細解高考中的熱點難點

孫成田 劉本玲

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）12-0222-02

恒成立問題包容性強，涵蓋初等數學的各個方面，滲透著換元、化歸、構造函數、分類討論、數形結合、函數與方程思想，體現著在變化中把握不變量的數學特征，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，故而在考試中被廣泛采用。

一、變量分離型結合極端值原理

1.不等式的恒成立問題與函數最值有密切的關系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數，再轉化為最值問題來解。

2.極端值原理：m≥f（x）恒成立，則m≥f（x）max；n≤f（x）恒成立，則n≤f（x）min。

例1.設函數f（x）=x2-1，對任意x∈[ ，+∞），f（ ）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，求實數m的取值范圍。解答：依據題意得 -1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈[ ，+∞）上恒成立，即 -4m2≤- - +1在x∈[ ，+∞）上恒成立。當x= 時函數y=- - +1取得最小值- ， 所以 -4m2≤- ，即（3m2+1）（4m2-3）≥0， 解得m≤- 或m≥ 。

例2.已知函數f（x）=xe2x-lnx-ax，若？坌x>0，不等式f（ ）-1≥ e + 恒成立，求a的取值范圍。解答：由題意可知，f（ ）-1≥ e + ，？圯 e -ln - -1≥ e + ？圯a≤xlnx-x- 對任意x>0成立， 令函數g（x）=xlnx-x- ，所以g'（x）=lnx+ ，當x>1時，g'（x）>0，當時0

小結：（1）利用導數工具求出函數的單調性從而求出函數在區間內的最值；（2）將恒成立問題轉化為最值問題求解即可得出a的取值范圍。

二、函數思想結合函數模型

1.一次函數模型結合主輔元變換

給定一次函數y=f（x）=kx+b（k≠0），若y=f（x）在[m，n]內恒有f（x）>0，則根據函數的圖像（線段）可得k>0f（m）>0或k<0f（n）>0，也可合并成f（m）>0f（n）>0，同理，若在[m，n]內恒有f（x）<0，則有f（m）<0f（n）<0。

2.二次函數模型

若二次函數y=ax2+bx+c，（a≠0）的函數值大于（或小于）0恒成立，則有a>0△<0（或a<0△<0），若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及二次函數的圖像求解。

例3.已知函數f（x）=x2+2ax-a+2.

（1）若對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；（2）若對于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求實數x的取值范圍。解答：（1）由于對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0。又函數f（x）的圖像的對稱軸方程為x=-a，當-a<-1時，f（x）min=f（-1）=3-3a≥0，求得a無解；當-a>1時，f（x）min=f '（1）=3+a≥0，求得-3≤a<-1；當-a∈[-1，1]時，f（x）min=f '（-a）=-a2-a+2≥0，求得-1≤a≤1。綜上可得，a的范圍為[-3，1]。

（2）若對于任意a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等價于g（a）=（2x-1）a+x2+2>0， ∴g（-1）=x2-2x+3>0g（1）=x2+2x+1>0，求得x≠-1，即x的范圍為{x|x≠-1}。

小結：

（1）對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f（x）min≥0.利用二次函數的性質，分類討論求得a的范圍。

（2）變換主輔元將不等式轉化為關于參數a的一次函數，然后求x的范圍。

三、數形結合思想，結合熟悉函數圖像間的上下關系求解

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，數形結合在不等式恒成立問題中起著重要作用，構造圖像法求解。

（1）f（x）>g（x）？圳函數f（x）圖像恒在函數g（x）圖像上方；

（2）f（x）

例4.對于函數f（x）=sinπx，x∈[0，2] f（x-2），x∈（2，+∞），有下列4個命題：①任取x1，x2∈[0，+∞）都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N？鄢），對于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函數y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；④對任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立，則其中所有真命題的序號是____。

解答：f（x）=sinπx，x∈[0，2] f（x-2），x∈（2，+∞）的圖像如圖所示： ①f（x）的最大值為1，最小值為-1，∴任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2恒成立，正確；②f（ ）=2f（ +2）=4f（ +4）=6f（ +6）≠8f（ +8），故不正確；③如圖所示，函數y=f（x）-ln（x-1）有3個零點； ④由題意，可得，x∈（2k，2k+2），f（x）max= ，（ ）min= 。證明 ≥ ，即證明2k≥k+1，構造f（k）=2k-k-1，則f '（k）=2kln2-1≥0（k≥1）。

∴ ≥ ，∴對任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立，∴對任意x>0，不等式f（x）≤ 恒成立正確。

故答案為①③④ 。

小結：本題考查分段函數的應用，考查數形結合的數學思想，正確作出函數的圖像是關鍵。