6支鏈臺體型Stewart衍生構型位置正解半解析算法

葉鵬達 尤晶晶,2 沈惠平 吳洪濤 李成剛

(1.南京林業大學機械電子工程學院， 南京 210037; 2.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室， 南京 210016;3.常州大學機械工程學院， 常州 213016; 4.南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

0 引言

1965年，STEWART[1]首次提出含6條相同支鏈的并聯機構，學者們將其稱為Stewart機構。與傳統的串聯機構相比，并聯機構具有輸出精度高、結構剛性好、承載能力強、便于控制等優點，成為國內外機構學研究熱點[2-6]。Stewart并聯機構主要有平臺型、臺體型兩大類，相比于前者而言，后者動、靜平臺[7]上球鉸鏈的球心可在空間任意布置，而不局限于同一平面上，并且具有對稱性和各向同性[8]，可用于對精度和穩定性要求較高的場合[9]。因此，臺體型Stewart并聯機構具有更廣泛的應用領域，如六維加速度傳感器[8-10]、飛行模擬器[11-12]、遙操作機器人[13-14]等，但其理論研究難度更大。

由于涉及到至少6個輸入量和6個輸出量，而且它們之間呈現強非線性耦合的關系，目前，臺體型Stewart并聯機構的正向運動學問題并沒有完全解決。正向運動學是工作空間、奇異位型、動力學控制等后續工作的基礎，國內外學者對此進行了大量的探索研究，主要方法有數值法和解析法兩種[15-17]。數值法主要通過Newton法或擬Newton法等數值逼近迭代求解[18-22]。文獻[19]利用擬Newton法成功求解3-RPS和6-RUS并聯機構位置正解，計算效率明顯提高，然而，求解算法對初值較敏感，且在特殊奇異位型下無法計算；文獻[23]利用粒子群算法進行正解研究，能夠得到所有可能的正解，但該算法的收斂速度和計算效率還有待提高。解析法主要通過消元得到單一參數多項式，不需要給定初值，就能求得全部解。文獻[24]提出一種解析化方法用于6-SPS[25]并聯機構的正向運動學求解，但是該方法消元復雜，不具有通用性，且不利于程式化；文獻[26]針對6-6平臺型Stewart機構，運用分次字典序Groebner基法消元，得到一元20次代數方程，然而，獲得的高次方程仍需要通過數值法求解；文獻[27]指出，采用冗余驅動的思路可以設計出具有全解析解的臺體型Stewart機構，然而，由于添加了多條支鏈，特別是引入了三重復合鉸鏈，結構變得更加復雜，不利于加工、裝配及控制。

沈惠平等[28]研究發現，并聯機構位姿正解的求解難度與機構的耦合度有關。為了構造低耦合度的并聯機構，同時舍棄三重復合鉸鏈，本文設計結構簡單、易加工、易裝配的6支鏈臺體型Stewart衍生構型，并構建一種數值法和解析法相結合、程式化程度高的半解析算法，為6支鏈并聯機構的工程應用奠定理論基礎。

1 Stewart衍生構型及重構構型

本文提出4種6支鏈并聯機構的衍生構型，分別是6-6構型、6-5構型、6-4構型和6-3構型(前、后數字分別代表靜、動平臺上的球鉸鏈個數，下同)，如圖1所示。衍生構型由1個邊長為2N的正方體狀動平臺、1個內邊長為2(N+L)的正方體空殼狀靜平臺以及6條完全相同的SPS(Spherical-prismatic-spherical)支鏈構成；初始狀態下，6條支鏈長度相等，動平臺與靜平臺的幾何中心重合，并且姿態完全相同。與衍生構型相比，重構構型增加了6條虛擬支鏈，每2條支鏈構成一組，6個二重復合球鉸鏈分別固結在動平臺的6條棱邊的中點；重構構型的初始狀態與衍生構型的初始狀態相同，如圖2所示。

圖1 Stewart機構的4種衍生機構Fig.1 Four derivative mechanisms of Stewart mechanism

圖2 12-6臺體型重構構型Fig.2 12-6 platform reconstructed configuration

2 半解析算法

2.1 基本思路

將數值法與解析法相結合的方法稱為半解析算法，基本思路為通過數值法求解出6條虛擬支鏈的長度，再通過解析法求解出重構構型的位置正解。算法流程如圖3所示。其中虛線表示傳統數值法。

