基于高斯曲率相關系數的斜交梁橋支座損傷識別方法

梁 棟，康 健，陳 磊

(河北工業大學 土木與交通學院，天津 300401)

支座作為橋梁結構中的重要組成部分，其質量直接影響橋梁的使用壽命和結構安全。在公路橋梁中廣泛使用板式橡膠支座，但由于布置方式不當、施工不正確、養護不到位等原因，對支座造成了一定程度的損傷，支座脫空較為常見。支座脫空會引起其他支座的超壓或偏壓，改變結構整體的受力狀態，降低橋梁的使用壽命。因此，及時發現支座是否脫空，對保證橋梁結構穩定及交通的正常運行具有重要的理論意義和社會經濟效益。

近年來，相關學者提出了解決支座損傷的識別方法。徐忠陽等[1]提出了利用壓力傳感器識別支座損傷的直接檢查法，但需要在施工時安裝傳感器，對于已建成橋梁需要頂升安裝，費用較高且存在風險。李云峰等[2]采用支座檢查鏡和檢查儀對支座脫空情況進行識別，克服了支座空間狹小不易檢查等困難，但只能定性判斷支座受損情況，精確性有待提高。周正茂等[3]提出了基于位移的橋梁支座脫空測試技術，雖然提高了識別精度，但測試時間長、需要人員較多，且影響正常的交通。喬振[4]采用動力測試方法識別支座病害，以橋梁的固有頻率變化率作為支座的損傷評估指標，但對小損傷不敏感，且無法準確進行支座損傷定位。戰家旺等[5]提出基于沖擊荷載作用下橋梁的時域動力響應判斷支座病害的方法，但其準確度依賴于沖擊點的布置，因此在實際應用中存在一定的局限性。

現有的損傷識別方法都是基于橋梁沿縱軸振動的一維模態進行分析，隨著交通量的增大，斜梁橋路幅寬度增大，對于寬跨比接近1.0的新建公路橋梁，大量低階二維模態出現。為充分考慮橋梁橫橋向模態，梁棟等[6]提出了基于高斯曲率模態相關系數判斷簡支T梁橋支座損傷的方法，該方法能很好地識別出寬跨比較大的橋梁支座損傷位置，但針對支座損傷程度的識別需進一步提高。本文在此基礎上，將斜交寬梁橋簡化為平行四邊形板，根據直角坐標系與斜坐標系的轉換關系得到平行四邊形板的振動微分方程，并引入哈密頓辛對偶求解體系[7]，從板的頻率、振型等振動特性出發[8-9]，通過處理橋梁振動響應信號得到高斯曲率模態識別方法。綜合考慮前3階的振型曲率，采用鄧氏相關系數對支座的損傷定位進行分析。通過津港高速公路Y線斜交梁橋現場試驗獲得各振型控制點的高斯曲率模態相關系數，與有限元獲得到的相關系數進行對比，從而驗證該方法的準確性。

1 理論分析

1.1 平行四邊形板的振動

圖1 平行四邊形薄板

假設一平行四邊形薄板(見圖 1)的厚度與其他尺寸相比可以忽略，用直角坐標系xoy和斜坐標系ξoη表示平行四邊形薄板的坐標[10-11]，其轉換關系為

ζ=x-y/tanα,η=y/sinα

(1)

取ξ-η平面為板的中間平面，對于同一點的撓曲位移w，并不會因坐標標架的不同而變化，即w(ξ,η)=w(x,y)。對滿足Kirchhoff假定的薄板小撓度彎曲問題，由復合求導法則可知，板的應變分量分別為

(2)

對于各向同性的平行四邊形板，由于彈性參數為常數，不隨坐標軸的改變而變化，則薄板的彎曲剛度D=Eδ3/[12(1-ν2)]，其中E,δ,ν分別為板的彈性模量、厚度和泊松比。因此，斜坐標系中拉普拉斯算子為

(3)

由板的振動方程可知，平行四邊形薄板的自由振動微分方程為

(4)

根據坐標變換，η方向的彎矩可以表示為

(5)

引入約束條件，由板的Hellinger-Reissner變分原理δ∏H-R=0推導得到斜形板的Hamilton算子矩陣，即

(6)

平行四邊形薄板自由振動在Hamilton體系中的對偶方程為

(7)

按照辛幾何方法，利用分離變量法求解方程(7)，可得

υ=exp(μξ)ψ(η)

(8)

式中：μ為辛本征值；ψ為本征向量。

平行四邊形板在ξ邊簡支的邊界條件為

Mη=0ω=0η=0,b

(9)

