位移法在靜定結構的應用

葉 騰

（漳州職業技術學院，福建 漳州 363000）

0 引 言

綜觀結構力學教材對位移法的表述是：位移法是解決超靜定結構的一種基本方法，利用位移法既可以計算超靜定結構的內力，也可以計算靜定結構的內力。而對如何將位移法運用于靜定結構的分析，則語焉不詳，沒有實際的例子［1－8］。文中就幾個算例嘗試說明位移法是如何在靜定結構的位移和內力計算中的應用。

1 靜定結構的位移計算

談到靜定結構的位移計算，一般第一反應就是采用虛功原理之單位荷載法，或用積分、或用圖乘法加以計算確定。

算例1：若欲求轉角θA，作為位移狀態如圖1所示。

通常是在A處施加一個單位力偶，建立虛擬力狀態，如圖2所示。

圖1 位移狀態

圖2 虛擬力狀態

設B為x軸原點指向A。

分別求出兩種狀態的支座反力，進而建立兩種狀態的彎矩方程如下：

則

該方法需要建立虛擬力狀態和位移狀態兩種狀態的彎矩方程，若在復雜荷載情況下，容易出錯，并且可能需要分段積分，計算過程繁雜。

算例2：求圖3（a）C的豎直位移Δcv。

通常分別作出M和M 圖，然后采用圖乘法可以求得：

由于AC和CB段的彎矩圖均為非完整拋物線，所以在計算過程中經常容易出現錯誤。

位移法的基本出發點是先考慮變形協調條件，然后根據平衡條件確定變形的唯一性。當我們熟悉了單跨超靜定梁的形常數和載常數后，特別是單跨靜定梁，可以通過對靜定結構適當的改造，即在欲求位移的方向上添加相應的約束，然后利用位移法的桿端位移方程，并考慮改造后的結構與原結構在添加約束處的靜力平衡關系，可以很方便地進行位移計算。

圖3 算例2結構圖

如算例1，設在A處添加一個約束，并令A產生轉角θA，如圖4所示。

圖4 算例1添加約束后的轉換結構

利用單跨超靜定梁的形常數和載常數則有：

原結構A是鉸結點，所以有：

求得：

結果一致。

如算例2，在C處添加一個鏈桿支座，如圖5所示。

圖5 算例2添加約束后的轉換結構

并令向下產生位移Δ。

設

則

桿端位移方程：

實際結構如圖3（b）有

代入式（1）和式（2）中即可求出：

結論一致。

2 靜定半剛架的彎矩及側移計算

靜定開敞的半剛架存在的固有特性，使得采用位移法可以很方便繪出彎矩圖，并快速求得側向位移。

算例3：作圖6結構的彎矩圖，并求ΔCH。

位移法解：

AC，CB桿端位移方程為：

圖6（b）有

利用截面平衡

圖6 算例3結構圖

有：

則

利用結點C力矩平衡

有：

據此，即可運用疊加原理作出該結構的彎矩圖。

同時將式（5）的結果代入式（3）和式（4）即可求得：

3 結 語

位移法的基本出發點是先考慮變形協調條件，然后根據平衡條件確定變形的唯一性。當熟悉了單跨超靜定梁的形常數和載常數后，可以融會貫通，通過對靜定結構的適當改造，是可以采用位移法很方便地進行位移計算。同時，對于某些特定的結構可以不必求解支座反力，即能作出彎矩圖。

［1］包世華.結構力學（下冊）［M］.武漢：武漢工業出版社，2000.

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