圖3 半解析算法流程圖Fig.3 Flow chart of semi-analytic algorithm

2.2 重構構型運動學正解的全解析解

由并聯機構的支鏈長度計算動平臺位姿的過程稱為“正向運動學方程的求解”。本文假設機構各個幾何參數已知，動平臺為一個剛體，并且各個球副之間不存在摩擦與間隙。

如圖4所示，動平臺幾何中心為P，其笛卡爾坐標設為(x0,y0,z0)，動平臺頂點及其坐標為Ad(xd,yd,zd)(d=1,2,…,8)，二重復合球鉸鏈及其坐標為Bi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,6)，12個外球鉸鏈的中心點在靜坐標系中的笛卡爾坐標為bj(xj,yj,zj)(j=1,2,…,12)。根據重構構型中的幾何約束關系，建立二次相容方程

(1)

(2)

(3)

圖4 位姿求解原理圖Fig.4 Schematic of position and orientation solution

將二次相容方程(1)～(3)分成3組，每組二次相容方程中的同構方程兩兩相減，得到12個線性相容方程，通過考慮線性方程組的求解理論，可以得到點P、B1、B2、B3的部分坐標為

(4)

(5)

(6)

(7)

其中

觀察動平臺特征點，發現P、B1、B2、B34點構成菱形，且對角線互相平分。因此有

x1=x2+x3-x0

(8)

z2=z1+z0-z3

(9)

y3=y1+y0-y2

(10)

如圖4所示，將動平臺的前面、右側面和上面中心點的坐標分別記作Pfront、Pright、Ptop。

根據特征點與Pfront、Pright、Ptop之間的尺度關系，計算其解析解

(11)

(12)

(13)

這樣，動平臺的位置和姿態可分別表示為

P=(x0,y0,z0)T

(14)

(15)

2.3 基于協調方程求解虛擬支鏈的長度

動平臺在運動過程中，桿長之間滿足一定的幾何約束關系，即

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

為了降低上述9個協調方程的次數，通過式(16)、(22)相減，式(17)、(23)相減，式(18)、(24)相減，式(19)、(22)、(23)相減，式(20)、(23)、(24)相減，式(21)、(22)、(24)相減，得到6個低次冪的協調方程為

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

可以看出，方程(25)、(26)、(27)消除了8次方項；方程(28)、(29)、(30)消除了6次方項?；喦昂髤f調方程數目由9個降為6個，最高次項數由45項降為9項。

協調方程可寫成

(31)

式中X——6個未知桿長

將方程(31)用泰勒公式展開

F(Xn)+F′(Xn)(X-Xn)+O(|X-Xn|2)=0

(32)

其中

式中F′(Xn)——雅可比矩陣

忽略二階無窮小量后

Xn+1=Xn-[F′(Xn)]-1F(Xn)

(33)

為驗證協調方程計算方法的可行性，在Mathematica中進行虛擬仿真，如圖5所示。

圖5 12-6 SPS重構構型虛擬樣機Fig.5 Virtual prototype of 12-6 SPS reconstructed configuration

取N=15 mm，L=25 mm，任意給定動平臺姿態矩陣與移動路徑為

(34)

(35)

如圖6所示。

圖6 動平臺移動路徑Fig.6 Path of moving platform

點Ad在靜坐標系中的位置矢量為

(36)

首先通過反解，求出6條支鏈的長度，再運用協調方程求解出6條虛擬支鏈長度，對比虛擬支鏈長度的計算值與準確值，得到桿長計算誤差。如圖7所示。

由圖7a可知，曲線光滑且連續，表明計算過程沒有產生算法奇異。由圖7b可知，計算值與準確值吻合得較好，表明協調方程是正確的；微小的桿長計算誤差是由軟件在數值計算過程中產生的舍入誤差等因素造成的。

3 數值性態分析

數值性態不僅與算法有關，還與構型有關。本文將分別對比分析半解析算法與傳統數值法在計算衍生構型位姿正解時的精度、效率和穩定性。將兩種算法編寫成Mathematica程序，使用的計算機CPU為Intel CORE I5-4200U,主頻為2.30 GHz，內存為4 GB。

圖7 協調方程的驗證Fig.7 Verification of compatibility equations

3.1 精度

傳統數值法即牛頓法是一種被廣泛使用的求解并聯機構正解的迭代算法。通過數值算例發現，初值偏差對位姿正解計算誤差的影響較小，因此，這里僅分別對比半解析算法與傳統數值法在計算衍生構型位姿正解時的精度，如表1所示。在虛擬樣機中，任意給定動平臺一組位姿：x0=0.1 mm，y0=0.1 mm，z0=0.1 mm；λ1=0.05，λ2=0.05，λ3=0.05，算法迭代精度控制為1.0×10-6，計算值取小數點后5位有效數字。