求出所有的本征值和本征向量以后，應用辛本征展開定理得到通解

(10)

式中：υ*是在滿足ξ=0,a邊界條件時的特解；cn為待定常數。

位移模態函數表達式為

(11)

1.2 基于高斯曲率模態相關系數的支座損傷定位

在計算板的曲率模態時，會綜合考慮ξ,η兩個方向的曲率模態值，為此引入微分幾何理論中的高斯曲率K[12]。設k1,k2為曲面上一點的2個主曲率，則它們的乘積稱為曲面在這一點的高斯曲率，即

(12)

其中，

(13)

在曲線為r={ξ,η,w(ξ,η)}的情況下，將式(13)代入式(12)可得：

(14)

其中，

(15)

式中：wi,j為節點的位移模態；Δh為相鄰節點的間距。

將式(11)得到的位移代入式(15)可求得相關參數，再根據式(14)即可獲得高斯曲率模態。

(16)

目前損傷識別中大都采用某一階曲率模態或某一階相關系數進行損傷定位，可能使損傷處的損傷指標不敏感或是對未損傷位置造成誤判。本文提出綜合考慮前3階高斯曲率模態相關系數，對支座損傷定位進行判斷的方法。

設某一振型控制點處第i階的高斯曲率模態相關系數為ξi，定義由結構前3階振型構成的高斯曲率模態相關系數為

(17)

在結構的振動中，低階模態起主導作用且測試精度容易保證，文中取a1=0.4,a2=0.35,a3=0.25。利用式(17)可獲得結構的高斯曲率模態相關系數，從而判斷結構是否損傷并定位。具體方法為：結構未發生損傷時，其上節點處的高斯曲率模態相關系數應等于1；結構發生損傷時，未發生損傷處節點的相關系數應等于或接近1，而發生損傷處節點的相關系數小于其他未發生損傷節點的相關系數。

2 工程實例

2.1 橋梁概況

本文以天津濱海新區津港高速公路工程(西外環—臨港)Y線斜交梁橋為研究對象進行有限元模擬及試驗測定。橋梁的上部結構為3×30 m預應力簡支變截面連續預制小箱梁，下部結構采用肋式橋臺、柱式橋墩。墩臺均采用鉆孔灌注樁基礎。主梁為變寬斜截面，由多片小箱梁組成，橫斷面形式為0.5 m(防撞護欄)+12.25～14.37 m(車行道)+0.5 m(防撞護欄)。斜交角度為30°，截面尺寸如圖2所示。

圖2 橫截面尺寸示意(單位：cm)

全橋共布置16個支座，其平面約束及振型控制點分布情況如圖3所示。圖中箭頭方向表示支座可活動方向，支座均約束豎直方向。斜交梁橋材料采用C50混凝土，彈性模量為34.5 GPa。

圖3 平面約束及振型控制點分布情況(單位：cm)

2.2 支座損傷模擬工況振型

根據斜交梁橋的特性及支座的布置情況，通過選取不同位置的支座進行剛度折減來模擬支座脫空程度。其中，λ表示支座豎向剛度損傷程度。初步將支座損傷劃分為3個等級，對應的數值分別為0.3，0.6，1.0。λ=0.3表示支座的剛度為原來支座剛度的0.3倍；λ=1.0 表示支座全部受損，失去剛度效應。本文設計了14種單支座與多支座的損傷工況，使用基于高斯曲率模態相關系數的識別方法對損傷指標進行驗證，具體工況見表1。

表1 支座損傷模擬工況

2.3 斜交梁橋有限元模型

為了充分考慮橋梁橫橋向模態，本文使用MIDAS FEA建立橋梁實體有限元模型進行分析。采用實體單元模擬主梁，用8節點單元進行網格劃分。通過支座位置處約束缺失來模擬支座損傷。每個支座處均為振型控制點，共計16個。

3 基于高斯曲率模態相關系數的支座損傷分析

3.1 單支座損傷分析

為了分析單支座損傷時損傷指標的敏感性，對不同約束條件下支座的損傷情況進行模擬，將工況1～9模擬得到的振型模態按式(14)計算得到高斯曲率模態，并根據式(17)計算得到考慮前3階振型的高斯曲率模態相關系數。將各支座控制點相關系數繪制成曲線，見圖4。

