淺析高考數學命題對核心素養培養的導向

張禮勇

(重慶市涪陵高級中學 408100)

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“高中數學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要.”所謂數學核心素養，指的是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的數學思維品質與關鍵能力，具體包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個方面.數學核心素養不能離開數學的學習、應用、創新，它們綜合體現在“用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”的過程中，集中體現在“發現與提出問題、分析與解決問題”的過程中.隨著教育改革的深入，聚焦核心素養是教育發展改革的必然.

在對高中數學核心素養培養過程中，如果說課程標準是武器裝備的話，那么課堂教學就是訓練場，而高考就是主戰場.因此，無論是作為基礎的課程標準，還是關鍵的課堂教學，都離不開高考的目標導向.在對高考命題的討論中，主流聲音似乎一直沒有變過，比如從基于“能力” 到基于“素養”考試評價，逐步樹立“以素養立意命題”的指導思想，注重考查學生的核心素養，強調“數學建模與數學探究”.具體如：不增加題量延長考試時間；增加應用問題、探究題；逐步增加開放題；減少選擇、填空題等.高考命題的權威導向，這是一個無法回避，必須面對的現實問題.下面我們將從歷年的部分高考真題中，去探討其對數學核心素養的測查功能，希望能“窺一斑而知全豹”；同時也讓老師們在日常的教學中更具有針對性和目的性.

2 高考命題對六大核心素養的考查

2.1 數學運算——準確而迅速

真題再現

2015年全國Ⅰ卷理科第9題：執行下面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n的值為( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

思維障礙

對于學生而言，本題常見的問題是將運算規則中的字母搞混淆，張冠李戴，或者是循環運算中耐心不夠，計算屢屢出錯.須知一步出錯，步步則錯.

障礙分析

對于運算問題，教師在實際教學中往往不夠重視，認為只需教師提示一下，指明方向，其余就萬事大吉；或者對學生在運算中出的錯，往往是歸結于粗心，下次注意認真點就行了.可是我們發現，為什么每一次測試下來，許多學生都會發出這樣得感嘆：“如果不粗心，我本可以考多少多少分！”言外之意，不是我做不到，而是粗心罷了！這種觀念是相當危險的.經常愛出錯，所謂的粗心，就其本質，實是一種能力不足——那就是運算能力薄弱，運算素養缺乏.運算素養的培養需要沃土，需要教師在平常的課堂教學中逐步引導學生種下扎實的種子，并不能一蹴而就、立竿見影.一個在課堂教學中不重視培養學生數學素養的教師，培養出來的學生在本題就會造成若干思維障礙，對于教師而言是有責任的！

導向要求

本題考查的是程序框圖的問題，其實對學生具有一定程度的運算素養提出了新的要求.學生不僅要明晰運算對象，還要能依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.

教學反思

教師在課堂教學中一定不要“站著說話不腰疼”，經常說“這么簡單，都做不了？”“這么容易，都算錯了？”“算錯是你們自己的責任，我只負責方法！”如此等等，將責任一股腦推給學生，自己還理直氣壯、振振有詞！事實上，有很多我們老師想當然的東西，在學生那里就不一定清楚.我們認為學生該聽懂的，結果學生混混沌沌；我們認為學生能夠明白的，結果學生一知半解；我們認為學生不該算錯的，結果學生出錯了；我們認為考試題目夠簡單的，結果學生考試的分數完全出乎意料.課堂教學緊貼學生最近發展區，符合實際，著力培養學生的數學素養，這恐怕才是一個老師應該去努力的方向！

試題略解

……

2.2 邏輯推理——嚴謹而有序

真題再現

2016年全國Ⅱ卷理科第15題：有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是 .

2017年全國Ⅱ卷理科第7題：.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據以上信息，則( )

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

思維障礙

對于邏輯推理而言，學生感到最大的困惑就是分類討論情況太多，找不到突破口，以致結論模糊不清、模棱兩可，最后的結果也就只有估計和猜測，錯誤率也就很大了.

