古埃及人豐富的數學知識

文 圖/令狐若明

莫斯科紙草

古 埃及人的數學成就十分引人注目。從保留下來的紙草文獻中，我們可以了解到古埃及人的數學知識主要包括算術、代數和幾何三個方面。

重要的數學紙草文獻

“10 個人分10 份大麥，怎樣才能使每個人都比他旁邊的人多1/8？”

這是古埃及數學中的一道有趣的代數題。古埃及的數學文獻中有許多這樣的數學問題及解答，流傳至今。從保留下來的數學文獻中，我們知道古埃及人積累了相當豐富的數學知識。每年尼羅河泛濫后重新丈量與分配土地、修鑿運河、計算收成和勞工與軍隊的給養以及進行復雜的天文記錄等方面的需要，促進了數學的發展。

現存的古埃及數學文獻并不太多，總共有50 篇左右，主要來自中王國時期的兩部紙草文獻：《莫斯科紙草》（Moscow Papyrus）和《萊茵德紙草》（Rhind Papyrus）。另外，還有一些較晚期的零散文獻。

《莫斯科紙草》成書于公元前1700 年前后，這部紙草卷1893 年為俄國學者郭列尼舍夫所獲，并曾做過認真研究，1912 年歸莫斯科博物館所有，故稱《莫斯科紙草》。這部紙草長544 厘米，寬8 厘米，內容主要是數學問題和解答，共收有25 題。其中一道算術題，是計算正方形的邊長和截頭角錐體的體積（即截頭金字塔體積），這樣的算題在其他古代數學文獻中是沒有的。

《萊茵德紙草》也成書于公元前1700年左右，為希克索斯人（Hyksos）統治時代的紙草文獻，1858 年被英國收藏家亨利·萊茵德發現，故名《萊茵德紙草》，現存于大英博物館。《萊茵德紙草》又叫《阿赫美斯紙草》（Ahmes Papyrus），因這部紙草的作者名叫阿赫美斯。《萊茵德紙草》與《莫斯科紙草》相差無幾，是一部長544 厘米的長條紙草卷，作者阿赫美斯是古埃及政府的一個書吏。這部紙草收有85 個數學問題和解答，內容涉及財政支付等問題，并帶有標題。標題中，阿赫美斯寫道：“獲知一切奧秘的指南。”《萊茵德紙草》的算題是從分數開始的，并在全部例題中都采用了分數，因此，它可能是一部關于分數的論著。

萊茵德紙草

希克索斯人

保存下來的其他古代埃及數學文獻，所闡述的計算法則與《莫斯科紙草》和《萊茵德紙草》的記載大致相同，但他們的學術價值遠不及上述兩種文獻。

希克索斯人 古埃及進入第二中間期（第13—17 王朝，約公元前1786—前1567 年）以后，統一王國分裂，來自迦南的希克索斯人以阿瓦利斯（Avaris）為中心建立了自己的王朝，這是埃及歷史上第一個外族政權。希克索斯人在埃及的統治是自身在政治、經濟和文化等各方面埃及化的過程。從某種角度講，希克索斯人的統治是對埃及文化的繼承和發展。

有趣的算數

從《莫斯科紙草》和《萊茵德紙草》中可知古埃及人已采用十進位計數法，他們有一套十進位法的象形符號。數目的寫法，從1 至10，以及100、1000、10000、100000、1000000均有不同的象形符號，惟獨沒有表示0 的符號。1 是用一豎表示，許多豎則表示個位數；一段繩子表示10；一卷繩子表示100；一朵蓮花表示1000；一個食指表示10000；一只蝌蚪表示100000，因為蝌蚪能大量繁殖，取其眾多之意；高舉雙臂的神表示1000000。與眾不同的長度單位是埃及數學形式的顯著特色。這些單位是手指、手掌、腳掌和手肘，古埃及數學家在這些單位之間規定了一定的相互關系。1 至1000000 之間的數，是根據排在一起的上述基本數學符號相加的原則組成。

這種書寫數字的方法十分繁瑣，表達一個較大的數目就必須把相應的數字符號多次重復加在一起。例如表示375，需要將一卷繩子的象形符號（百位數）重復寫3 次，一段繩子的符號（十位數）重復寫7 次，一豎的符號（個位數）重復寫5 次。又如，142357 寫作：

