zhì)量；b為壓電雙晶梁寬度；l為壓電雙晶梁長度；Ep為壓電材料彈性模量；Em為彈性材料彈性模量；hp為單壓電層厚度；hm為彈性層厚度。

圖3 壓電雙晶梁等效力學(xué)模型

在發(fā)電機(jī)動力學(xué)數(shù)學(xué)模型建立過程,為了簡化數(shù)學(xué)模型,忽略了機(jī)電耦合參數(shù)對發(fā)電機(jī)動力學(xué)性能的影響,簡化后動力學(xué)模型為

(6)

1.4 發(fā)電機(jī)的輸出電壓

發(fā)電機(jī)的輸出開路電壓V與壓電雙晶梁自由端位移y的關(guān)系[10]如下

(7)

式中α=hm/h,hm為金屬基板厚度,h為壓電雙晶梁總厚度。利用負(fù)載電阻R直接與壓電雙晶梁串聯(lián)收集能量,輸出功率P用下式表示

P=V2/2R

(8)

2 仿真結(jié)果與分析

基于上述分析,本文建立了發(fā)電機(jī)的理論模型,得出了發(fā)電機(jī)基本的性能規(guī)律。陣列的壓電雙晶梁參數(shù)如表1所示,其余初始計算參數(shù)如下：壓電雙晶梁機(jī)械阻尼0.01,驅(qū)動輪半徑50 mm,驅(qū)動輪與壓電雙晶梁間距為30 mm,負(fù)載電阻1 MΩ。在2.1節(jié)～2.3節(jié)、2.5節(jié)的仿真計算中,驅(qū)動輪僅放置一個永磁鐵。其幾何尺寸為10 mm×8 mm×5 mm,永磁鐵材質(zhì)為釹鐵硼磁性材料,磁極化強(qiáng)度為1.2 T。所用磁鐵的磁極化方向均通過驅(qū)動輪軸心。

表1 壓電雙晶梁參數(shù)

2.1 轉(zhuǎn)動速度對發(fā)電機(jī)性能的影響

根據(jù)理論計算,壓電雙晶梁一階固有頻率為34.2 rad/s。發(fā)電機(jī)在不同轉(zhuǎn)動速度條件下,壓電雙晶梁的輸出開路電壓如圖4所示。從圖中可以看出：當(dāng)轉(zhuǎn)動速度為34.2 rad/s時,壓電雙晶梁輸出的峰值電壓約為52 V。其數(shù)值上值遠(yuǎn)比其余3種轉(zhuǎn)動速度的條件下壓電雙晶梁輸出的電壓要高很多。主要原因在于,激勵力頻率等于其壓電雙晶梁的一階固有頻率,使壓電雙晶梁產(chǎn)生共振,輸出電壓較高。當(dāng)發(fā)電機(jī)陣列相同固有頻率的壓電雙晶梁時,發(fā)電機(jī)存在一個最佳轉(zhuǎn)動速度。所謂最佳轉(zhuǎn)動速度是指發(fā)電機(jī)能量輸出最大時,發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速。這個速度由驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)和壓電雙晶梁固有頻率決定。它們滿足這樣一個關(guān)系,即最佳轉(zhuǎn)動速度乘以驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)等于壓電雙晶梁一階固有頻率。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下發(fā)電機(jī)開路電壓

2.2 驅(qū)動輪半徑對發(fā)電機(jī)性能的影響

圖5(a)為發(fā)電機(jī)在不同轉(zhuǎn)動速度的條件下,驅(qū)動輪半徑對壓電雙晶梁輸出峰值開路電壓的變化規(guī)律。研究表明,當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定的情況下,隨著驅(qū)動輪半徑的增加,壓電雙晶梁峰值輸出電壓不斷降低。主要原因在于,驅(qū)動輪半徑越大,驅(qū)動輪永磁鐵的切向速度就越快,相互作用的永磁鐵相互作用的時間就越短,根據(jù)沖量定理,傳遞給壓電雙晶梁自由端永磁鐵的能量就越小。圖中還明顯看出,發(fā)電機(jī)工作在最佳轉(zhuǎn)速的條件下時,輸出的峰值開路電壓遠(yuǎn)比其余轉(zhuǎn)速條件下的要高。當(dāng)驅(qū)動半徑為50 mm,壓電雙晶梁輸出開路電壓可達(dá)50 V。雖然驅(qū)動輪半徑越小,越有利于發(fā)電機(jī)能量輸出,但也會降低發(fā)電機(jī)的各項尺寸,影響發(fā)電機(jī)輸出功率。

2.3 驅(qū)動輪與壓電雙晶梁間距對發(fā)電機(jī)性能的影響

驅(qū)動輪與壓電雙晶梁間距對發(fā)電機(jī)輸出的峰值開路電壓影響如圖5(b)所示。可以看出,隨著驅(qū)動輪和壓電雙晶梁間距增大,壓電雙晶梁輸出的峰值開路電壓逐漸減低。這主要是因為相互作用的永磁鐵間距增大,其相互作用力就會變小,因而導(dǎo)致壓電雙晶梁輸出的開路電壓逐漸降低。在間距大于40 mm條件下,發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動速度對壓電雙晶梁輸出電壓影響較小,是因為作用在壓電雙晶梁自由端永磁鐵的永磁力會逐漸接近零。因此,在發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計中,驅(qū)動輪和壓電雙晶梁間距不應(yīng)超過40 mm。同時要注意另外一個問題,這個間距過小,會導(dǎo)致壓電雙晶梁自由端撞擊到驅(qū)動輪,應(yīng)有效避免。

