以“不變”應“萬變”

許辰宇

【問題背景】已知y關于x的函數表達式y=2kx-3k+2，觀察這個函數表達式，你有什么發現？

面對這個問題，一開始或許你毫無頭緒，仔細思考后，可能你會有所發現，甚至發現獨特之處。

【思考探索】不難發現，這是一個含參數（k）的一次函數解析式。為了研究它的特殊性，我們不妨取一些k值（如表1），并畫出它的圖像（如圖1）。

觀察圖像，我們可以得知，一次函數y=2kx-3k+2的圖像總經過點（[32]，2）。這是什么原因呢？于是，我對原來的表達式進行恒等變形，看看能否找到問題的答案。

由y=2kx-3k+2，可得y=k（2x-3）+2，即y-2=k（2x-3）。

既然原函數表達式y=2kx-3k+2是成立的，那么變形后的表達式也是成立的，而我們知道，k作為一個系數是可以取不為0的任何實數的，要使原式成立，需滿足（y-2）和（2x-3）的值分別為0。這就是為什么函數圖像總經過點（[32]，2）的本質原因。

結論應用如圖2，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值是多少？

本題是一道有關線段最值的問題。在圓內求線段的最值，需確定線段的兩個端點的位置。從這個角度分析，即使我們知道k值，也很難確定點B與點C在平面直角坐標系中的位置。因此，我們要從函數表達式入手，將其進行適當的變形，發現函數圖像總過點（3，4），此時可求得圓心O到點（3，4）的距離為5，問題就轉化成求過⊙O內一點的最短弦問題。運用垂徑定理和勾股定理，求解步驟如下：

解：∵y=kx-3k+4，

∴k（x-3）=y-4，

∵k有無數個取值，由x-3=0、y-4=0，

可得x=3，y=4，

∴直線一定過點D（3，4）。

如圖3，根據勾股定理，可求得OD=5。

∵最短的弦BC是過點D且與⊙O垂徑垂直的弦，∴連接OC，OC=OA=13，OD=5，在Rt△COD中，可求得CD=12。

∵OD⊥BC，

∴BC=2CD=24。

【解題感悟】在求解有關含參數的函數表達式的問題時，往往需要在變化的參數中找到那個“不變”的點（或量），再運用這些不變的量去破解復雜多變的問題，此所謂以“不變”應“萬變”。