基于自適應(yīng)迭代的機(jī)器人曲面恒力跟蹤

李琳， 肖佳棟， 張鐵， 肖蒙

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 廣州 510640)

在利用機(jī)器人進(jìn)行表面加工作業(yè)，如拋光[1]、打磨[2]、去毛刺[3]等時(shí)，往往需要機(jī)器人對未知工件的輪廓進(jìn)行跟蹤，并且機(jī)器人末端工具和工件之間應(yīng)該保持恒定的期望接觸力[4]。如果接觸力變化過大，會(huì)對加工產(chǎn)品質(zhì)量產(chǎn)生影響[5]，甚至損壞工件或機(jī)器人。為了實(shí)現(xiàn)恒力跟蹤，Qiao和Lu[6]利用在線力反饋數(shù)據(jù)對未知約束環(huán)境的形狀進(jìn)行估計(jì)以獲得目標(biāo)阻抗模型的虛擬參考運(yùn)動(dòng)軌跡，在力誤差信號的驅(qū)動(dòng)下由目標(biāo)阻抗模型產(chǎn)生機(jī)器人的指令運(yùn)動(dòng)軌跡，通過跟蹤該指令運(yùn)動(dòng)軌跡使機(jī)器人臂與環(huán)境的接觸力誤差限制在可接受的范圍內(nèi)，但是生成的參考運(yùn)動(dòng)軌跡需要獲得終端與環(huán)境之間的摩擦系數(shù)，使系統(tǒng)分析變得復(fù)雜，而且難以建模，適應(yīng)環(huán)境的不確定性能力會(huì)降低。李正義等[7]設(shè)計(jì)了沿任意傾斜面的機(jī)器人自適應(yīng)阻抗控制方法，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端在任意參數(shù)未知斜面的接觸力控制。Duan等[8]設(shè)計(jì)了不確定環(huán)境下動(dòng)態(tài)接觸力跟蹤的自適應(yīng)變阻抗控制方法。Pliego-Jiménez和 Arteaga-Pérez[4]通過設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)控制方案，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人跟蹤未知?jiǎng)傂员砻鏁r(shí)的接觸力控制。李二超等[9]通過視覺傳感器建立跟蹤曲線圖像特征與機(jī)器人關(guān)節(jié)角度映射關(guān)系，再通過模糊調(diào)節(jié)機(jī)器人阻抗模型參數(shù)進(jìn)行跟蹤，但是由于圖像處理時(shí)間比伺服控制時(shí)間長，導(dǎo)致了延遲。Baeten和de Schutter[10]設(shè)計(jì)了一種混合視覺/力的控制方法，通過接觸力引起的相機(jī)工具變形來檢測路徑中的突變點(diǎn)實(shí)現(xiàn)邊緣定位，并激活有限狀態(tài)控制器以在最佳條件下繞過拐角實(shí)現(xiàn)恒力跟蹤，但是對于連續(xù)光滑的曲線無法很好的識別。Jeon等[11]通過使用視覺傳感器檢測圖像中心到輪廓的距離和角度獲得輪廓的邊緣點(diǎn)和曲率，然后通過應(yīng)變計(jì)力傳感器獲得的力信息控制工具與任務(wù)對象之間的接觸力，并通過移動(dòng)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)恒力輪廓跟蹤，但是由于移動(dòng)機(jī)器人剛度不足，只能滿足曲面輪廓跟蹤的工況，不利于后續(xù)的加工過程。Lange和Hirzinger[12]通過力反饋控制的迭代自我控制實(shí)現(xiàn)輪廓跟蹤，但是沒有將傳感器反饋的力轉(zhuǎn)化為垂直于曲面的法向力進(jìn)行控制器參數(shù)迭代，難以補(bǔ)償曲面曲率變化的不確定性，而且沒有進(jìn)行收斂性分析，難以保證算法的收斂。Visioli等[13]設(shè)計(jì)了迭代學(xué)習(xí)混合力/速度控制方法用于曲面的輪廓跟蹤。Roveda等[14]通過迭代學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法進(jìn)行自動(dòng)化控制器參數(shù)調(diào)整實(shí)現(xiàn)機(jī)器人對未知環(huán)境順應(yīng)性控制，但是設(shè)計(jì)的算法過于復(fù)雜。Winkler和Such[15]通過在力/位置傳感器中加入雙積分器，降低了力控制的穩(wěn)態(tài)誤差，但是雙積分器的力控制方向固定，不能跟隨輪廓的改變而調(diào)整力控制方向。Kumar[16]和Jung[17]等提出通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來學(xué)習(xí)機(jī)器人機(jī)械手的未知?jiǎng)恿W(xué)，補(bǔ)償機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的參數(shù)不確定性造成的干擾，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的恒力控制。Karayiannidis等[18]通過設(shè)計(jì)一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，利用權(quán)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的線性逼近功能，保證對于任意小集合的力和位置誤差的一致最終有界性。He等[19]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)阻抗器，用于處理跟蹤控制過程中的不確定性和輸入飽和度，實(shí)現(xiàn)力的控制。但是以上研究都只停留在仿真階段。

