張 威， 艾 云， 郭 娟

(中國科學院 西安光學精密機械研究所，陜西 西安 710119)

0 引 言

～隨著激光穩頻技術和時間基準技術的發展，使用光學干涉方法測試絕對重力加速度成為主流,各國科學家研制了多種型號的光學干涉式絕對重力儀[1]。光學干涉式絕對重力儀基本原理是利用激光干涉方法測量真空環境中自由下落角錐棱鏡運動軌跡，將其位移時間數據代入運動方程，計算絕對重力加速度最佳估值[2]。本文介紹自由落體數學模型，利用變分法確定測量高度，采用最小二乘法擬合等時間和等距離數據測量高度，并模擬數據測量高度誤差，為光學干涉式絕對重力測試提供參考。

1 相關理論

1.1 自由下落運動數學模型

圖1為光學干涉式絕對重力儀原理，穩頻激光經分束器分為豎直向上的測試光束和水平向右的參考光束，測試光束分別經過真空腔中自由下落的落體棱鏡和超低頻垂直隔振系統中參考棱鏡的反射后于分束器處與參考光束產生干涉，干涉信號經光電探測器轉換接收并由高速數字化儀采集存儲，利用存儲數據與運動方程擬合計算絕對重力加速度[3]。由于落體棱鏡在真空環境中自由下落，僅受自身重力作用，其下落速度會逐漸增大，產生的干涉條紋頻率也逐漸增大。

圖1 光學干涉式絕對重力儀原理

地球表面重力梯度隨位置和高度不同而變化，絕對重力測試過程中，落體棱鏡下落距離短，重力梯度變化可忽略，設重力梯度為常數γ。由于落體棱鏡在真空環境中自由下落，只受重力作用，根據牛頓運動定律，其運動方程為

(1)

式中z為落體棱鏡相對參考位置的位移，t為記錄數據時刻起，落體棱鏡的下落時間，g0為參考位置的重力加速度，z0為t=0時落體棱鏡相對于參考位置的位移。式(1)的解為

(2)

當t=0時，式(2)滿足初始條件

(3)

式中v0為落體棱鏡的初始速度，將式(2)代入式(3)，可得

(4)

(5)

式(5)為自由下落運動方程，當假定重力梯度γ=0時，方程可簡化為

(6)

絕對重力測試過程中，可分別用式(5)或式(6)進行擬合計算求解重力加速度估值。

1.2 參考測試高度

地球表面存在重力梯度，所測試重力加速度必須對應相應高度，即參考測試高度。如圖2所示，利用光學干涉式絕對重力儀測試重力加速度，落體棱鏡釋放前期不穩定且速度較慢，在處理過程中一般舍去初始下落位移h0的位移時間數據[2,3]。當測試點重力梯度γ已知或可測時，將落體棱鏡后續下落過程中的位移時間數據代入運動方程(5)，可擬合求解重力加速度g0，其為與起始點距離h0處的重力加速度，對應的參考測試高度為

href1=hinst-h0

(7)

式中hinst為絕對重力儀底部地面到落體棱鏡釋放點的距離。

圖2 絕對重力儀參考測試高度

當測試點重力梯度未知或不可測時，可利用式(6)擬合求解重力加速度，由于式(6)的推導過程中，假定重力梯度為γ=0，擬合求出的重力加速度所對應的位置應位于開始位置和結束位置之間，假定其與開始擬合位置距離為有效高度heff，其擬合得出的重力加速度的參考高度為

href2=hinst-h0-heff

(8)

確定有效高度heff，便能得到所測重力加速度參考測量高度。相對于式(5)，利用式(6)擬合求解重力加速度時不需要測試點的重力梯度γ，在更多情況下被采用[4,5]。

2 利用變分法確定參考測試高度

由于利用式(5)擬合得到重力加速度的參考測試高度href1的計算非常簡單，本文只討論利用式(6)擬合時參考測試高度href2的計算。提出一種參考測試高度href2的計算方法，利用這種方法可以在不確定測試點重力梯度γ的情況下，得到參考高度的精確值，其誤差小于1 mm。同時在公式推導過程中，考慮了初始位移及初始速度，且并未對其進行任何限制，因此，這個結果適用于任何利用最小二乘法求解重力加速度時參考測試高度的計算。

2.1 最小二乘擬合

使測量值z與擬合函數f(tn,ai)之間差的平方和最小

(9)

式中ai為擬合參數，χ2(ai)為最小二乘擬合函數，N為參與擬合的位移時間數據量。一般情況下，絕對重力儀測試過程中，參與擬合的數據分為等時間和等距離[3]數據，且數據量較大，可用積分形式將式(9)分別表示為

(10)

(11)

當不確定測試點重力梯度γ，利用式(6)擬合求解重力加速度，其參考測試高度為式(8)所示。為求有效高度heff，可將式(6)、式(5)中的z*和z分別作為上式中的z(t)和f(t,ai)代入最小二乘擬合函數，且使最小二乘函數取最小值。

2.2 等時間數據參考測試高度

當重力測試使用等時間數據時，將式(6)中的z*和式(5)的z代入式(10)，可得最小二乘函數

(12)

(13)

將式(12)代入式(13)，可得線性方程組

(14)

求解可得

(15)

(16)

式中s為落體棱鏡下落總高度，則有效高度heff為

(17)

2.3 等距離數據參考測試高度

(18)

根據式(5)，將坐標原點設置在測試開始的位置，即z0=0，可得

(19)

將式(19)和式(6)的z*與式(5)的z代入式(11)，可得最小二乘函數

(20)

使式(20)取最小值，則必須滿足

(21)

計算中舍去相對小量，可得

(22)

(23)

式中X1=28.0，X2=51.2，X3=30.6，X4=14.0,X5=0.5，Y1=56.0，Y2=84.0，Y3=33.6，Y4=2.8

由于計算中引入積分因子式(19)，等距離數據的參考測試高度式(23)相對于等時間數據參考高度式(17)更為復雜，但其僅由測試初始狀態及測試時間確定。

3 仿真驗證

圖3 參考測試高度誤差

圖中，根據式(17)和式(23)所得參考測試誤差隨著擬合數據增多而降低，最后趨近于零。目前光學干涉式絕對重力儀的擬合數量都在1 000以上[2～4]，當擬合數據量為1 000時，上述參考測試高度計算誤差分別為0.018 mm(等時間數據)和0.178 mm (等距離數據)，均小于Zumberge M A[6]和Niebauer T M[7]的計算結果。其中等距離數據誤差相對較大，為式(23)推導過程中舍去相對小量所致[8]。

4 結 論

本文針對測試點重力梯度未知的情況，提出了重力測試過程中的參考測試高度的計算方法，通過嚴格的理論推導，得到了參考測試高度的解析公式。并利用仿真得到參考高度的計算誤差小于1 mm，驗證了公式結果精確有效，能應用于光學干涉式重力測量領域。