障礙分析

對于2016年這一道題，突破口就在丙說的那句話：“我的卡片上的數字之和不是5”，再結合甲與乙所說的話，就可分別得出結論.對于2017年的那一道題，突破口在于老師說的話和甲最后對大家說的話，考生要真正理解這一句話的內涵，讀懂其背后隱藏的意義，揭露其本質.表面是沒有找到突破口，其實質是缺乏嚴謹的邏輯推理和思維能力.

導向要求

合情推理和演繹推理是新高考的一個重要的考點和要求.它對于考生的閱讀能力、推理能力、提取信息能力有著較高的要求.考生要善于通過列表、畫示意圖等數形結合方式，運用分類討論思想、排除法的思想、反證法的思想等得出結論，完成推理.

教學反思

在推理教學中，要避免過度形式化和概念化.有的學生對推理的定義、種類、形式等記憶得很好，但在實際運用中往往一塌糊涂，根本不能靈活運用，這就是教師教學刻板、學生學得死板的結果，師生只有在教學中不斷地探索和表述論證的過程，有邏輯地表達與交流，才會逐漸地提高學生的邏輯推理素養，才會得到正確的思路與方向.

試題略解

2016年全國Ⅱ卷理科第15題：由題意分析可知，乙、丙相同的數字不是1，因此只能為1、2與2、3，或1、3與2、3，又因為丙的卡片上的數字之和不是5，因此丙不可能是2、3，只能是1、2或1、3，結合甲與乙的相同數字不是2，最終可以得出甲的卡片上的數字為1和3，乙的卡片上的數字為2和3，丙的卡片上的數字為1和2.

2017年全國Ⅱ卷理科第7題：由甲的說法可知乙、丙一人優秀一人良好，則甲、丁兩人一人優秀一人良好，乙看到丙得結果則知道自己的結果與丙的結果相反，丁看到甲的結果則知道自己的結果與甲的結果相反，即乙、丁可以知道自己的成績.故選D.

2.3 直觀想象——感知而清晰

真題再現

2014年全國Ⅰ卷理科第12題：如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( )

思維障礙

此題根據三視圖，很容易判斷出原幾何體是一個三棱錐，但是，這個三棱錐究竟是如何擺放的，這就很難想象了！如果滿足了其中兩個圖，發現第三個圖滿足不了，這就是此題最大的思維障礙.當然，有些學生想到了借助正方體來研究，但是也不是那么容易就能看出來的，很可能多次鎩羽而歸.不知道三棱錐在空間中的擺放形狀，當然就無法進行下一步的棱長計算了！

障礙分析

很顯然，制約本題不能順利完成的主要因素就是學生的空間想象能力的缺乏.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程，而本題對學生空間想象能力的考查到了一個新的高度，這是教師在課堂教學中不得不引以重視的.

導向要求

直觀想象能力是重要的數學能力之一，也是高考的一個重要的考點，而三視圖只是其中的一種考法.通過學習，學生能借助空間想象認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

教學反思

三視圖問題，看似簡單，可是涉及的知識量很豐富，特別是考查學生的空間想象能力、分析和解決問題的能力、計算能力等.在教學中，教師應該盡量使用實際模型，讓學生親歷感受；或者盡量使用三維動畫，讓學生有直觀的理解，發展其發散的空間想象能力，切忌抽象的、枯燥的理論講解，讓學生云里霧里、不知其然.

試題略解

2.4 數學建?！行投_

真題再現

2015年全國Ⅰ卷理科第19題：某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2，…，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

x y w∑ni=1(xi- x)2∑ni=1(wi- w)2∑ni=1(xi- x)(yi- y)∑ni=1(wi- w)(yi- y)46.65636.8289.81.61469108.8

(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；

(Ⅲ)已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(Ⅱ)的結果回答下列問題：

(ⅰ)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

(ⅱ)年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數據(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

思維障礙

障礙分析

導向要求

本題主要考查了非線性擬合問題、線性回歸方程求法、利用回歸方程進行預報預測等，考查了對現實問題進行數學抽象、用數學知識與方法構建模型解決問題的能力，處理數據的能力.

