在梳理中深化 在鞏固中提升
——高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效策略

陸 琪

(江蘇省吳江中學(xué) 215200)

復(fù)習(xí)課是教學(xué)活動(dòng)的重要組成內(nèi)容，與平時(shí)教學(xué)互為補(bǔ)充，互相促進(jìn).同時(shí)復(fù)習(xí)課又與平時(shí)教學(xué)側(cè)重點(diǎn)有所差異，平時(shí)教學(xué)側(cè)重于“點(diǎn)”，復(fù)習(xí)課側(cè)重于“線”和“面”.教師在復(fù)習(xí)課的內(nèi)容安排中一般通過某個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為引申，將涉及到的方方面面內(nèi)容都加以講授.通過復(fù)習(xí)課讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加牢固，對(duì)問題的解決更加靈活.就高中數(shù)學(xué)而言，復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)結(jié)合課程特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將側(cè)重點(diǎn)放在梳理和鞏固已學(xué)知識(shí)、拓展學(xué)生思維空間、深化學(xué)生自主復(fù)習(xí)等方面，應(yīng)用典型習(xí)題、改變問題的提問方式以及滲透解題方法等策略，捋清數(shù)學(xué)概念，促使學(xué)生掌握知識(shí)本質(zhì)，增強(qiáng)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)效性.

一、抓住學(xué)生主動(dòng)性，捋清數(shù)學(xué)概念

在現(xiàn)有的復(fù)習(xí)課內(nèi)容安排中，教師占據(jù)著主導(dǎo)地位.通過問題的引入，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步找到解決問題的方法.在整個(gè)過程中，學(xué)生主動(dòng)參與度不高，甚至是全盤處于教師的引導(dǎo)下，被動(dòng)等待教師給出解決辦法.如果學(xué)生不能主動(dòng)參與到復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)中，就無法保障復(fù)習(xí)課的效果，也不能幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.因此，教師的復(fù)習(xí)課安排，除了內(nèi)容的有效選取之外，還要積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，讓數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的腦海中扎根.

案例1：有一個(gè)正圓錐容器，底面水平，半徑為a，錐高為b，頂點(diǎn)朝下.現(xiàn)有一股水流以v速率注入該容器，請(qǐng)問當(dāng)容器水深y時(shí)水面上升的速率.

從上述案例的解決過程中，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)概念的熟悉程度一定程度上反映了問題的難度.學(xué)生既要熟悉數(shù)學(xué)概念，又要能夠通過問題的描述轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)概念.如果教師在復(fù)習(xí)課的內(nèi)容安排上能夠幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)概念的掌握程度進(jìn)一步夯實(shí)加深，也就能幫助學(xué)生提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

二、運(yùn)用問題多變性，掌握知識(shí)本質(zhì)

問題的提出是為了將內(nèi)含的知識(shí)傳授給學(xué)生，讓學(xué)生通過解決問題既掌握了知識(shí)本質(zhì)，又學(xué)會(huì)了靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題.同時(shí)，教師要將問題的表現(xiàn)形式豐富化、多樣化，拓展學(xué)生的觀察思維和思考角度.問題的提出肯定不能由教師包辦，否則容易讓學(xué)生的思維僵化，成為“一潭死水”.在復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過自身對(duì)知識(shí)的理解程度提出問題.從解題者的角度轉(zhuǎn)變?yōu)槌鲱}者的角度，能夠讓學(xué)生更加深入地去探究知識(shí)的本質(zhì).角度的變換可以帶給學(xué)生新穎的感覺，提升學(xué)習(xí)興趣.

案例2：求證：對(duì)任意n≥6都會(huì)存在一個(gè)能夠剪成n個(gè)全等三角形的凸六邊形.

經(jīng)過思考，學(xué)生將題目轉(zhuǎn)換成如下說法：n個(gè)全等三角形能拼成一個(gè)凸六邊形嗎？對(duì)比后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)換過后的問題比原題思考起來更加簡單.

案例3：證明存在無窮多個(gè)素?cái)?shù).

同樣，將原問題可以轉(zhuǎn)換成如下的等價(jià)敘述：證明不存在最后一個(gè)素?cái)?shù)P.轉(zhuǎn)換后的問題，避免了“無窮”這一較為抽象且不易理解的概念，學(xué)生很快聯(lián)想到運(yùn)用反證法去解決問題.由此可見，從不同的角度進(jìn)行變更，學(xué)生對(duì)問題的解決也會(huì)產(chǎn)生不同的方法.因此在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以迎合“數(shù)學(xué)思維”的原則去變化問題的提問方式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的掌握，從而更快、更好地解決問題.

