基于頻控陣的穩健Capon波束形成

馮曉宇， 謝軍偉,*， 葛佳昂， 張晶， 王博

(1. 空軍工程大學防空反導學院， 西安 710051; 2. 陜西交通職業技術學院， 西安 710018)

近年來，相控陣由于其靈活的波束掃描方式，被廣泛應用于通信、雷達以及導航系統等方面[1]。但是相控陣的波束導向矢量在相同角度不同距離上是固定的[2]，即相控陣僅具有角度分辨力，不具有距離分辨力。為了克服這種缺點，頻控陣(Frequency Diverse Array，FDA)在2006年的國際雷達會議上第一次被提出[3]。這種陣列通過在陣元間引入相對于載頻十分微小的頻率增量，使陣列的方向圖空間分布距離-角度二維相關，從而使陣列具有更大的應用潛力，如對距離依賴干擾的抑制，對相同角度不同距離的目標的定位及跟蹤等。

FDA一經提出就引起廣泛的關注，大量文獻對其結構特性進行了分析研究。文獻[4]對FDA方向圖的時間與角度的周期性進行研究;文獻[5-6]指出FDA與正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)[7-8]和多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)[9-10]不同，是一種體制的創新，由于陣元間頻偏這一自由度的擴展，從而使陣列的方向圖隨距離、角度、時間變化，從而具有了距離依賴干擾抑制能力，新的雷達可控自由度催生更先進的信號處理技術。

干擾是現代雷達完成探測任務面臨的嚴峻挑戰，FDA的誕生為抑制干擾提供了新的思路，文獻[11]將FDA與MIMO結合，并提出一種基于直接數據域的穩健波束形成方法，從而區分出目標和干擾信號。文獻[12]提出一種基于樣本選擇的欺騙干擾抑制方法，在一定條件下能夠對抗主瓣干擾。

自適應波束形成是陣列信號處理的一個主要方面[13]，常規Capon波束形成器能夠有效接收目標信號并抑制干擾，但前提是目標方向準確已知，而實際應用中，導向矢量誤差的存在及有限的樣本導致波束形成器性能嚴重下降。為了解決上述問題，國內外學者提出了許多改進的自適應波束形成算法。對角加載算法能夠提高常規Capon波束形成器的穩健性，但加載系數難以確定[14]。基于特征空間的波束形成算法能夠減緩常規波束形成器對指向誤差的敏感性，但在低信噪比條件下，信號-干擾子空間難以正確估計導致算法性能下降[15]。文獻[16]提出一種基于不確定集約束的波束形成方法，該方法將導向矢量限定在一個橢圓形的不確定集內，可以證明這種方法屬于對角加載范疇，區別在于加載系數與導向矢量誤差產生聯系，通過求解不確定集選擇合適的加載系數，對于導向矢量失配具有穩健性。

目前對于自適應波束形成的研究主要是基于相控陣進行，對于FDA自適應波束形成很少涉及。因此，本文基于FDA這一新的雷達體制，采用文獻[17]中所給出的3種FDA接收信號處理機制，考慮到距離不確定性帶來的導向矢量失配問題，比如目標運動造成距離測不準等，運用穩健Capon波束形成(RCB)算法，分析在指向誤差存在情況下算法的穩健性。

1 FDA信號模型

1.1 FDA發射信號

假設一均勻線陣頻控陣列(ULA-FDA)，每個陣元的物理性質完全相同，但陣元的頻率依次遞增，其結構如圖1所示。

窄帶條件下，各陣元發射信號可表示為

sn(t)=exp(j2πfnt)n=0,1,…,N-1

(1)

式中：發射頻率fn=f0+nΔf,n=0,1,…,N-1，f0、Δf和N分別為載頻、頻偏和陣元總數。

設空間中一個目標到陣元0的斜距為R0，角度為θ，陣元n發射的信號到達目標的信號可表示為

(2)

式中：Rn=R0-ndsinθ，d為陣元間距；c為光速。

圖1 均勻線陣FDAFig.1 Uniform linear array frequency diverse array

(3)

則到達目標的信號可表示為

(4)

式中：wt為發射陣列通道權矢量，即

(5)

s(t,θ,R0)為信號構成的矢量，即

s(t,θ,R0)=[s0(t,θ,R0),

s1(t,θ,R0),…,sN-1(t,θ,R0)]T

(6)

可以得到

exp(jΦ0)

(7)

圖2 ULA-FDA發射方向圖Fig.2 Transmitting beampattern of ULA-FDA

參數數值ULA-FDA陣元總數N12載頻f0/GHz10頻偏Δf/kHz4.5陣元間距dc/(2f0)目標位置(θ^,R^0)(30°,50km)

1.2 FDA接收信號

根據1.1節分析，通道n發射的信號經過加權到達遠場目標后，反射回到接收陣列，則FDA第m通道接收的回波信號可表示為

(8)

式中：陣列的發射陣元與接收陣元數相同。

2 三種接收信號處理機制

2.1 第1種接收信號處理機制

(9)

然后，對各個通道進行加權，其中接收通道權矢量為

(10)

則可以得到輸出信號為

(11)

2.2 第2種接收信號處理機制

(12)

(13)

2.3 第3種接收信號處理機制

(14)

對于重排后的接收信號權矢量為

(15)

式中：

(16)

(17)

(18)

經過變形，可得第3種處理機制的閉式解為

(19)