教學反思

通過本試題的分析，我們不得不將焦點又聚集在一個老生常談的問題：課堂教學，老師是將重點放在知識技能上，還是能力培養上？當然，對這個問題的回答，大家肯定是異口同聲，一定是能力培養！事實上，在實際教學中，由于教師隊伍的良莠不齊，師資現狀會將能力培養變成一個不可著摸的、口號式的東西，真正的能力培養、數學素養教育何其之少、何其之難！

但是，高考命題越來越朝著能力立意的方向前進，以本題為例，如果教師在平時的教學中不善于創新教學、智慧教學，培養學生的能力、素養和創新精神，而只是一味知識性教學，機械照搬、刻意模仿，讓學生“只知其然，不知其所以然”，那他們在面對類似這種問題時候，就會吃大虧，會束手無策！

試題略解

(ⅱ)根據(Ⅱ)的結果可知，年利潤的預報值

故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

2.5 數據分析——有法而嫻熟

真題再現

2017年全國Ⅰ卷理科第19題：為了抽檢某種零件的一條生產線的生產過程，實驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ，σ2)

(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；

(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ-3σ，μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

(Ⅰ)試說明上述監控生產過程方法的合理性；

(Ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96

10.01 9.92 9.98 10.04

10.26 9.91 10.13 10.02

9.22 10.04 10.05 9.95

≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…，16．

思維障礙

許多同學一見到此題，就被嚇住了：文字信息多，數據多而且帶兩位小數，公式也很復雜，繼續讀下去的信心也就不那么足了！當老師布置給學生練習此題的時候，發現學生主要是存在以下問題：

一是完全沒有讀懂題目，對若干條件、數據不明就里，完全無從下手；

二是盡管讀懂了題目條件的要求，但是根本不知道用對立事件來解決求P(X≥1)的問題；

三是不知道、不熟悉二項分布的特點、性質，在此處也不會遷移應用；

四是計算屢屢出錯，而且花的時間較長.

障礙分析

單從此題的數學難度而言，也并不是想象中那么遙不可及的，但是為什么學生總是害怕這類題呢？就其原因，無非是以下幾點：

一是老師的觀念沒有發生轉變，始終認為所謂正態分布、樣本估計總體是一些新增知識，沒有如傳統的代數、幾何那么重要，導致無論是在已有經驗上，還是在知識儲備及課堂準備上，并不是那么充分.老師的態度往往決定學生的態度，不夠重視，不夠熟悉，不夠熟練，做起此類題目自然就相形見絀，有一些難受了.

二是在教學中，數學教師往往易忽略對學生閱讀能力、提取信息能力的培養，他們常常不經意地將數學題目的華美外衣脫掉，去掉題目所處的實際環境狀態，以純粹形式化的數學問題展現在學生面前.教師還自以為幫了學生很大的忙，避免學生做許多看似與數學無關的無用功，殊不知反而誤了學生！數學問題形式化，會降低學生對數學的興趣，這一點姑且不論，老師的越俎代庖，會讓學生更加依賴老師，在試題的信息量越來越增大的趨勢下，難道學生都要指望教師幫忙來分析、提煉題目嗎？

三是學生依賴計算器，筆算能力越來越弱.在日常教學中，有些教師過度依靠計算機和計算器，他們只重方法，忽視過程和運算，認為老師的作用只是講思想方法，至于運算那是學生課后自己下來的事情.

導向要求

從知識而言，本題考查了正態分布、小概率事件、二項分布、樣本估計均值與方差等；從能力素養上，考查了閱讀能力、數據處理與分析的能力、計算能力，而且要求還不低.

教學反思

本題主要就是考查學生對數據獲取、數據分析、知識構建、基本計算等方面的能力與素養，從一線教學實踐來看，我們在課堂教學上應該注意以下幾點：

一是教師要刻意對學生閱讀能力、提取信息能力的培養，不能將之簡單歸之為語文教師的事情；

二是在遇到較為復雜的計算時，絕不能自己偷懶，讓學生自己課后計算，而從不示范一遍.其實，計算的每一步，都蘊含著對學生運算能力的培養，教師只講方法忽略此步，是一種很不負責任的表現，也是一種脫離實際的教學.

