在梳理中深化 在鞏固中提升
——高中數學復習教學的有效策略

陸 琪

(江蘇省吳江中學 215200)

復習課是教學活動的重要組成內容，與平時教學互為補充，互相促進.同時復習課又與平時教學側重點有所差異，平時教學側重于“點”，復習課側重于“線”和“面”.教師在復習課的內容安排中一般通過某個知識點作為引申，將涉及到的方方面面內容都加以講授.通過復習課讓學生對知識的掌握更加牢固，對問題的解決更加靈活.就高中數學而言，復習課教學應結合課程特點和學生的認知規律，將側重點放在梳理和鞏固已學知識、拓展學生思維空間、深化學生自主復習等方面，應用典型習題、改變問題的提問方式以及滲透解題方法等策略，捋清數學概念，促使學生掌握知識本質，增強復習課的教學實效性.

一、抓住學生主動性，捋清數學概念

在現有的復習課內容安排中，教師占據著主導地位.通過問題的引入，教師引導學生逐步找到解決問題的方法.在整個過程中，學生主動參與度不高，甚至是全盤處于教師的引導下，被動等待教師給出解決辦法.如果學生不能主動參與到復習課的教學活動中，就無法保障復習課的效果，也不能幫助學生構建完整的知識結構體系.因此，教師的復習課安排，除了內容的有效選取之外，還要積極調動學生的興趣，讓數學概念在學生的腦海中扎根.

案例1：有一個正圓錐容器，底面水平，半徑為a，錐高為b，頂點朝下.現有一股水流以v速率注入該容器，請問當容器水深y時水面上升的速率.

從上述案例的解決過程中，可以發現對于數學概念的熟悉程度一定程度上反映了問題的難度.學生既要熟悉數學概念，又要能夠通過問題的描述轉化為相關的數學概念.如果教師在復習課的內容安排上能夠幫助學生將數學概念的掌握程度進一步夯實加深，也就能幫助學生提高靈活運用知識的能力.

二、運用問題多變性，掌握知識本質

問題的提出是為了將內含的知識傳授給學生，讓學生通過解決問題既掌握了知識本質，又學會了靈活運用知識解決問題.同時，教師要將問題的表現形式豐富化、多樣化，拓展學生的觀察思維和思考角度.問題的提出肯定不能由教師包辦，否則容易讓學生的思維僵化，成為“一潭死水”.在復習課的教學活動中，教師還可以引導學生通過自身對知識的理解程度提出問題.從解題者的角度轉變為出題者的角度，能夠讓學生更加深入地去探究知識的本質.角度的變換可以帶給學生新穎的感覺，提升學習興趣.

案例2：求證：對任意n≥6都會存在一個能夠剪成n個全等三角形的凸六邊形.

經過思考，學生將題目轉換成如下說法：n個全等三角形能拼成一個凸六邊形嗎？對比后學生發現，轉換過后的問題比原題思考起來更加簡單.

案例3：證明存在無窮多個素數.

同樣，將原問題可以轉換成如下的等價敘述：證明不存在最后一個素數P.轉換后的問題，避免了“無窮”這一較為抽象且不易理解的概念，學生很快聯想到運用反證法去解決問題.由此可見，從不同的角度進行變更，學生對問題的解決也會產生不同的方法.因此在平時的解題教學中，教師可以引導學生以迎合“數學思維”的原則去變化問題的提問方式，促進學生對知識本質的掌握，從而更快、更好地解決問題.

案例4：甲乙丙三人都持有若干撲克，每人手中撲克牌標記的數字都不相同，并且每人所有撲克牌標記數總和不超過100.現在從甲乙兩人手中任意各抽取一張撲克，兩張撲克標記數之和不等于丙手中任意一張撲克上的標記數.請問三人共有撲克多少？

解題的關鍵在于首先用數學語言將問題進行表述，可以采用集合的概念.表述如下：現有集合{1，2，3，…，100}，A、B、C是其三個子集.?a∈A，?b∈B，均有a+b?C，那么|A|+|B|+|C|=?問題的描述一下子就變得簡潔明了，學生的解題難度大大降低.

三、拓展解題思路，深化自主復習

學生的學習如果沒有自主積極性的調動，教師的教學活動將只能是“事倍功半”，教師和學生的精力得不到充分的利用，反而產生巨大的損耗.因此在復習課的教學活動中，教師必須通過內容的安排調動學生的主動性意識.復習課的開展本身就是在學生已經具備一定的知識基礎上，所以復習課的內容要講究深度和廣度.以問題作為載體，讓學生在思考的過程中，發散思維，拓展眼界.教師從不同的角度對問題進行解讀，引導學生鞏固已有的知識基礎，豐富討論問題的多樣性.通過類比推理、對比討論、歸納總結等方式，提高學生的數學思維，增強復習效果.

案例5：已知f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0,a≥0).

(1)設F(x)=xf′(x)，請分析在(0,+)內F(x)的單調性，若有極值，請計算.

(2)請證明x>ln2x-2alnx+1(x>1).

解析(1)分析在(0,+)內F(x)的單調性，可以通過分析F(x)的導數F′(x)就可以得到答案.

(2)要證明x>ln2x-2alnx+1(x>1)，可以對該式進行變形，將問題轉化為證明x-ln2x+2alnx-1>0.所以只需要證明f(x)>0(x>1).由已知條件可得到f(1)=0，因此只需證明f(x)>f(1).這正好是在(1,+)內f(x)單調遞增的特性，在上一題中我們已經得到答案.

列表如下：

xF(x)F(x)(0,2)-20極小值F(2)(2,+∞)+

通過上表可以得知F(x)在(0，2)內是減函數，在(2，+∞)內是增函數.

因此，在x=2處取得極小值F(2)=2-2ln2+2a.

(2)證明：已知a≥0，所以F(2)= 2-2ln2+2a>0.

結合上表可以得到，F(x)=xf′(x)>0(x>0)，進而得到f′(x)>0，也就表明f(x)在(0，+∞)內單調增加.又因為f(1)=0，所以當x>1時，我們有f(x)>f(1)，即x-1-ln2x+2alnx>0，問題2得證.

總結：當前在解決f(x)>g(x)，x屬于區間(a，b)的問題時，一般把問題轉化為f(x)-g(x)>0，x屬于區間(a，b).可以令h(x)=f(x)-g(x)，求解h(x)在區間(a，b)中的最小值.只要h(x)min>0，問題就得到了解決.本題就是將問題不斷進行轉化，從而一步步地猶如“抽絲剝繭”般得到了問題的解決辦法.

總之，復習能幫助學生有效鞏固知識，整理與應用知識，提升思維空間.教師應基于學生發展的角度優化復習課的教學樣式，有的放矢地引導學生主動探究和高效復習，在鞏固現有知識的基礎上彌補短板、嘗試拓展，幫助學生構建自己的數學知識體系.