多正交信號水下導航系統位置校準的CRLB研究?

郭錦標 張 森

（海軍工程大學 武漢 430033）

1 引言

隨著海洋開發的不斷發展，對水下導航定位設備的需求越來越高。基于單信標的水下導航系統由于其實用性和經濟性等優勢受到越來越多的關注和研究。

多正交信號水下導航系統［1］通過一個信標同時發射一組正交信號，使得接收端接收到信號就可以解算出自身位置，系統由水下的聲學設備和船上的信號處理設備及GPS等組成，如圖1所示。

由于在布放水下信標時，只能獲得信標的概略位置，其在水下的精確位置不得而知。接收端需要獲知信標的精確位置，以此修正解算值。信標的位置信息是導航系統位置解算的必須數據，因而通過校準獲得水下信標的地理坐標是多正交信號水下導航系統的一項關鍵技術。

校準航跡的選擇直接影響位置估計的效果。國外超短基線系統技術比較成熟，生產設備的公司中，Sonardyne公司采用“⊕”字型的校準航跡［2］，而IxSea公司的Posidonia采用“8”字型的校準航跡［3～4］進行數據獲取，至于他們為何選擇這樣的航行軌跡，我們不得而知。而在國內，最早由唐秋華等［5］提出超短基線定位系統的校準算法，它是將安裝校準的三個旋轉角度偏差和三個位移偏差等效作參數估計問題，在最小二乘準則下估計各個量的值，并對其進行優化，但其并未提到校準航跡的選擇問題。之后的校準研究都是基于這個方法而進行改進，2005年喻敏在研制長程超短基線時提出了校準數據采用航船繞行方式獲?。?］，2007年鄭翠娥［7］在USBL的水下平臺對接應用中提出了校準航跡需要選擇繞行半徑較大、水深不易過淺的測線。楊保國［8］通過建立校準觀測方程，研究方程最小二乘解的唯一性和無偏性，提出了校準航跡需滿足一定的尺度和對稱性的要求，并且驗證了“⊕”字型和“8”字型航跡的可行性。

圖1 多正交信號水下導航系統

多正交信號水下導航系統的校準航跡在現有的傳統的“⊕”字型和“8”字型中選擇，本文通過比較不同航跡的位置估計性能，合理規劃校準的路徑選擇，可以有效提高位置估計的性能。

2 誤差模型建立

基于最小二乘準則的位置估計［9］需要先建立觀測模型，根據空間測距交會原理得到觀測方程為

其中，x，y，z為待求的水下信標在大地坐標系下的坐標，xi、yi、zi(i =0，1，...n )為接收端（水聽器）在大地坐標系的坐標（n為船測量的次數），di為利用聲學方法測出的信標與水聽器的距離。

在觀測過程中，存在兩方面的誤差：1）距離測量的誤差；2）GPS定位誤差。

2.1 考慮距離測量的誤差

當存在距離測量誤差時，則式（1）應改寫為

式中的觀測距離誤差量ni是直接由距離測量誤差帶來，實質上距離測量誤差是由于使用聲學設備測量接收端與發射端之間信號傳播的時延誤差所致，誤差可以看成是零均值的高斯隨機變量，si表示實際的觀測值。

2.2 考慮GPS測量的誤差

接收端的大地坐標由GPS測量獲取，在測量過程中也存在誤差，因此接收端的位置誤差也是影響位置估計的主要誤差來源之一。為了清楚分析GPS測量誤差的影響，這里先忽略距離測量的誤差，即假設GPS測量誤差是唯一的誤差來源，此時式（1）可以改寫為

將第i個接收端位置的坐標誤差記為

式中 ，xi，yi，zi是接收端的實際位置為GPS測量的位置。同樣假設GPS定位誤差服從零均值的高斯分布，三個坐標軸方差分別為

對式（3）進行泰勒展開并取其一次項得到

所以可以得到觀測距離的誤差為

則

GPS的定位精度水平方向和垂直方向稍有差異，一般垂直方向的定位精度約為水平方向的2～3倍［10～11］，為了后續計算方便，將水平定位精度與垂直方向定位精度近似相等，因此可以得到：

2.3 總誤差模型

上面分別討論了只存在距離測量誤差和GPS測量誤差時觀測方程的建立，實際上，觀測方程誤差既有來自距離測量的誤差，也同時存在GPS的測量誤差，所以觀測方程的方程應該寫為

3 CRLB推導

式（9）可以表達成簡潔形式：

式中p=(x ，y，z)為待估計的向量，即水下信標的位置。

假設誤差是相互獨立的高斯隨機變量，則條件概率密度函數p(s|P)為

將式（11）取對數并略去常數項可以得到對數：

位置估計向量 p的第k個參數（即 pk）的CRLB定義為［12］

通過數學處理，可以得到費歇爾信息矩陣如下：

根據上述公式，利用矩陣求逆可以得到三個位置坐標估計的CRLB為

4 CRLB的仿真分析

基于最小二乘的位置估計是一種無偏估計的過程，CRLB作為評價無偏估計性能的界限，能對估計結果的性能做出評估。在引言中介紹過，不同航跡的選擇影響到校準結果的性能，目前常用的校準航跡是“⊕”字型和“8”字型，因而可以運用本文推導的CRLB對二者的估計性能進行比較，并結合多正交信號水下導航系統的實際做出較佳校準路徑的選擇，同時也可以建立CRLB與GPS測量誤差及時延測量誤差的關系。

