數值級數法求解薛定諤方程

孫建英， 蹇玲玲， 高發玲

（青島理工大學琴島學院，山東 青島 266106）

0 引 言

在工程領域和物理科學中，大量的現象可以用薛定諤偏微分方程來刻畫，也產生一些求解薛定諤偏微分方程的數值解法［1－7］，文中將結合非標準有限差分格式的特點，給出一種計算此類方程的新方法——數值級數法，該方法簡潔、有效、精度高。其特點是可以將每個網格點（xm，tn）處的數值解unm以級數的形式給出

文中考慮如下初邊值一維薛定諤方程：

式中：T，L——非負常數；

φ（x），g0（t），g1（t）——連續函數。

1 差分格式的構造

對式（2）半離散得到差分方程

設

則有

則數值解記為

當m＝0，m＝M時，由邊界條件得：

則取

當m＝0，1，2，…，M－1時，將式（5）代入式（4）得：

比較上式兩端得到遞推計算公式：

進一步整理得：

2 收斂性的證明

定理1 差分格式（13）無條件收斂。

3 穩定性的證明

定理2 差分格式（13）無條件穩定。

證明 對式（13）兩端求和得：

令

所以

則寫成矩陣方程為：

則易得：

其中：

所以差分格式無條件穩定的。

4 數值算例

這個問題的精確解為u（x，t）＝xeit。取時間步長為0.05，空間步長為0.1，進行數值計算，結果見表1。

從表1可以看出，文中給出的數值解法解決此類問題是一個有效的方法。

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