多維固有時間尺度分解算法

彭秀艷， 劉元勛， 鄭 潛

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150020)

0 引 言

故障檢測與診斷在控制回路、機械系統中具有重要的地位，若能在設備運行仍處于可控階段時準確及時地檢測出故障的萌生及演變，并將其解決可以避免非正常工作狀態，保證設備正常運轉，對保障系統安全運行，減少或避免重大災難性事故具有非常重要的意義[1～4]。可通過處理、分析非平穩多維信號，提取故障特征[5,6]。Rehman N和Mandic D P提出了多維經驗模式分解(multi-dimensional empirical mode decomposition，MEMD)，實現了經驗模式分解(empirical mode decomposition，EMD)的多維擴展[7]。

本文對Mark G F和Ivan O提出的固有時間尺度分解(intrinsic time scale decomposition，ITD)進行多維擴展，提取出某控制過程多維輸出信號中的頻率相近的故障成分，為后續評估過程是否存在故障行為提供數據[8]。

1 多維固有時間尺度分解

本文所提出的多維固有時間尺度分解(multi-dimensional intrinsic time scale decomposition，MITD)的提出參照了MEMD的擴展方法。本節將先介紹幾種處理非線性、非平穩信號的算法，并進行仿真實驗給出實驗結果分析。

1.1 EMD

EMD是在時間尺度上將原始信號分解為一系列本征模態函數(intrinsic mode function，IMF)分量和余項r[9]，即

(1)

式中X(t)為原始信號，imfi(t)為第i個本征模態函數，l為本征模態函數的個數。 IMF需滿足以下條件：1)在整個數據序列中，極值點的數量與過零點的數量相等或只相差一個；2)在任一時間點上，信號的局部最大值和局部最小值定義的包絡線的均值為零。

每一層IMF篩選停止條件通過限制標準差的數值大小來完成，如式(2)所示

(2)

當SD在0.2～0.3之間時，停止篩選循環。

1.2 ITD

ITD同EMD相似，將原始信號分解為由瞬時頻率和瞬時幅值組成的一系列由高頻到低頻的旋轉分量和單調趨勢項兩部分[10,11]。

設Xt為待分解的實值離散信號，定義L為基線提取算子，Lt為基線分量，Ht為固有旋轉量。定義Xk表示X(tk)，Lk表示L(tk) 。ITD算法計算步驟如下[8]:

1)提取Xt序列的極值點Xt和對應時間{τk,k=1,2,…,N},并定義τ0=0。在區間(τk，τk+2]上，定義線性變換公式為

(3)

2)提取出固有旋轉分量Ht

Xt=LXt+(1-L)Xt=Lt+Ht

(4)

3)將基線信號Lt作為待分解信號重復步驟(1)、步驟(2)，當Lt單調或幅值小于閾值時終止分解。

ITD作為一種不受時頻不確定影響的局域波分解方法能夠得到更高的時間分辨率和頻率分辨率；相比于EMD，ITD過程中沒有復雜的篩選和插值，具有計算復雜度低、計算速度快的優點，在線分析實時信號時具有更大的優勢；其邊緣效應只出現在第一個過零點之前。不會隨著信號分解向內部數據傳輸[12,13]。

1.3 MEMD

使用基于信號投影來產生多維信號包絡。設信號為n維，首先在n-1維球面上選取不同的方向向量；然后將原始信號投影到各個方向向量上，在各個方向上取極值點；再將這些極值點映射到原信號上，通過三次插值找到對原始信號包絡的估計；最后，取各個方向包絡的均值，得到期望均值[14,15]。MEMD在保留了EMD優勢的基礎上，將該算法擴展至多維數據分析鄰域，對其他一維分解算法擴展具有指導意義。

2 MITD算法

2.1 擴展思路

仿照MEMD擴展思路，取多維信號上的極值點，對極值點運用多維基線節點提取公式，整合節點和極值點，利用多維線性變換方法，得到均值信號，從原信號中剔除均值信號，得到一層分解子信號。經過多次循環，得到一系列旋轉子信號和一個趨勢信號。

該擴展思路涉及3個關鍵點：1)多維信號極值點的定義；2)多維基線節點公式的提出與證明；3)線性變換因子及多維線性變換方法的合理性。

2.2 多維極值點的定義

原信號中切線方向與投影方向垂直，且切線變化的方向均不垂直于投影方向的點。可知，有且僅有投影信號的極值點，在原信號上的對應點，是原信號投影方向的極值點。

2.3 多維基線節點公式

(5)

直線AC與平面τ=τj的交點為b(mj,nj,τj)，且mj，nj滿足

(6)

B點和b點之間的連接向量為

(7)

根據線性縮放關系可得

=((1-α)(Xj-mj),(1-α)(Yj-nj),0)

(8)