這些控制方法中，傳統(tǒng)控制方法難以補(bǔ)償機(jī)器人實(shí)際跟蹤過程中的不確定性，如機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的不確定性[20]；而智能算法設(shè)計(jì)復(fù)雜，且大多停留在仿真階段。本文提出了一種基于自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法的機(jī)器人力/位混合曲面恒力跟蹤控制方法，從而解決在機(jī)器人內(nèi)部傳遞函數(shù)未知和環(huán)境剛度未知的情況下，通過多次迭代補(bǔ)償跟蹤過程中的不確定性問題，使機(jī)器人末端與工件的接觸力收斂到期望值。

1 曲面跟蹤受力分析

機(jī)器人曲面恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1和圖2所示。工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}、傳感器坐標(biāo)系{T}、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{V}的姿態(tài)相對于機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}始終保持不變。機(jī)器人始終保持速度vs沿著Vx方向移動(dòng)。當(dāng)探頭和曲面接觸時(shí)，探頭受到曲面的法向力Fn和切向力Fτ。保持恒定的法向力Fn可以得出曲面的輪廓，為了得到法向力Fn的大小，需要將曲面坐標(biāo)系{C}中的力映射到已知傳感器坐標(biāo)系{T}中，曲面坐標(biāo)系{C}中心與傳感器坐標(biāo)系{T}中心重合，X軸方向與曲面切向方向相同，Y軸方向始終垂直于曲面輪廓[21]。由圖3受力分析可知：

(1)

式中：TFx和TFy分別為傳感器坐標(biāo)系{T}下Fx和Fy的力；θ為傳感器坐標(biāo)系{T}的X軸方向XT和曲面坐標(biāo)系{C}的X軸方向XC的夾角。

圖1 機(jī)器人曲面恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)平臺(tái)模型Fig.1 Experimental platform model of robot constant-force curved-surface-tracking

圖2 機(jī)器人模型末端局部圖Fig.2 Partial view of end-effector of robot model

圖3 機(jī)器人末端受力分析Fig.3 Analysis of force on robot end-effector

將式(1)解耦可得

(2)

式中：TFx和TFy的大小可通過六維力傳感器測得。

由于夾角θ未知，需要對其進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)Vx和Vy方向的位移差分可得到每一步長的切線傾斜角，即

(3)

2 自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法

當(dāng)使用機(jī)器人進(jìn)行曲面恒力跟蹤時(shí)，為了得到精確的軌跡，需要對曲面進(jìn)行重復(fù)多次的跟蹤，在這種情況下，可以使用迭代學(xué)習(xí)技術(shù)來逐漸提高跟蹤性能[22]。

2.1 迭代學(xué)習(xí)控制律設(shè)計(jì)

當(dāng)機(jī)器人末端與曲面相接觸時(shí)，實(shí)際接觸力與期望接觸力滿足如下阻抗模型：

(4)

式中：f為實(shí)際的接觸力；fd為期望的接觸力；x為機(jī)器人末端的位置；xr為參考運(yùn)動(dòng)位置；M、B、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

當(dāng)機(jī)器人與環(huán)境接觸時(shí)，常將環(huán)境當(dāng)作線性彈簧[23]，接觸力可表示為

f=-Ke(x-xe)

(5)

式中：Ke為環(huán)境的剛度矩陣；xe為環(huán)境的位置。

所以當(dāng)機(jī)器人末端位置為參考位置xr時(shí)，對應(yīng)接觸力為

fr=-Ke(xr-xe)

(6)

由式(4)～式(6)得

-(K+Ke)(x-xr)

(7)

參考文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律，將式(7)化為

fd(t)-fr(t)=-(K+Ke)Δxk(t)+Dk(t)

(8)

式中：t為時(shí)間；非負(fù)整數(shù)k(k∈Z+)為迭代次數(shù)；Δxk(t)為控制的末端軌跡偏移調(diào)整量；Dk(t)為機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)不確定項(xiàng)和干擾。

為了方便起見，將式(8)化為

(9)

式中：m=M/(Ke+K)；b=B/(Ke+K)；Δf=fd-fr；dk(t)=Dk(t)/(K+Ke)。

假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)未知，且系統(tǒng)滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1系統(tǒng)的初始狀態(tài)一致且可重復(fù)，即x1(0)=x2(0)=…=xk(0)。

由式(9)所示系統(tǒng)以及假設(shè)1～假設(shè)4，設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律為