4.1 航行軌跡的仿真

仿真“⊕”字型和“8”字型的航行路線，在航行路徑上取均勻的觀測點用于獲取數據。假定海平面深度為0，向下為正方向，船繞著信標航行，兩種路徑如圖2所示。

圖2 船的測量點與信標的位置

4.2 位置估計結果的比較

在航跡上均勻取點作為數據測量點，在每個測量點上，檢驗1000次的測量結果，對水下信標位置估計結果進行性能平均，比較在兩種航跡下算法估計的均方根誤差，用CRLB作為兩種航跡估計性能的檢驗標準。假設水下信標的真實位置是在測量點的位置誤差為GPS的測量誤差所致，且x、y和z軸坐標的誤差為獨立的高斯隨機變量，其均值為0，并假設水平定位標準偏差為1.5m；時延測量誤差同樣為獨立的高斯隨機變量，其均值為0，標準偏差為10-4s。

根據仿真結果計算這兩種航跡位置估計的均方根誤差。按照下式計算CRLB的開方:

位置估計的均方根誤差（RMSE）按照下式計算:

其中L表示在每個測量點上的實驗次數。

仿真圖中的圖例解釋如下：

circular-sim表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計的均方根誤差模擬結果。

eight-sim表示基于“8”字型航行軌跡位置估計的均方根誤差模擬結果。

CRLB1表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結果。

CRLB2表示基于“8”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結果。

圖3 航行軌跡半徑與位置估計誤差的關系

考慮在航跡上均勻測量400個點，其中“⊕”字型航行軌跡在圓周上均勻取200個測量點，在兩條直徑線上各均勻取100個測量點；“8”字型航行軌跡在兩個圓周上各均勻取200個測量點。從圖中可以看出，采用“8”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結果優于“⊕”字型航行軌跡定位，但隨著測量半徑的增加，兩種航行軌跡位置估計的性能差距越來越小，在半徑達到200m左右時，“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結果開始低于“8”字型航行軌跡的計算結果。采用最小二乘的計算方法進行位置估計，估計得到結果的均方根誤差可以逼近CRLB，因而我們采用的CRLB計算方法可以用于預測位置估計算法的性能。從這個仿真結果可以指導我們在實際測量中根據測量船航行的半徑選擇航行路徑，使得位置估計的精度理論上盡可能地得到提高。

考慮測量點的數目對位置估計性能的影響。同樣比較兩種航跡的CRLB計算結果和位置估計的均方根誤差模擬結果，鑒于上面比較的航跡半徑對位置估計性能的影響，取航行半徑為200m，這樣航行半徑對不同航行軌跡的影響相近。

圖測量點數目與位置估計誤差的關系

從圖中可以看到，采用“⊕”字型航行軌跡位置估計的CRLB計算結果優于“8”字型航行軌跡定位，但這種優勢是十分微弱的，所以測量點的數目對兩種路徑的位置估計影響是一致的。

圖5 測量點數目與位置估計誤差的關系

在實際測量環境中可能達不到大半徑的需求（航行半徑在200m以內），且為了降低成本盡量減少測量的次數，所以若要得到較高的位置估計精度，應選擇采用“8”字型的航行軌跡。但這種航跡是由兩個外切圓組成，完整的航跡需要走過的水域面積是“⊕”字型航行軌跡的兩倍?，F在我們考慮“8”字型的航行軌跡半徑為100m，“⊕”字型航行軌跡半徑不變，觀察兩種航跡對位置估計性能的影響。

可以看出在這種情況下，“⊕”字型航行軌跡位置估計的性能優于另外一種。對于多正交信號水下導航系統，其功能是實現一定區域的水下導航，若船的航行區域過廣，也可能會出現接收不到水下信標信號的情況。所以無論水域可航行區域有限，或是出于校準的可實現性考慮，“⊕”字型的航行路徑選擇優于“8”字型。

4.3 CRLB與系統測量設備誤差的關系

水下導航系統用于位置校準的測量設備主要有GPS和聲信號傳播時延測量儀器，這些設備的誤差決定了校準的性能。在位置校準中可以利用CRLB與測量設備誤差的關系選擇測量設備的參數，從而達到位置校準的精度需求。

選擇“⊕”字型的校準路徑，航行半徑200m，觀測在不同的GPS測量誤差和時延測量誤差下CRLB的趨勢，如圖6所示。

圖6 CRLB與GPS及時延測量誤差的關系

通過建立上面的趨勢圖，可以直觀地看出CRLB與GPS測量誤差及時延測量誤差的關系。當校準技術指標要求達到多大精度的位置估計時，那么就可以在z軸找到對應的的數值，用一個垂直于該數值的面與得到的這個曲面相交，將相交所得的曲線投影至xoy面上，坐標值對應的便是GPS測量誤差和時延測量誤差的精度要求，因此利用此關系圖可以指導選擇測量設備的參數。

5 結語

本文采用傳統的基于最小二乘原理的方法對多正交信號水下導航系統的信標位置進行校準，主要提出并完成了以下幾個工作：

1）建立了位置校準的誤差模型；

2）推導了用于評估位置估計性能的CRLB；

3）通過計算機仿真分析，“⊕”字型的校準航跡得到的位置估計結果性能更優；

4）建立CRLB與系統GPS測量誤差、時延測量誤差的關系。