式中o為坐標原點,由此可得

=((1-α)Xj+αmj,(1-α)Yj+αnj,τj)

為打通農商行進入資本市場的渠道，應由上級部門(如省聯社)等進行主管，協同各區域農商行進行集中出資，來設立農商行股權交易信息中心，實現股權登記、質押、掛牌、托管等多功能，同時結合當地農村區域發展狀況，可以將債權、土地承包權、金融資產及林權等在交易中心來辦理交易及托管，將其打造成適用于農商行的戰略平臺。除此之外，農商行應建立健全股權流通的相應機制，完善交易流程及運行規則，對股權轉讓、設置及信息披露來進行明確規定，嚴格規范股權在交易中的操作細則，將制度進行市場化、透明化，使得廣大股東充分明晰自身的權益，構建科學規范、合法、高效的農商行股權流動機制，實現股權的正常化，發揮農商行股權的真正價值。

(9)

即點Lj的解析表達式滿足

(10)

推廣到n+1維中，可位于τj時刻的基線節點Lj(m1,j,m2,j,…,mn,j,τj)解析表達式(i=1,2,…,n)

(1-α)Xi,j

(11)

2.4 多維線性變換公式

在區間(τk,τk+1]內，n維信號在t時刻為Xt(x1t,x2t,…,xnt)，投影方向向量為q(a1,a2,…,an)，原信號在該投影方向對應的兩個基線節點為Lj(m1,j,m2,j,…,mn,j)，Lj+1(m1,j+1,m2,j+1,…,mn,j+1)。

由式(3)所示的一維線性變換公式，定義線性變換因子Pt為

Pt=(Xt-Xk)/(Xk+1-Xk)

(12)

類比得到多維線性變換因子Pt為

(13)

由Pt得Xt的線性提取結果為

LXt={Lx1t,Lx2t,…,Lxnt}

(14)

式中Lxit=mi,j+(mi,j+1-mi,j)Pt

3 算法優化與應用試驗

3.1 算法優化

在MEMD中使用的Halton序列的低差異性會隨著維度的上升呈指數下降。所以,在MITD中利用一種新的低差異序列Sobol序列來代替Halton序列來選擇原信號的投影方向，以適應更高維度的信號分解。

3.2 仿真分析

由于MITD，ITD和MEMD都沒有明確的解析公式，只能通過相應算法來定義，因此，比較的過程建立在數值仿真的基礎上。四維仿真信號x各個維度信號如式(15)所示。為了突出MITD在保留信號局部特征方面的優勢，選用三角波作為測試信號。對其分別進行MITD,ITD和MEMD，并對比分析這三種算法

(15)

式中 sawtooth(2πfit)為頻率為fi(i=1,2,3,4)，幅值為1，關于零線對稱的三角波；xf為0.5 s時產生的一個持續時間0.05 s，12 Hz的三角波震蕩；f1=10 Hz，f2=20 Hz，f3=50 Hz，f4=100 Hz。

采樣時間1 s，采樣頻率fs=1 000 Hz，分解結果對比如下：

標準ITD多維信號時，易出現模式不齊整和模式混淆，且難以檢測故障信號。而在MITD的分解結果中，克服了這些問題。雖然MEMD和MITD都可以無混淆的分解多維信號，且檢測出故障信號。但由于MEMD采用三次樣條插值，導致分解結果趨向正弦，難以反應信號的本質特征。

3.3 工業實例分析

從某工業控制回路中，取5個回路的1 500個采樣點測試信號。MITD分解工業信號的結果如圖1所示。其中，第1層為高頻噪聲H1、H2的疊加，第4層為殘差。計算時域的零交叉點規律性指標判斷是否有振蕩發生。

由表1可知，H3層各回路對應的振蕩檢測指標均小于1，未被判定為發生振蕩；H4層中各回路對應的零交叉點規律性指標均超過給定閾值1，說明這些分解子信號均為振蕩分量；檢測到5個回路同時存在振蕩，因此可以判定為廠級振蕩。由圖1可以看到有一個輕微的振蕩在N=1 000時進入到工業回路中在回路之間傳播，并在N=1 250之后被校正，沒有造成明顯的過程振蕩。該振蕩被MITD準確提取，充分證明了該算法提取多維信號局部特征的能力。

圖1 MITD對工業實例分解結果

變量回路7回路12回路13回路19回路22H30.490.690.560.4800.594H42.682.682.602.8203.226

4 結 論

本文在已有的EMD，ITD，MITD算法基礎上，提出了多維數據分解的新方法—MITD，通過極值點的定義、多維基線節點提取公式以及多維線性變換公式這3個關鍵點來完成算法擴展。試驗仿真結果表明：相較于EMD和MEMD算法，MITD算法分解效率高，端點效應小，局部特征明顯，是一種有效的多維信號處理方法。