圖4 單支座受損高斯曲率模態相關系數

由圖4(a)可知：①當單支座發生損傷時，損傷支座處的高斯曲率模態相關系數會發生明顯的突變，而其他振型控制點的相關系數基本不變，均接近1，可準確判斷出受損支座的位置。在λ僅為0.3的情況下，損傷支座處的相關系數就下降到了0.6～0.7，體現了損傷指標對支座損傷的敏感性。②無論支座的約束形式為固定鉸支座還是單向或雙向活動鉸支座，以及是否約束ξ,η方向的活動，損傷指標均能有效地識別出支座損傷的位置，且不會影響其他控制點處的相關系數大小，不會造成誤判，說明受損支座的識別定位與支座的約束形式無關。③無論支座在斜交角的銳角處、鈍角處還是中間位置，可以看出受損支座與其他振型控制點處相關系數存在明顯差異，說明損傷指標不受支座位置的影響。

由圖4(b)、圖4(c)可知，隨著支座損傷程度的增加，高斯曲率模態相關系數會逐漸變小，單向活動支座處的剛度折減度對相關系數的敏感性大于雙向活動支座，其他支座處的相關系數均沒有降低。因此，該方法能有效地識別出支座損傷的位置，并且大體能估計出支座損傷的程度。

3.2 多支座損傷分析

對于多支座損傷，選取工況10～14進行分析，將各支座控制點的相關系數繪制成曲線，見圖5。

圖5 多支座受損高斯曲率模態相關系數

由圖5(a)、圖5(b)可知：多支座發生損傷時，不論是雙支座損傷，還是三支座或四支座損傷，損傷支座的高斯曲率模態相關系數明顯降低，其他振型控制點處相關系數基本沒有波動，能有效識別多支座的損傷位置。由圖5(c)可知：高斯曲率模態相關系數不僅對于單支座損傷程度識別適用，同樣可以對多支座損傷程度進行預估。隨著支座損傷程度的增加，其相應位置的相關系數隨之降低。

4 實橋驗證

根據橋梁結構特點，按照環境激勵法的試驗要求，傳感器的動態范圍應具有良好的低頻響應特性，抗干擾能力強，故本次試驗采用INV9580A 無線采集儀。為提高橋梁模態的測試精度，需要合理地布置參考點和響應點的位置。參考點應避開系統任意一階振型的節點，盡量避免設定在振動幅度較小、容易造成誤差的位置，確保采集信號具有較高的信噪比，避免模態遺漏。布置的測點應能夠明確反映橋梁結構的輪廓，通過不同測點之間的振動信號，根據相關函數及相位關系識別出結構的固有模態。因此，應在橋梁豎向、橫向布置測點，其測點布置如圖6所示，全橋共布置18個測點。為驗證利用高斯曲率模態相關系數判斷支座損傷程度的準確性，對上述數值模擬橋梁進行了現場實橋驗證。

圖6 測點布置

圖7 有限元模態振型與試驗模態振型對比

根據傳感器及測試設備情況，全橋測點共分4批次進行測量(參見圖6)，既彌補了試驗成本高、可靠性低等缺點，又簡化了現場測試作業。7號和10號測點為參考點，與每個批次并行測量。

根據試驗測試結果得到斜交梁橋的模態。為驗證試驗所測得模態振型的準確性，與有限元模態振型進行了對比，如圖7所示。試驗模態頻率與數值模擬模態頻率對比見表2。可知：數值模擬模態與試驗模態基本一致，振型相同，頻率相差不大，表明試驗結果準確。

表2 試驗模態頻率與數值模擬模態頻率對比

高斯曲率模態相關系數模擬值與試驗值對比見圖8。根據現場實測的模態計算得到高斯曲率模態相關系數，其各個振型控制點處的相關系數在0.95～1.00，可知各個支座未發生損傷。因斜橋所處位置有水流的波動，且風速較大，對試驗模態有一定影響，導致部分振型控制點的相關系數不等于1，但仍可對支座的損傷與否進行判定，能夠滿足工程測定的需要。此外，模態測定后，通過橋檢車對橋底各個支座的損傷情況進行了觀察，未發現損傷，說明采用高斯曲率模態相關系數對公路斜交梁橋支座損傷進行定位是可行有效的。

圖8 高斯曲率模態相關系數模擬值與試驗值對比

5 結論

1)利用高斯曲率模態相關系數，可以準確地判斷出斜交梁橋支座損傷的位置，且支座損傷程度越大，相關系數越小。

2)無論是單支座損傷還是多支座損傷，利用文中方法均能很好地實現斜交梁橋支座損傷定位。即使是微小的損傷，相關系數也有明顯突變，說明了高斯曲率模態相關系數是斜交梁橋支座損傷識別的敏感指標。

3)針對橋梁現場情況進行模態測定，只要保證模態測試準確，即可得到各振型控制點處的相關系數，對支座進行損傷判定。