高中數學可視化情境的設計原則及實施路徑*

張志勇

(江蘇省常州市第五中學 213001)

隨著新課程改革的深入，數學教學已不再是單純地傳授知識，而是要由知能視角轉向核心素養培育，引導學生用數學的眼光、視角發現問題，用數學的語言、模型描述問題，用數學的思想、方法解決問題．而如何幫助學生學會“用數學的眼睛看，用數學的思維想，用數學的語言說”，則離不開數學情境的默化和增潤，正如《普通高中數學課程標準(2017年版)》所強調的那樣，“數學核心素養是在學生與情境、問題的有效互動中得到提升的．……在教學中，應結合教學任務及其蘊含的數學核心素養設計合適的情境和問題，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．”在可視化技術支持下創設互動情境，恰可以在抽象的數學與生動的現實間構建聯系通道，突破數學因高度抽象概括特性而帶來的“難以意會、無法言傳”之障礙，為改善數學的教與學提供極大可能．

1 可視化情境的概念辨析

情境一詞，在《現在漢語詞典》中解釋為“情景，境地”，在辭海中的解釋則是“指一個人在進行某種活動時所處的社會環境，是人們社會行為產生的具體條件”．學習是基于境脈的，脫離情境脈絡獲得的知識，往往只是“惰性知識”，既難以真正習得也難以遷移運用；譬如鹽是人體每天必須攝入的，若是將15克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就在享用佳肴時，將15克鹽全部吸收了．情境之于知識，猶如湯之于鹽，知識需融于情境之中，才能顯示出活力和美感[1]．

情境在數學學習過程中有著極其重要的作用，因為數學概念的理解、數學命題的掌握、數學技巧的形成、數學思想的應用、數學問題的解決都要基于數學情境的創設、運行、反思來完成．學習數學的情境，是從事數學學習活動的環境、產生數學行為的條件，理想的數學情境應該包括“境”與“情”兩個不可分割的部分，講究“以境啟知，由知怡情”[2]；“境”多指向認知領域，設“境”為了啟“知”，從學生的生活實際和學習背景出發構建一條件場域，為新的數學行為的產生開辟路徑、啟發思考；“情”則更多的聚焦非認知領域，通“知”方能怡“情”，只有學生積極主動地參與，課堂氛圍才能活躍、教學效果才能凸顯，情境教學需要將學生學習的興趣、情緒、情感體驗、美感等方面擺放在應有位置．

數學情境不僅是數學知識產生的背景，也內嵌有數學思想方法的表達；它不僅能激發數學問題的提出，也能為數學問題的解決提供信息和依據[3]；從而“知”既是連接“境”與“情”的關鍵環節,也是情境設置的終極目標．從數學目標的呈現角度出發，數學情境往往包括文詞語言表述的情境(語義豐富)、符號語言表述的情境(抽象簡潔)、圖形語言表述的情境(形象直觀)等三類[4]．特別地，我們又要注意到，數學內容、方法與呈現形式的高度抽象性，使得數學難以被感官直接感知，更難被理解和內化，往往“學的人不知數學如何去意會，教的人不知數學如何去言傳”，這就需要用“圖示”的方式解決“意會”與“言傳”間的障礙[5]，也就是我們需要的是“看的見的境”，即數學可視化情境，從而挖掘可視化技術于數學的表征優勢，建立“可見形式”與“抽象形式”之間的直接聯系，使數學的關聯性變得可見并且可操作．

綜上，數學可視化情境是為從事數學活動、產生數學行為而構建的境脈場域，它以學生的生活實際和學習背景為基礎，強調學習活動體驗的直接獲取；以知識學習為紐帶，強調支架性地幫助學生認識數學本質；以情感調節為手段，強調學生的積極主動參與；以形象直觀為手段，強調應用豐富多樣的視覺表征手段呈現數學對象的本質屬性；以素養提升為旨歸，強調以可視引導思維、以互動交流思維．

