探究圓錐曲線中的最值問題

張妙安

(福建省漳州市第二中學 363000)

圓錐曲線中的最值問題是近年高考中的熱點問題，對考生分析、解決問題的能力要求較高，具有一定的難度和區分度.基于此，本文擬通過歸類解析的形式，著重幫助同學們理清處理此類問題的常用解題策略，逐步提升解題能力.

一、充分利用圓錐曲線的“定義”

涉及與焦點有關的圓錐曲線中的最值問題，具體求解時往往需要充分利用圓錐曲線的“定義”探求解題思路，有利于將最值問題進行等價轉化，以便結合圖形或者利用基本不等式順利分析最值問題.

例1 已知點P是拋物線y2=16x上的一個動點，設點P到定點M(3,4)的距離為d1，點P到拋物線焦點的距離為d2，則當d1+d2取最小值時，點P的坐標為．

解析如圖，設點P在拋物線準線上的射影是點N，則由拋物線的定義可知，d1+d2=|PM|+|PN|．

又由圖可知當且僅當M,P,N三點共線時，|PM|+|PN|取得最小值．

于是，當d1+d2取最小值時，點P的縱坐標與點M的縱坐標相同，從而可設所求點P的坐標為(m,4)，將之代入拋物線方程y2=16x即得m=1.

故所求點P的坐標為(1,4)．

評注本題求解的關鍵是，先明確d1+d2取最小值的具體情景是什么，然后再借助圖形加以具體分析.

解析由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4，所以|PF1|=4+|PF2|.

二、緊扣“二次函數”知識加以分析

動點在圓錐曲線上，求解與圓錐曲線的中心、焦點有關的數量積的最值問題時，通過消元，可轉化為求解二次函數在某區間上的最值問題；然后再利用“配方法”或“數形結合法”即可順利獲解.

A．2 B．3 C．6 D．8

評注本題側重考查橢圓與向量知識的交匯，解題關鍵是通過消元，轉化為求解二次函在閉區間上的最大值，體現了對所學知識、方法的綜合考查.

三、巧妙利用“設而不求”思想

處理圓錐曲線中的有關最值問題時，往往需要設出相關直線的方程以及相關點的坐標，再將直線方程中y=kx+m代入圓錐曲線方程，整理得到關于“x”的一元二次方程，然后利用根與系數的關系、基本不等式或函數觀點(構造函數，并利用其單調性)巧求最值.這就是所謂的“設而不求”思想.活用“設而不求”思想，有利于降低運算量，提高解題技能.

(1)求E的方程；

(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

評注本題求解思路是先得到關于“x”的一元二次方程，再考慮最基本的三角形面積公式寫出△OPQ的面積的表達式，然后借助換元、基本不等式巧解最大值問題.

總之，關注處理圓錐曲線中有關最值問題的常用解題策略，有利于積累解題經驗，拓寬解題思路，逐步提高求解此類問題的技能技巧.