基于DVL信息輔助下的捷聯慣導初始對準可觀測性分析?

羅銀波 張光俊 胡柏青 常路賓

（1.海軍駐九江地區軍事代表室 九江 332000）（2.海軍工程大學導航工程系 武漢 430000）

1 引言

目前的水下導航技術使以前被認為不可能或不切實際的新興應用成為可能，包括自主海軍作戰，海洋學研究和冰下調查。盡管取得了重大進展，但精確導航仍然是對所有水下平臺的重大挑戰［1～2］全球定位系統（GPS）為水面以上的車輛提供卓越的三維導航功能，但由于GPS射頻信號的水堵，不能在水下。這限制了GPS用于測量聲學轉發器或幫助水下應用的傳感器校準［2］。聲學導航廣泛用于有限區域的科學和工業水下航行器，其需要事先小心地將信標固定或停泊在海床上或水面艦艇的船體上。

多波束多普勒計程儀（Doppler Velocity Log，DVL）可以提供海底跟蹤或水層跟蹤3-D速度。計程儀的測量值是絕對速度，而且測量值中不含有隨時間積累的誤差［3～4］。當IMU測量任意三維（3D）角速度和平移加速度時，IMU可以測量任意三維（3D）角速度和平移加速度，從而產生導航信息。使用IMU進行DVL聯合可以在未開發區域進行大規模水下導航。它們在特征上相互補充。DVL速度有助于IMU減輕累積的導航誤差和校準慣性傳感器誤差。另一方面，IMU的短時穩定性有助于DVL自適應地更新由于水溫和密度等環境因素而可能發生顯著變化的參數［5～6］。

在利用DVL與SINS進行初始對準時，一般將系統誤差及相關器件的誤差作為狀態變量進行濾波估計，狀態估計的精度及速度決定著系統初始對準的速度及精度，而狀態估計的精度及速度又與系統的可觀測性有很大關系，當被估計的狀態不可觀測或者可觀測性較低時，將狀態估計值反饋給系統會造成系統的精度下降甚至發散，因此需要對系統狀態變量進行可觀測性及可觀測度的分析，常用的可觀測分析方法有三種：第一種是1992年Goshen-Meskin和Bar-Itzhack等提出的分段線性定常系統（簡稱 PWCS）的可觀測分析方法［7～9］；第二種是1997年東南大學提出的基于系統可觀測矩陣奇異值分解（SVD）的方法［10～12］；第三種是Ham提出的利用卡爾曼濾波器的估計誤差協方差矩陣的特征值和特征向量來分析的可觀測性分析方法［13］。第一種方法只能分析SINS是否能完全被觀測，對于不能完全被觀測的系統不能定量進行分析由于SINS屬于線性時變系統，判斷其是否可觀測性比較復雜，不能簡單通過秩來判斷；第三種方法是在Kalman濾波之后才能進行分析，計算量大，可觀測分析復雜；而第二種方法能彌補第一種方法的不足，對于不完全可觀的系統能定量分析其可觀測度，且計算簡單，能將可觀測性分析的結果直觀地呈現出來。本文首先對PWCS理論及SVD理論進行了介紹，進而構建了基于DVL信息輔助下SINS初始對準的系統模型，最后利于基于系統可觀測矩陣奇異值分解（SVD）的方法分別對模型在靜止和轉動狀態下進行可觀測性分析，結果表明轉動狀態下能激勵慣性器件的各誤差參數，使基于DVL信息輔助下SINS初始對準的系統模型可觀測。

2 PWCS理論

對于基于DVL速度輔助的捷聯慣導初始對準，載體在每個位置時都可視為線性定常系統，當載體姿態發生變化之后，系統進入另一個線性定常系統，因此整個對準過程可視為分段線性定常系統。因此可以利用PWCS對整個對準過程進行可觀測性分析。

PWCS系統有如下模型：

其中，j=1，2，…，r，在第 j時間段內，Fj，Hj為定常陣。

由于捷聯慣導系統參數的可觀測性與激勵無關，為簡化分析問題，只研究齊次系統的可觀測性。離散化后的齊次方程為

第 j時間段內的觀測值可以表示為

對于第 j時間段內的可觀測矩陣可表示為

對于第 j時間段內的觀測方程可表示為

則系統總的觀測方程可表示為

系統的總觀測矩陣（Total Observability Martrix，TOM）為

定義系統的SOM（Stripped Observability Martrix）為

定 理 1：如 果 FjX=X ，?x∈NULL(Qj)，1≤j≤r，則 NULL{Q(r)}=NULL{Qs(r)}，Rank{Q(r)}=Rank{Qs(r)}。

從定理1可以看出，用SOM代替TOM對系統進行可觀測性分析可大大降低系統的維數，降低計算量。

定理2：當且僅當Rank{Q(r)}=n時，系統是完全可觀的。

3 基于SVD的可觀測度分析方法

基于PWCS理論的可觀測分析方法只能判斷系統是否完全可觀測，對于不完全可觀測的系統，PWCS方法不能定量的分析。而基于SVD的可觀測性分析方法則能定量的分析狀態變量的可觀測度。