圖5 驅(qū)動輪半徑及驅(qū)動輪與雙晶梁的距離對峰值開路電壓的影響

2.4 驅(qū)動輪陣列永磁鐵數(shù)對發(fā)電機(jī)性能的影響

在發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動速度為5 rad/s的條件下,分別在驅(qū)動輪四周均勻陣列1，2和3個永磁鐵,得出壓電雙晶梁輸出電壓響應(yīng)規(guī)律(圖6)。可以看出,壓電雙晶梁受到來自驅(qū)動輪的永磁力沖擊的時候,在每一個周期里都是一個衰減的過程,而且衰減頻率接近壓電雙晶梁一階固有頻率。這是由于發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)動速度較低,驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)也較少,作用在壓電雙晶梁自由端永磁力的頻率遠(yuǎn)低于梁的一階固有頻率的緣故。

圖6 不同磁鐵數(shù)時發(fā)電機(jī)開路電壓

為了弄清更多陣列永磁鐵數(shù)對發(fā)電機(jī)輸出功率的影響,利用式(8)計算壓電雙晶梁的峰值輸出功率,仿真結(jié)果如圖7所示。圖中看出,驅(qū)動輪陣列7個永磁鐵時,壓電雙晶梁輸出的功率最大,達(dá)到1.9 mW。主要原因是,作用在壓電雙晶梁自由端永磁力的激勵頻率為35 rad/s,更接近壓電雙晶梁的一階固有頻率(34.2 rad/s)。

結(jié)合2.1節(jié)研究結(jié)論可以得出：想讓壓電雙晶梁發(fā)生共振,需要滿足這個條件：發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速乘以驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)等于壓電雙晶梁的一階固有頻率。因此,即便外界提供發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速很低,只要合理配置驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)或更換不同固有頻率的壓電雙晶梁,也能讓壓電雙晶梁發(fā)生共振。因此，這種發(fā)電機(jī)對于低頻或超低頻的振動能量也能有著良好適應(yīng)性。

圖7 陣列磁鐵數(shù)與發(fā)電機(jī)峰值輸出功率的關(guān)系

2.5 發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速范圍

為了擴(kuò)寬壓電發(fā)電機(jī)工作范圍,采用了2個不同固有頻率的壓電雙晶梁進(jìn)行仿真分析(圖8)。發(fā)電機(jī)的輸出功率由2個壓電雙晶梁輸出功率進(jìn)行簡單疊加(P=P1+P2)進(jìn)行計算。圖中,1#壓電雙晶梁的長度為50 mm,2#壓電雙晶梁(一階固有頻率48.1 rad/s)的長度40 mm,其余參數(shù)均相同(表1)。容易看出,發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速為34.2,48.1 rad/s時,壓電雙晶梁輸出功率相對較高,分別為2.1,1.85 mW。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速在18.0 rad/s(33.0～51.0 rad/s)范圍內(nèi),輸出功率超過1.5 mW,表明發(fā)電機(jī)在較低的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)具有很大的頻帶寬。不同于傳統(tǒng)的壓電發(fā)電裝置擴(kuò)寬工作帶寬較難,本文研究的發(fā)電機(jī)只需要適當(dāng)提高激勵輪永磁鐵的個數(shù)和陣列不同固有頻率的壓電雙晶梁,就可輕易讓發(fā)電機(jī)工作較低的頻率范圍內(nèi),因而這種發(fā)電機(jī)對于收集自然界中的流體能具有良好的適應(yīng)性。

圖8 發(fā)電機(jī)的輸出功率(2個梁)

3 結(jié) 論

分析了各種參數(shù)對旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)輸出能量的影響,得到以下結(jié)論：

1)當(dāng)發(fā)電機(jī)陣列相同固有頻率的壓電雙晶梁時,發(fā)電機(jī)存在一個最佳轉(zhuǎn)動速度。最佳轉(zhuǎn)動速度乘以驅(qū)動輪陣列永磁鐵個數(shù)等于壓電雙晶梁一階固有頻率。

2) 當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定的情況下,隨著驅(qū)動輪半徑的增加,壓電雙晶梁峰值輸出電壓不斷降低。

3)隨著驅(qū)動輪和壓電雙晶梁距離的增大,壓電雙晶梁輸出的峰值開路電壓逐漸減低。驅(qū)動輪和壓電雙晶梁間距不應(yīng)大于40 mm。

4)在陣列不同固有頻率壓電雙晶梁(2個梁為例)的條件下,發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速在18.0 rad/s(33.0～51.0 rad/s)范圍內(nèi),輸出功率超過1.5 mW。表明發(fā)電機(jī)在較低的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)具有很大的頻帶寬,這對設(shè)計寬頻旋轉(zhuǎn)壓電發(fā)電機(jī)提供了良好的思路。