等分法

在與電場相關(guān)的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)要求求解電場中某點的電勢或電場強度的問題。這類問題雖然是常見的，但往往會因為設(shè)置的情景較新，所要求解的問題距離給出的信息較大，而使不少同學(xué)在解答時感到茫然。下面我們介紹一種方法，簡稱“等分法”。這種方法通過捕捉信息和幾何作圖，先找出電場中關(guān)鍵點的電勢，再確定等勢線或等勢面，最后根據(jù)電場線垂直于等勢面的特點，以及電場強度和電勢差的關(guān)系來求解。

例題（2017·全國II卷）一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖1所示，三點的電勢分別為10V、17V、26V。下列說法中正確的是（）。

A.電場強度的大小為2.5V/lt;cm

B.坐標(biāo)原點O處的電勢為1V

C.電子在a點的電勢能比在b點的低7eV

D.電子從b點運動到c點，靜電力做功為9eV

審題：在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分。在勻強電場中，因為電場線平行且均勻分布，所以等勢線平行且均勻分布。以上兩點是解決此類問題的“金鑰匙”。

解析：由題意知

，選項B正確。從a點到b點移動電子，靜電力做功W=-eUab=7eV，靜電力做正功，電勢能減小，故電子在a點的電勢能比在b點的高7eV，選項C錯誤。從b點到c點移動電子，靜電力做功W'=-eUoe=9eV，選項D正確。如圖2所示，過b點作bd垂直于Oc，由幾何關(guān)系得xcd=，解得d點的電勢φd=17V，即bd為等勢線，從而得電場線沿cO方向，電場強度E=，選項A正確。

答案：ABD

方法與總結(jié)

（1）等分法的兩個有用的推論：①在勻強電場中，沿任意一條直線電勢降落都是均勻的;②在勻強電場中，相互平行且相等的線段兩端點的電勢差相等。

（2）運用等分法解題的步驟：①確定所給點中電勢最高點和最低點，用直線連接;②根據(jù)第三點的電勢值，將①中的直線平分為等距離的n段;③找到直線上與第三點電勢相同的第四點，連接第三和第四點所得直線即為等勢線;④作出垂直于等勢線的直線，并根據(jù)電勢降落的方向在新作的直線上加上箭頭，畫出電場線，再根據(jù)E=求出電場強度的大小。

1.運用等分法確定勻強電場的方向和場強E。

變式1：A、B、C是勻強電場中的三個點，各點電勢分別為φs=10V、φp=2V、φc=6V，A、B、C三點在同一平面上。如圖3所示的四幅關(guān)于A、B、C三點的位置及電場強度的方向表示正確的是（）。

A.

B.

C.

D.

審題：在勻強電場中，電場強度大小處處相等，方向處處相同，則電場線是平行且等間距的，電勢沿著電場線逐漸降低，電場線與等勢面垂直。

解析：根據(jù)PA=10V、φB=2V、9c=6V可知，AB連線的中點M的電勢為6V，因此M點與C點的連線為等勢面，與MC連線垂直的線即為電場線。又因為電勢沿著電場線逐漸降低，所以D圖正確。

答案：D

變式2：A、B、C是勻強電場中平行于電場線的某一平面上的三個點，各點的電勢分別為φa=5V，φB=2V，c=3V，H、F三等分AB連線，G為AC連線的中點。如圖4所示的四幅示意圖中，能正確表示電場強度方向的是（）。

A.

B.

C.

D.