案例4：甲乙丙三人都持有若干撲克，每人手中撲克牌標(biāo)記的數(shù)字都不相同，并且每人所有撲克牌標(biāo)記數(shù)總和不超過100.現(xiàn)在從甲乙兩人手中任意各抽取一張撲克，兩張撲克標(biāo)記數(shù)之和不等于丙手中任意一張撲克上的標(biāo)記數(shù).請(qǐng)問三人共有撲克多少？

解題的關(guān)鍵在于首先用數(shù)學(xué)語言將問題進(jìn)行表述，可以采用集合的概念.表述如下：現(xiàn)有集合{1，2，3，…，100}，A、B、C是其三個(gè)子集.?a∈A，?b∈B，均有a+b?C，那么|A|+|B|+|C|=?問題的描述一下子就變得簡潔明了，學(xué)生的解題難度大大降低.

三、拓展解題思路，深化自主復(fù)習(xí)

學(xué)生的學(xué)習(xí)如果沒有自主積極性的調(diào)動(dòng)，教師的教學(xué)活動(dòng)將只能是“事倍功半”，教師和學(xué)生的精力得不到充分的利用，反而產(chǎn)生巨大的損耗.因此在復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)中，教師必須通過內(nèi)容的安排調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性意識(shí).復(fù)習(xí)課的開展本身就是在學(xué)生已經(jīng)具備一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，所以復(fù)習(xí)課的內(nèi)容要講究深度和廣度.以問題作為載體，讓學(xué)生在思考的過程中，發(fā)散思維，拓展眼界.教師從不同的角度對(duì)問題進(jìn)行解讀，引導(dǎo)學(xué)生鞏固已有的知識(shí)基礎(chǔ)，豐富討論問題的多樣性.通過類比推理、對(duì)比討論、歸納總結(jié)等方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)復(fù)習(xí)效果.

案例5：已知f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0,a≥0).

(1)設(shè)F(x)=xf′(x)，請(qǐng)分析在(0,+)內(nèi)F(x)的單調(diào)性，若有極值，請(qǐng)計(jì)算.

(2)請(qǐng)證明x>ln2x-2alnx+1(x>1).

解析(1)分析在(0,+)內(nèi)F(x)的單調(diào)性，可以通過分析F(x)的導(dǎo)數(shù)F′(x)就可以得到答案.

(2)要證明x>ln2x-2alnx+1(x>1)，可以對(duì)該式進(jìn)行變形，將問題轉(zhuǎn)化為證明x-ln2x+2alnx-1>0.所以只需要證明f(x)>0(x>1).由已知條件可得到f(1)=0，因此只需證明f(x)>f(1).這正好是在(1,+)內(nèi)f(x)單調(diào)遞增的特性，在上一題中我們已經(jīng)得到答案.

列表如下：

xF(x)F(x)(0,2)-20極小值F(2)(2,+∞)+

通過上表可以得知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2，+∞)內(nèi)是增函數(shù).

因此，在x=2處取得極小值F(2)=2-2ln2+2a.

(2)證明：已知a≥0，所以F(2)= 2-2ln2+2a>0.

結(jié)合上表可以得到，F(xiàn)(x)=xf′(x)>0(x>0)，進(jìn)而得到f′(x)>0，也就表明f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加.又因?yàn)閒(1)=0，所以當(dāng)x>1時(shí)，我們有f(x)>f(1)，即x-1-ln2x+2alnx>0，問題2得證.

總結(jié)：當(dāng)前在解決f(x)>g(x)，x屬于區(qū)間(a，b)的問題時(shí)，一般把問題轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)>0，x屬于區(qū)間(a，b).可以令h(x)=f(x)-g(x)，求解h(x)在區(qū)間(a，b)中的最小值.只要h(x)min>0，問題就得到了解決.本題就是將問題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而一步步地猶如“抽絲剝繭”般得到了問題的解決辦法.

總之，復(fù)習(xí)能幫助學(xué)生有效鞏固知識(shí)，整理與應(yīng)用知識(shí)，提升思維空間.教師應(yīng)基于學(xué)生發(fā)展的角度優(yōu)化復(fù)習(xí)課的教學(xué)樣式，有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究和高效復(fù)習(xí)，在鞏固現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上彌補(bǔ)短板、嘗試拓展，幫助學(xué)生構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.