3 穩健Capon波束形成算法

波束形成功能的實現有一個重要前提，就是目標位置與干擾位置必須精確已知。但在實際應用中，由于估計的期望信號位置存在偏差，即存在指向誤差，會使目標的導向矢量存在失配，進而引起波束形成器性能的下降，甚至失效[18]。為了解決導向矢量失配的問題，本文采用Li等[16]提出的穩健的Capon波束形成模型，并對其給出閉式解，得到修正后的目標導向矢量。模型可表示為

(20)

(21)

其中：λ為拉格朗日乘子，將式(21)變形為

(22)

接收信號的樣本協方差矩陣可分解為

(23)

(24)

對干擾加噪聲數據協方差矩陣特征分解得

(25)

式中：ΛJ=diag{β1,β2，…，βQ}為干擾子空間特征值矩陣;UJ=[μ1,μ2,…,μQ]為干擾子空間特征向量;Un=[μQ+1,μQ+2,…,μN]為噪聲子空間特征向量。一般情況下，干擾的強度遠大于噪聲，目標信號導向矢量在干擾子空間的投影很小，可得到

(26)

(27)

(28)

(29)

代入式(28)可得

(30)

因此，可以得到修正后的目標導向矢量估計值

(31)

利用求出的修正后的導向矢量解析解，替換常規Capon波束形成器中的目標信號導向矢量，可得到對應權矢量為

(32)

4 仿真分析

仿真13種接收信號處理機制的接收方向圖

實驗的基本參數與1.1節發射方向圖相同，如圖3所示，圖中綠點代表目標位置。從仿真結果可以看出，第1種和第3種接收信號處理機制都在目標位置形成了高增益，處理機制有效，而第2種處理機制未能在目標位置形成高增益，即主瓣位置發生偏移，不能有效接收目標信號，處理機制不具有實際意義。第3種處理機制相對于第1種處理機制而言，波束的高增益更集中，更有利于目標信號的接收，避免引入其他干擾及噪聲。

仿真2第1種、第3種處理機制存在誤差時的性能

由于第2種處理機制不具有實際意義，不作討論。圖4仿真的是存在指向誤差，未使用波束形成算法，第1種、第3種處理機制下的接收方向圖。從圖中可以看出，當存在指向誤差時，目標的導向矢量失配，2種機制都未能在目標位置形成高增益，波束主瓣發生偏移，在這種情況下，信號處理機制性能下降。

仿真3RCB算法在第1種、第3種處理機制中的應用考慮空間中一個干擾信號位于(-65°，90 km)，在強干擾環境下，令信噪比SNR=0，干噪比JNR=10 dB，快拍數為500，最大失配參數ε=2.5，目標的距離、角度估計誤差分別為ΔR=1 km，Δθ=2°。圖5仿真的是誤差存在時，利用RCB算法，在第1種處理機制下的發射、接收、發射-接收方向圖，圖6為在目標位置處，距離維和角度維的發射-接收方向圖。

從圖5、圖6可以看出，利用第1種處理機制，在誤差存在情況下，應用RCB算法能夠在目標位置形成高增益，在干擾位置形成零陷，驗證了算法在第1種處理機制的有效性。

圖3 不同處理機制接收方向圖(仿真1)Fig.3 Receiving beampattern of different processing mechanism (Simulation 1)

同理，可以得到第3種處理機制下的發射、接收、發射-接收方向圖，目標位置距離維和角度維的發射-接收方向圖，如圖7、圖8所示。

圖4 不同處理機制接收方向圖(仿真2)Fig.4 Receiving beampattern of different processing mechanism (Simulation 2)

圖5 基于RCB的發射、接收和發射-接收方向圖(機制1)Fig.5 Transmitting，receiving and transmitting-receiving beampattern based on RCB (Mechanism 1)

圖6 目標位置距離維和角度維發射-接收方向圖(機制1)Fig.6 Transmitting-receiving beampattern of range dimension and angle dimension at target position (Mechanism 1)

圖7 基于RCB的發射、接收和發射-接收方向圖(機制3)Fig.7 Transmitting，receiving and transmitting-receiving beampattern based on RCB (Mechanism 3)

圖8 目標位置距離維和角度維發射-接收方向圖(機制3)Fig.8 Transmitting-receiving beampattern of range dimension and angle dimension at target position (Mechanism 3)

從圖7、圖8可以看出，RCB算法在第3種處理機制下的有效性。實際上，第3種機制屬于FDA-MIMO范疇，而FDA-MIMO雷達在實際中的合理性和可行性，已經被大多數學者所接受，而第1種處理機制在實際應用中功率損失嚴重，可行性受限。

5 結 論

本文介紹了ULA-FDA的結構，仿真說明了其發射方向圖的距離-角度二維相關特性。

1) 引入了3種接收信號處理機制，對其結構進行理論推導及分析，仿真結果驗證了第1種、第3種處理機制的有效性，并在此基礎上，引申到在指向誤差存在的情況下，即估計的目標導向矢量與真實的目標導向矢量存在偏差。

2) 應用穩健的Capon波束形成算法，對估計的目標導向矢量進行“糾偏”，使波束在目標位置形成高增益，仿真結果驗證了算法的有效性。

3) 對于實際應用，第3種處理機制更具可行性，下一步考慮對RCB算法應用于樣本數不足的FDA-MIMO體制進行研究。