審題：根據(jù)勻強電場中電勢、電場線、等勢線和電場強度的特點，在AB連線，上找出電勢與C點電勢相等的點，即可得到一條等勢線，進(jìn)而可以作出電場線。

解析：把AB連線三等分，因為UAB=3V，所以每等份兩端的電勢差為1V，即φH=4V，pp=3V，則直線FC為等勢線，電場線應(yīng)垂直于FC，且從電勢高處指向電勢低處，C圖正確。把AC連線兩等分，因為UAc=2V，所以每等份兩端的電勢差為1V，即φc=4V，則直線GH為等勢線，電場線應(yīng)垂直于HG，且從電勢高處指向電勢低處，B圖正確。

答案：BC

變式3：如圖5所示，勻強電場的方向平行于xOy坐標(biāo)系平面，坐標(biāo)原點O處的電勢為2V，a點的坐標(biāo)為（0cm，4cm），電勢為8V，b點的坐標(biāo)為（3cm，0cm），電勢為8V，則電場強度大小為（）。

A.250V/m

B.200V/1

C.150V/mn

D.120V/1m

審題：根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知，a、b兩點的電勢相等，先運用幾何關(guān)系求出0點到ab連線的距離，再由勻強電場中電勢差與電場強度的關(guān)系U=Ed，即可得出電場強度的大小。

解析：由題意可知，a、b兩點的電勢相等，則ab連線為一條等勢線，又有0點電勢為2V，則勻強電場的場強方向垂直于ab連線指向左下方。過O點作ab連線的垂線交ab于c點，如圖6所示，由幾何關(guān)系得

答案：A

2.運用等分法求勻強電場中各點的電勢大小。

變式4：a、b.c、d是勻強電場中的四個點，它們正好是一個矩形的四個頂點。電場線與矩形所在平面平行。已知a點的電勢為20V，b點的電勢為24V，d點的電勢為4V，如圖7所示。由此可知c點的電勢為（）。

A.4V

B.8V

C.12V

D.24V

審題：依據(jù)在勻強電場中將某一線段等分的同時就將該線段兩端的電勢差等分，將bd五等分，找到與a點電勢相等的點e，連接ae，由cf//ae，找到與c點電勢相等的點f，即可求得φ。

解法一：（推論1）

解法二：（推論2）

變式5：如圖9所示，在xOy坐標(biāo)系中有以O(shè)點為中心、邊長為0.2m的正方形，頂點A、B、C、D分別在坐標(biāo)軸上。在該平面內(nèi)有-勻強電場（圖中未畫出），已知A、B、C三點的電勢分別為3V、-/3V、-3V。則下列說法中正確的是（）。

A.D點的電勢為√3V

B.該電場的場強大小E=10√2V/m

C.該電場的場強大小E=10√6V/m

D.電場方向與x軸正方向間的夾角為30°

審題：依據(jù)勻強電場的特點，運用對稱思想可求得D點的電勢。依據(jù)U=Ed可求解場強問題。

解析：根據(jù)A、C兩點的電勢分別為3V、-3V可知，O點的電勢為零，由對稱性可知D點的電勢為3V，選項A正確。設(shè)過O點的等勢線與x軸間的夾角為a，則EX，解得a=60°，E=10√6V/m，選項B錯誤，C正確。因為電場線與等勢線互相垂直，所以電場方向與x軸正方向間的夾角為30°，選項D正確。

答案：ACD

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖10所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強電場，坐標(biāo)原點O處的電勢為0V，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為（）。

A.200V/m

B.2003V/Im

C.100V/m

D.100√3V/m

2.如圖11所

示，以0點為圓心，以R=0.201m為半徑的圓與坐標(biāo)軸交點分別為a、b.c、d，該圓所在平面內(nèi)有的一勻強電場，場強方向與x軸正方向間的夾角θ=60°，已知a、b、c三點的電勢分別為4√3V、4V、-4/3V，則下列說法中正確的是（）。

A.該勻強電場的場強E=403V/m

B.該勻強電場的場強E=80V/m

C.d點的電勢為-2～3V

D.d點的電勢為-4V

3.如圖12所示，水平面內(nèi)有A、B、C、D、E、F六個點，它們均勻分布在圓心為0、半徑R=2cm的同一圓周上，空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知A、C、E三點的電勢分別為φA=，則下列判斷中正確的是（）。

A.電場的方向由A點指向D點

B.電場強度的大小為100V/m

C.該圓周上的點電勢最高為4V

D.將電子沿圓弧從D點移到F點，靜電力始終做負(fù)功

參考答案：1.A2.D3.BC