設系統的可觀測矩陣為Q，觀測序列為Z，初始狀態為 X0，則

根據矩陣理論中奇異值分解的方法，將Q分解如下：

將式（11）代入觀測方程中有

如果 αn＞0，則

當αr=αr+1=αr+2=…=αn=0時，

其中αi是該系統零空間中任意系數，該系數有很多可能的解，因此不能用觀測量將初始狀態估計出來。

當Z具有常值范數時，X0的上界為

式（15）說明，奇異值越大，X0的上界越小，則狀態變量的估計性越強。

綜合PWCS理論和基于SVD的可觀測性分析方法，總結出求系統各個狀態變量的可觀測度的方法，步驟如下：

1）從第一個時間段開始，令 j=1；

4）計算該時間段對應的外觀測量Z的值；

5）根據每一個奇異值 αi與對應的 ui，vi，計算對應的狀態變量X(0)，并根據X(0)的值判斷各個狀態變量的可觀測度；

6）按照上述步驟繼續分析下一段時間段，直至最后一個時間段為止。

4 基于DVL速度信息輔助的SINS初始對準系統模型

基于DVL速度信息輔助SINS在系泊條件下進行初始對準時，可直接利用載體系速度信息作為觀測，利用DVL提供的載體系速度和慣導解算的導航系速度之間的姿態轉移關系構造量測方程。考慮到陀螺刻度系數誤差[δKG]、加速度計刻度系數誤差[δ KA]、陀螺安裝誤差[δ G ]、加速度計安裝誤差[δA]、里程計刻度系數誤差δKD其在系泊條件下的觀測模型可表示為

1）速度誤差方程

取“東北天”坐標系為導航坐標系，在系泊條件下VN=VE=0，則有

記

可得到系泊條件下以分量形式表示的速度誤差方程為

其中

2）姿態誤差方程

取“東北天”坐標系為導航坐標系，得到系泊條件下以分量形式表示的姿態誤差方程為

式中

在系泊條件下，解算得到的位置和速度即為速度誤差和位置誤差，陀螺儀和加速度計的各項誤差參數通過誤差傳遞影響導航輸出，即解算得到的導航誤差中包含了上述誤差源。系統狀態方程為

其中X包含25維變量，形式如下：

F為狀態轉移矩陣，根據上一節推導的誤差傳播模型，狀態轉移矩陣F具有如下形式：

其中

觀測方程為

其中，觀測量 Z=[δVE，δVN，δVU]T，觀測矩陣 H 為

將式（23）和式（25）描述的系統進行離散化：

上式中，Φk，k-1為一步轉移矩陣，Wk為系統激勵白噪聲，Vk為量測白噪聲。同時Wk和Vk滿足：

5 可觀測性分析實驗

在不同激勵條件下，基于DVL的捷聯慣導初始對準模型各誤差參數的可觀測性是不同的，只有可觀測的誤差參數才能通過卡爾曼濾波進行估計，此處考慮載體靜止及轉動的情形，其運動分段情況如表1所示。

表1 分段轉動的每階段情況

限于文章篇幅，僅并列出相應的可觀測狀態變量的奇異值表格。

1）當載體處于靜止時，捷聯慣導系統指向：東、北、天，陀螺儀和加速度計敏感到的信號以及載體的姿態矩陣分別為

利用SVD分解得到靜止狀態下各個狀態量的可觀測度如表2。

表2 位置1可觀測性

由上表可以看出，當載體處于靜止狀態下時，水平加速度計零偏、方位陀螺儀漂移均處于不可觀測的狀態，因此需要將全部的誤差參數激勵出來，必須依靠載體轉動來完成。

2）當載體從位置2旋轉至位置3時，起始時刻陀螺儀和加速度計敏感到的信號以及載體的姿態矩陣為

由直方圖分析載體在由位置2轉至位置3的過程中可觀測的狀態變量及其奇異值如表3所示。

由表3明顯看出，當載體從位置2轉到位置3時，加速度計的兩個水平零偏和水平安裝誤差可觀測，陀螺儀的零漂和Y軸上的安裝誤差可觀測，另外，水平姿態角及速度誤差也是可觀測的。將載體轉動時的可觀測情況與靜止時比較，證明載體轉動時能激勵慣性器件的各誤差參數，使其可觀測。

表3 位置2轉動至位置3可觀測性

6 結語

本文首先對PWCS理論及SVD理論進行了介紹，進而構建了基于DVL信息輔助下SINS初始對準的系統模型，最后利于基于系統可觀測矩陣奇異值分解（SVD）的方法分別對模型在靜止和轉動狀態下進行可觀測性分析，結果表明轉動狀態下能激勵慣性器件的各誤差參數，使基于DVL信息輔助下SINS初始對準的系統模型可觀測。