(10)

式中：

(11)

2.2 收斂性分析

1) 第1步：證明Wk的遞增性。

取如下Lyapunov函數(shù)：

(12)

(13)

則

(14)

(15)

(16)

由假設(shè)3和假設(shè)4可得

(17)

將式(10)、式(11)和式(17)代入式(14)得

(18)

式(18)說明Wk是非增序列，現(xiàn)只要證明W0有界就說明了Wk是有界的。

2) 第2步：證明W0的有界性。

對W0求導(dǎo)可得

(19)

(20)

(21)

對于λ>0，如下不等式

(22)

恒成立，則可得

(23)

(24)

Wk可改寫為

(25)

由式(18)可得

(26)

由式(26)可推得

(27)

3 力/位混合曲面恒力跟蹤控制方法

第2節(jié)中已經(jīng)設(shè)計(jì)了針對機(jī)器人末端位置控制量和位置參考量之間修正量的迭代學(xué)習(xí)控制律，因此當(dāng)獲得機(jī)器人末端位置參考控制量時(shí)，便可對機(jī)器人進(jìn)行恒力跟蹤控制。當(dāng)機(jī)器人末端與環(huán)境接觸時(shí)，如果環(huán)境的剛度Ke和位置xe已知，則可根據(jù)設(shè)定的恒力fd獲得機(jī)器人的末端參考位置[24]為

(28)

實(shí)際接觸過程中，環(huán)境的剛度Ke和位置xe是很難測得的，所以就必須通過在線估計(jì)的方法求得參考位置xr。參考文獻(xiàn)[24]的方法[25]，使用PID控制律進(jìn)行在線估計(jì)：

(29)

為了避免誤差積累[26]，用前一采樣時(shí)刻的接觸位置x(t-1)代替上一控制周期的參考位置xr(t-1)，可得

(30)

由式(10)、式(11)和式(30)得機(jī)器人末端位置控制律為

(31)

根據(jù)式(31)設(shè)計(jì)的機(jī)器人末端位置控制律，設(shè)計(jì)機(jī)器人的控制框圖如圖4所示。

圖4 基于自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法的力/位混合控制Fig.4 Hybrid force/position control based on adaptive iterative learning algorithm

4 曲面恒力跟蹤實(shí)驗(yàn)

圖6 探頭尺寸Fig.6 Size of probe detector

圖7 曲面工件尺寸Fig.7 Size of curved-surface workpiece

圖8 沒有迭代的跟蹤過程Fig.8 Tracking process before iteration

圖9 迭代1次、7次和15次的跟蹤過程Fig.9 Tracking process after 1 iteration，7 iterations and 15 iterations

表1 誤差分析Table 1 Error analysis

圖10 工件曲線與實(shí)際跟蹤曲線軌跡對比Fig.10 Comparison between curve of workpiece and curve of tracking trajectory

圖11 沒有迭代與迭代15次之后的跟蹤曲線軌跡對比Fig.11 Comparison between curve of tracking trajectory without iteration and curve of tracking trajectory after 15 iterations

5 結(jié) 論

1) 針對使用機(jī)器人進(jìn)行打磨、拋光、去毛刺過程中難以得到穩(wěn)定接觸力的問題，對曲面工件輪廓恒力跟蹤控制進(jìn)行研究。對機(jī)器人末端執(zhí)行器與曲面接觸進(jìn)行了受力分析，得到各個(gè)坐標(biāo)系間的映射關(guān)系，構(gòu)建了法向接觸力和傳感器采集的力信號之間的映射關(guān)系。

2) 利用機(jī)器人和環(huán)境接觸時(shí)的阻抗模型設(shè)計(jì)了一種針對機(jī)器人末端位置控制量和位置參考量之間修正量的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制律，并通過構(gòu)建Lyapunov能量函數(shù)對迭代學(xué)習(xí)控制律進(jìn)行了收斂性分析和證明。

3) 將迭代學(xué)習(xí)控制律與力/位混合控制方法結(jié)合起來，用于機(jī)器人的曲面恒力跟蹤中。實(shí)驗(yàn)表明，使用基于自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)算法的機(jī)器人力/位混合曲面恒力跟蹤控制方法可以實(shí)現(xiàn)恒力跟蹤控制，并且經(jīng)過15次迭代后得到的接觸力誤差絕對值平均值相比于沒有迭代時(shí)減少了79%，誤差標(biāo)準(zhǔn)差減少了64%，誤差方差減少了87%，同時(shí)曲面跟蹤精度提高。

本文提出的控制方法得到的軌跡可以用于機(jī)器人打磨、拋光、去毛刺時(shí)對工件輪廓進(jìn)行跟蹤，具有一定的法向接觸力控制精度。