在算術的四則運算中，古埃及人實際上只是通過加法來完成的，減法是倒數，乘法則是用加疊法步驟來進行運算的。在做乘法時，只是把乘數和被乘數一次次地相加，直到約數為止。以13×23 為例，其運算式如下：

把左行的乘數從1 開始加位下去，直到把乘數加到13 為止（把前面標以“/”斜記號的數字1、4、8 加在一起，即1+4+8=13），然后把右行相對應的被乘數加在一起（23+46 +184），得到的結果是299，即13×23=299。

除法運算是乘法的逆運算，以77÷7 為例，其運算式如下：

十進位的象形文字符號

古埃及十進制計數法

將右行的除數7 加倍，在能把除數加到等于被除數77 時為止（7+14+56），然后在左行相對應的數前標為“/”記號，并把它們加在一起（1+2+8），得到的結果是11，即為商，所以77÷7=11。這樣看來，除法實際上也是利用加法來完成的，77 除以7 就是找出幾個7 相加等于77。由此可知，古埃及人使用的是簡單的算術，而非比較高深的數學，并且他們使用的算術只限于加法和減法，乘法和除法實際上是利用加減來完成的。對古埃及人來說，四則運算都可以簡化為計數形式，這種運算方法雖然比較緩慢，寫起來很不方便，但無須記憶，運算起來還是很簡單的。

古埃及人很早就有了計算分數的方法，但比較復雜。在除法運算中，如果被除數除不盡，就得使用分數，分數的運算也是利用加疊法進行的。古埃及人的分數，除2/3 外，再也沒有分數的分子大于1，即其他所有的分數都是以1為分子，以整數為分母，即“單位分數”（后人稱之為“埃及分數”）。在進行分數運算時，把所有的分數都拆成“單位分數”（即分子為1 的分數），再取和求出。表示分數的符號是在解決有關食物和其他物品的分配時產生的。埃及的單位分數有1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64；每個分數都有自己的名稱，他們的分數符號來源于荷魯斯（Horus）與塞特（Seth）的神話傳說。荷魯斯是遠古時代埃及賢明國王奧西里斯（Osiris）的兒子，奧西里斯在位時教民耕種，深受埃及百姓擁戴。但卻被他陰險殘暴的兄弟塞特設毒計殺害了，并遭碎尸。奧西里斯的妻子伊西絲（Isis）歷經千辛萬苦，收攏丈夫的碎尸并在其側感應懷孕，生子荷魯斯。荷魯斯長大成人后為父報仇，打敗塞特。最后，經孟菲斯城的普塔（Ptah）神召集九神會裁決，使奧西里斯復活，成為陰間國王，主持審判死者靈魂；荷魯斯則被加冕為上下埃及之王。傳說荷魯斯的形象為鷹頭人身，他的左眼是月亮，右眼是太陽。荷魯斯與塞特之間曾發生過一場激烈而殘酷的搏斗，在混戰中，荷魯斯被塞特挖掉了左眼，撕成了許多碎片，因此月亮有盈虧。

上述分數的名稱就用荷魯斯眼睛的各個部分表示的，象征完滿或完整，如眉毛表示1/8，眼珠表示1/4，左眼的一部分各自代表1/2 和1/16。有趣的是，這些碎片加起來只有63/64，被撕得粉碎的那1/64 部分是由埃及智慧之神托特施展魔法后填補的。

用荷魯斯眼睛表示的埃及分數

古埃及人只用單位分數，也就是只用1 作為分子的分數。埃及的單位分數，分子1 是用嘴的象形符號代表的，通常寫在整數的上面，分子的下面是用數學符號書寫的整數分母，表示它是個分數。在象形文字寫法中，少數幾個分數用特殊記號表示，例如o（眼珠）表示1/4。除了少數幾個特殊分數外，所有分數都拆成一些單位分數。他們需要表示分數時，總是要把它們化為單位分數之和，表達成分子為1 的分數之和。例如，古埃及人把2/5 寫成1/3+1/15；我們今用3/4 和7/8 表達的分數，古埃及人則分別寫成1/2+1/4 和1/2+1/4+1/8。