表1 位姿正解的精度對比Tab.1 Comparison of accuracy of forward displacement analysis

定義位姿正解的綜合相對誤差(位姿正解6個變量的相對誤差的平均值)δ為

(37)

由表1可知，在計算過程中，半解析算法的綜合相對誤差明顯低于傳統數值法。

3.2 效率

算法效率(計算時間)τ與其使用的方法有關，也與求解的具體構型有關。從不同算法和不同構型來研究初值偏差對效率的影響。在軟件中通過Timing指令獲取算法的計算時間，分別計算對比同種構型下兩種算法所需計算時間的比值，選取最小值作為兩種算法的效率比值。通過數值算例發現，算法的迭代精度與初值偏差對傳統數值法的效率影響較小，因此，本文僅列出了不同構型下傳統數值法的效率，如表2所示。對于半解析算法，迭代精度分別控制為1.0×10-6與1.0×10-9，將初值偏差從5%變化到25%，在不同的迭代精度下，對應的效率如表3所示。

表2 傳統數值法的效率Tab.2 Efficiency of traditional numerical method

表3 半解析算法的效率Tab.3 Efficiency of semi-analytic algorithm ms

由表2、3可知，傳統數值法的效率優于半解析算法。從算法的方程復雜程度分析，半解析算法方程的最高次冪(8次)高于傳統數值法的方程(3次)。半解析算法的效率隨著構型中二重復合球鉸鏈數目的增多而變高，且迭代精度越高，效率越低；對于6-4構型，當初值偏差達到25%時，半解析算法的計算結果發散。

3.3 穩定性

穩定性的主要影響因素有初值偏差和計算步長，考慮到位姿正解與初值偏差有關，與計算步長無關，因此，從兩種算法的最大初值偏差和迭代發散來研究衍生構型的穩定性。在實際計算過程中，如初值偏差過大，結果可能不收斂，計算失去了穩定性。

各變量計算許用區間寬度為

Q=[X*-ΔXX*+ΔX]

(38)

其中

式中X*——初始位姿

ΔX——位姿最大計算值

定義最大初值偏差(位姿正解6個變量的相對許用區間寬度的平均值)Imax為

(39)

式中M——動平臺位姿各變量(分量)的最大工作范圍

半解析算法與傳統數值法在計算衍生構型時的最大初值偏差如表4所示。由表4可知，半解析算法的穩定性明顯優于傳統數值法。對于半解析算法，6-3構型穩定性優于其他構型，從拓撲結構分析，該構型動平臺上有3個二重復合球鉸鏈，相比于其他構型，該構型支鏈分布較集中；對于傳統數值法，6-5構型穩定性最高，達到46.2%。

表4 衍生構型的最大初值偏差Tab.4 Maximum initial deviation of derivative configuration %

4 結論

(1)設計了一類6支鏈臺體型Stewart并聯機構及其衍生構型，對其進行拓撲結構分析，動平臺分別含有0、1、2、3個二重復合球鉸鏈。針對6支鏈并聯機構正向運動學求解問題，構建了一種結合數值法和解析法的半解析算法。通過數值法求出虛擬支鏈長度，構成12-6臺體型Stewart并聯機構，利用其低耦合度和支鏈布局的高度對稱性，推導了一種全解析式正解算法，并可得到唯一解析表達式。該方法同樣適用于動平臺上含3個以上二重復合球面副、球鉸中心不局限于動平臺棱邊的中點、且耦合度小于2的臺體型并聯機構的正向運動學求解。

(2)對比了半解析算法和傳統數值法在計算6支鏈并聯機構衍生構型時的精度、效率和穩定性。半解析算法的精度和穩定性優于傳統數值法至少2倍，但傳統數值法的效率為半解析算法的7倍。

(3)構型選取不僅與應用對象有關，還與算法的數值性態有關。半解析算法在具體應用場合需要合理選取衍生構型，其選取原則為：對精度要求較高且效率和穩定性要求不高時，選用6-6構型；對實時性(或穩定性)要求較高且精度和穩定性(或實時性)要求不高時，選用6-3構型。當最大初值偏差小于106%時，4種衍生構型都適用；當最大初值偏差大于106%且小于526%時，選用6-3構型；當最大初值偏差大于526%時，衍生構型都不適用。綜合考慮精度、效率和穩定性，6-3構型優于其他構型。