法隨心動 心由境生
——由一道數學題的解法探究產生的若干思考

蔣 凱 錢云祥

(1.蘇州胥江實驗中學 215004； 2.無錫市蠡園中學 214072)

數學解題，解法往往千變萬化．也就是說，一道試題，也許存在許多種不同的解法．這些解法究竟都是怎么想到的呢？也許是經驗，也許是感覺，也許是運氣．筆者認為，經驗需要實踐來積淀，感覺其實就是經驗的一種看似有點模糊的成功體現，而運氣則需要感覺作支撐．在對問題的解法進行探究之時，往往法隨心動，心由境生，即法是偶然的，心是自由的，境是客觀存在的．面對實際的數學問題，解題者即時產生的靈光一現，常常就能形成一種解法．而這些即時性的想法，往往又帶有一定的偶然性，故而也就出現了一題多解．在日常教學中，無論是對于教師，還是對于學生，對問題的研究，其實毫無必要陷入題海，對一兩個問題的深度研究，往往即可形成與積淀有效的解題經驗.

試題呈現

如圖1，二次函數y=mx2-4mx+2m+1的圖像與x軸交于A(x1，0)、B(x2，0)兩點，與y軸交于點C，且x2-x1=2.

圖1

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)若E為這個二次函數的圖像上一點，且∠EAB=2∠OCA，求點E的坐標.

問題初探

第(1)小題思路較為簡單：不難確定二次函數y=mx2-4mx+2m+1的圖像的對稱軸為直線x=2．由題意知，這個二次函數的圖像與x軸的兩個交點之間的距離AB=2，故A(1，0)、B(3，0).把x=1，y=0代入y=mx2-4mx+2m+1可得m=1．所以這個二次函數的表達式為y=x2-4x+3.

在對第(2)小題分析時，顯然，C(0，3)．結合A(1，0)，可知OA

法隨心動

分析問題，可以看出，解題的突破點在于對點E所滿足的條件“∠EAB=2∠OCA”的信息挖掘與利用．顯然，圖中不存在現成的角，使得其大小恰為2∠OCA，故需考慮構造，然后在此基礎上確定點E的坐標．怎樣構造？……