古代埃及的紙草書上記錄著許多這樣的分數運算例子。專門從事計算工作的古埃及書吏在運算之末加上一句套語：“正是如此”，就相當于我們現在的“證畢”。由于我們不熟悉古埃及人表達分數的方法，所以感到很麻煩，但對古埃及的書吏來說并不困難，因為他們已經熟悉并有實效地掌握了這種運算方法。

從整體上來說，古代埃及的這種單位分數的表示形式是復雜的，運算起來繁瑣而冗長，因此限制了古代埃及數學的進一步發展。

實用的代數和幾何

許多保存下來的數學演算習題的紙草證明，古代埃及已經有代數的萌芽，如《萊茵德紙草》卷中的一道題：“一個數（古埃及人稱未知數為“堆”），它的2/3，它的1/2，它的1/7，它的全部，加起來共為33，求這個數。”這道題相當于我們現在的一個一元一次方程，不過古埃及人用簡單的算術就可以解出。

上述例題中的未知數，古埃及人稱之為“堆”，就是“一堆”的意思，顯然跟計算糧食有關。從這一點可以看出，他們習慣于進行具體思維，如他們表示“未知數量的谷物”，就用“一堆谷物”來代表。這說明古埃及在代數方面已掌握了某些基本的知識，同時他們知道如何計算土地的面積。從保存下來的其他數學紙草文獻中，我們還可以了解到，古埃及人已會解一元二次方程。不過，他們是用純粹算術方法求解的，只用文字說出題解的步驟，說明其理由。

幾何可以說是古代埃及人發明的。由于他們必須計算尼羅河每年因泛濫而流失或增加的土地面積，預算谷倉存糧或建筑項目所需磚塊數目，因此他們在實用的需要中發明了幾何學。“幾何學”（geometry）一詞的原意就是“土地測量”。中王國時期，埃及人在幾何學上的成就十分突出，特別是計算圓面積的方法，即直徑減去它的1/9 然后使得數自乘便得出圓面積，這就等于取π 為3.1605，粗略地接近了后代人所算出的比較精確的圓周率（現通常采用的圓周率近似值是3.1416）。古埃及人基本的面積單位是斯塔特（1 斯塔特=2735 平方米）。在計算體積方面，古埃及人在長期的實踐中掌握了圓柱體積等于底面積乘以高的計算方法；在建造金字塔的過程中，他們還學會了計算角錐體或截頭角錐體體積的計算方法。《莫斯科紙草》中的例題14 敘述了一個下底邊長為4，上底邊長為2，高為6 的正方形角錐體的體積計算方法，清楚地表明古埃及人已懂得我們今天幾何學里的求積公式所表達的方法，不過他們的法則不是用公式表示，而是用文字來敘述計算方法和過程，其解題步驟是這樣表述的：“若有人告訴你說，有截棱錐，高為6，底為4，頂為2，你就要取這4 的平方，得結果為16；你要把它加倍，得結果8；你要取2 的平方，得4；你要把16、8和4 加起來，得28；你要取6 的1/3，得2；你要取28 的兩倍，得56。你看，它等于56，你可以知道它是對的。”這一解題步驟基本上同我們在套公式進行計算時的做法是一樣的。古埃及人甚至還可能懂得計算半球的體積。