試題略解

(1)P(X=0)=C016(1-0.9974)00.997416

≈0.9592，

P(X≥1)=1-P(X=0)≈0.0408，

由題可知X～B(16，0.0026)，

所以E(X)=16×0.0026=0.0416.

(2)(Ⅰ)尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外的概率為0.0026，由正態分布知尺寸落在(μ-3σ，μ+3σ)之外為小概率事件，因此上述監控生產過程的方法合理.

(Ⅱ)μ-3σ=9.97-3×0.212=9.334，

μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，

(μ-3σ，μ+3σ)=(9.334，10.606)，

因為9.22?(9.334，10.606)，

所以需對當天的生產過程檢查，

因此剔除9.22

σ2≈0.008，

2.6 數學抽象——形式而有理

真題再現

2016年全國Ⅲ卷理科第12題：定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有________.

A．18個 B.16個 C.14個 D.12個

思維障礙

對于新定義的理解，根據新定義抽象出其特征，對于學生而言是個難點.本題第一個難點是對于“任意k≤2m，a1,a2,…,ak中0的個數不少于1的個數”的理解不到位，無法確定第一個和最后一個數，而且在后面的解題過程中沒有始終堅持運用；其次，由于本題遇到情況較為復雜，即分類較多，標準也較多，如果學生不善于用表格法、樹狀圖來一一列舉，很容易出錯.

障礙分析

數學抽象是學習數學的一個必備能力.在高中階段，對于數學形式化已有一定要求，數學抽象已是基本素養之一.如果學生抽象出函數模型的能力較弱，新概念抽象理解能力較弱，那么解決本題類似的題目就勢必障礙重重了.

導向要求

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系；從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構；用數學語言予以表征等.高考中對數學抽象的要求往往較高，有一定的難度，而且和其它知識、其它數學思想方法綜合考查.

教學反思

在課堂教學中，數學形式化的教學往往收效甚微，教師花費不少力氣，學生卻一片茫然，學生更多的是想不到、為什么；老師卻是心中明白，欲說又不知從何談起.因此，在此部分內容教學時，千萬不要脫離學生的實際，從最簡單的做起，逐步培養學生的抽象能力、概括能力，從而彌補抽象的、空洞的、乏味的、說教般的數學形式化教學的不足.

試題解析

由題意，得必有a1=0，a8=1，則可以采用一一列舉的辦法列舉出來共14個，故選C.

3 反思

高考命題對核心素養考查的導向，這是一個我們必須面對的問題，它倒逼我們課堂教學進行改革，讓我們反思.

比如，如何教會學生解題？很多老師不考慮學生實際，不注重能力培養；注重自我講解，自我體驗；沉浸于自我世界，自我陶醉；這樣的表演與展示，學生最多學會了機械的模仿，在核心素養能力培養上沒有一絲進步.

事實上，教解法不如教想法.在具體教學過程中，我們可以先讓學生審題、獨立思考，說“想法”(必要時引導)；其他同學質疑、補充，實施“想法”，落實到紙筆上；最后提煉思想方法，討論變式、一題多解、多變.這樣做的好處在于：可以著力改善解數學題過分依賴題型記憶、復制模仿的狀況；盡力使學生在嶄新的習題情境前，根據已有的數學經驗，以研究者的心態，挖掘隱含信息，分析、解決問題.當然，學生形成“想法”要經歷如下心路歷程：閱讀理解→獲取直接信息或挖掘隱含信息→信息直觀化(圖形、圖像)、符號化(代數式表達)→依據自己的固有經驗、思想方法，實現化簡、化歸.當學生在形成“想法”的過程中，遇到困難，老師課堂上怎么做呢？可以采取如下策略：與學生共同閱讀理解，并挖掘各類信息→幫助學生將信息直觀化(圖形、圖像)、符號化(代數式表達)(注意數形結合圖當先)→幫助調動學生固有經驗，實現化簡、化歸，等價轉化(常用“由已知想可知，由未知想需知”，溝通“可知”與“需知”.)這種做法其實就是強調學生對學習過程的實質參與！

這也就是把數學核心素養的培養落到了實處！