古埃及人的幾何知識主要帶有實用性質，并被廣泛運用于土地測量。例如，尼羅河每年泛濫往往淹沒原有的耕地面積，田地的界限在泛濫時受到破壞，而王室對全國各地所征收的稅賦又以土地面積為依據，這意味著每年必須對全國土地進行重新測量，否則無以確定準確的稅收量。土地測量人員就用幾何方法丈量土地，重新劃定地界。還有戰亂期間，地方各州的疆界混亂，引起糾紛。據有關銘文記載，第12 王朝（約公元前1991—前1786 年）開國君主阿美涅姆赫特一世（Amenemhat，約公元前1991—前1962 年）即位后曾巡行全國，分疆劃土，整理賦稅，派人員擔任奧里克斯州的州長，重新劃定此州與相鄰兩州的疆界，使其不再相互爭奪。公元前5 世紀，希臘歷史家希羅多德（Herodotos，約公元前484 —前425 年）曾周游埃及全境，在他所著的《歷史》第2 卷中有關于古代埃及幾何學產生的描述：“塞索斯特里斯在全體埃及居民中把埃及的土地作了一次劃分。他把同樣大小的正方形的土地分配給所有的人，而要土地持有者每年向他交納租金，作為他主要的收入。如果河水沖跑了一個人分得的土地的任何一部分，這個人就可以到國王那里去把發生的事情報告給他；于是國王便派人前來調查并測量損失地段的面積；這樣今后他的租金就要按著減少后的土地的面積來征收了。我想，正是有了這樣的做法，埃及才第一次有了量地法，而希臘人又從那里學到了它。”希羅多德的記述在許多保存下來的古埃及墓室壁畫上得到了印證，這些壁畫中，其中就有測量人員檢查土地界石是否有移動和更改，并且用帶結的特別丈量小繩進行土地測量的場面。新王國時期，由于積累了豐富的幾何學知識，測量技術有了新的發展。這一時期底比斯貴族墳墓的壁畫，就有許多表現國家官員對田地進行測量登記的場面，這種測量不僅重新清查農民耕種的田畝面積，而且也是國家決定征收賦稅和地租的依據。

阿美涅姆赫特一世

希羅多德

《歷史》 古希臘歷史學家希羅多德著，共九卷，以記載希波戰爭（古希臘諸城邦反抗波斯侵略的戰爭，公元前500 年米利都人掀起的反波斯起義，成為戰爭的起點）為主，止于公元前479 年；也以大量篇幅敘述希臘、波斯、埃及與西亞各國的地理、歷史和風俗習慣。內容較豐富，描寫亦生動，為研究世界古代史的主要材料；但亦雜有許多神話傳說和道聽途說的故事，不可盡信。

胡夫大金字塔

胡夫大金字塔，位于開羅西南約10 公里的吉薩高地，又稱吉薩大金字塔。這座金字塔是埃及歷史上古王國時期（第3—6 王朝，約公元前2686—前2181 年）第四王朝（約公元前2613—前2498 年）的法老胡夫的金字塔，也是世界上最大、最高的埃及金字塔。塔高146.59 米，因年久風化，頂端剝落了大約10 米左右，現高136.5 米。胡夫大金字塔約由230 萬塊石塊砌成，平均每塊重2.5 噸。被譽為“世界古代七大奇跡”之一 。

古埃及人的數學，產生于生活和生產實踐，又廣泛應用于生活和生產實踐。他們計算賦稅、丈量土地、測量距離、計算時間，并沒有使用高深的抽象數學理論，而只是運用簡單的算術，以具體圖形提供實際的解決辦法。盡管計算方法十分原始，數字寫法十分繁瑣，他們照樣能計算出三角形、長方形、梯形和圓的面積，以及各種幾何圖形的體積。在建造金字塔和神廟這類建筑活動中，古埃及人顯然必須依靠相當精確的數學計算，否則是不會成功的。尤其是建造金字塔所需精確的巨石數目，最能證明古埃及人的數學成就。屹立在尼羅河畔的胡夫大金字塔，不僅外觀宏大，而且角度、面積、土石壓力都經過了事先周密的計算。按現代技術測定，其東南角與西北角的高度誤差僅1.27 厘米，如此龐大的建筑工程計算得這么準確，在現代建筑史上也算是高水平的。

作為一個講求實際的民族，古埃及人之所以對數學發生興趣，僅僅是因為數學有實際用途，他們只求能夠解決實際的問題，而并非基于任何抽象原理，他們對數學并沒有理論上的興趣。可以說，實用性是古埃及人數學知識的基本特點。他們所使用的方法極其原始，因此他們的成就更顯得輝煌。這些成就是他們長期經驗和知識的積累，雖然缺乏概括的演繹推理，古埃及人沒有形成一套嚴密的數學理論體系，但是他們在應用數學方面成就顯著，貢獻甚大。古埃及人在長期的生產實踐中積累了豐富的數學知識，并以其高度發展的數學成就，對人類作出了重要貢獻。