2 可視化情境的價值探尋

反思當下情境創設與運行中的一些誤區：忽視情境創設目的，缺乏數學味，為情境而情境；過于形式化而游離于數學學習的本質；過于生活化而顯現去數學化情境；情境創設與運行的任務不明、角色不清；數學情境、數學知識、師生成長的關系定位不準確等[6]．我們需要準確定位數學情境在數學教學中的地位與價值，真正使數學情境成為數學活動的基因，使數學情境的意義和學生的情感訴求相融合，使數學情境與核心素養培育相匹配．

2.1 引發學習興趣，完善情感體驗

創設數學情境，可以呈現給學生刺激性的數學信息以引起學習興趣，或引發認知沖突以激起學生的好奇心；于是學生喜聞樂見的生活或學習趣事，如名人名言、數學口訣、數學小故事等，便成了數學情境創設中的常見風景．然而情境設置的作用，不應僅是博得學生課前一樂，更應將學生置于“憤悱”之地，譬如數列學習中，簡單的講述“麥粒”的故事和高斯的“妙”想(計算1到100的方法)，充其量只能“導課”卻難“入課”；不應僅起到“敲門磚”的作用，還應當在課程的展開中自始至終發揮重要的導向作用，如同相聲中的“包袱”一樣．理想的高中數學情境，需要以“情”為經，給予教學場域以真實的生命觸動及完整的情感體驗，既有“初入佳境”時的驚訝好奇，又有“山重水復”時的欲罷不能；既有“柳暗花明”時的豁然開朗，更有“驀然回首”時的猛然醒悟．這樣，我們對情境價值和意義的討論，就不應僅僅停留于如何創設問題情境來解決諸如興趣、動機等方面的問題[7]，更重要的則是給學生提供思考與探索的空間．

2.2 催生問題意識，形成良性互動

情境設置的另一重要價值在于可以催生學生的問題意識，問題是數學和數學教學的關鍵所在，情境中蘊含著有價值的問題，而問題又驅動著情境的展開，決定著情境任務的復雜程度．這樣情境創設時，一方面應與學生的數學認知發展水平相適應，接近學生的“最近發展區”，要有利于學生學習內容的意義構建，可以利用原有的知識和經驗同化當前要學習的新知識，也就是要“夠得著”；同時還要“跳一跳”，應促使學生原有知識與必須掌握的新知識之間發生認知沖突，由此導致學生意識中的矛盾激化，從而產生問題意識，促進探究學習；更重要的恰在于“引一引”，教師在情境創設之初便需設計問題串，在引領學生前行的過程中揣著明白裝糊涂，通過不斷的追問讓學生發現和提出數學問題、分析和探討數學問題、運用所學解決數學問題，在理解概念、形成定理、進行應用中實現師生的良性互動．所以情境是問題的起點和載體，解決問題是情境的任務和直接目標，當學生感到要問“是什么”、“為什么”、“怎么辦”時，其主動性思維才真正激發和啟動，離開了數學情境的創設，數學問題的產生就失去了肥沃的土壤．

2.3 還原數學過程，認清來龍去脈

數學情境搭建了一個數學學習場，將數學中的重要概念、思想方法融入其中：不是將現成結論直接拋給學生，而是從直觀、想象到猜想、發現，讓學生親歷數學知識的建構過程；不是簡單的應用數學解決問題，而是重視學生基本活動經驗的積累，在根據數學思想發展脈絡創設的問題情境中豐富感知、建立表象、發展想象．因為此，情境并不只是數學學習的開始，而是貫穿于學習的始終：“境”的作用始于“啟知”、終于“用知”，應用所建構的數學知識解決原有的問題情境、同時引發出新的數學情境，新“知”之所以生長恰在于情境所創設的“源頭活水”．辨析知識生長過程中的來龍去脈，可以分離出三個重要環節：情境化(將知識的生發寓于具體情境中)、去情境化(從具體情境中抽象出數學問題、提煉出數學模型)、再情境化(應用一般知識解決具體問題)[8]，數學知識的意義建構正是在“情境化”和“去情境化”的不斷往復中自覺完成．創設情境僅是開始環節，其作用在于激發學習動機、溝通生活實際與數學內容間的聯系、搭建具體形象與概括抽象的橋梁，為后續的“去情境化”等教學環節做好準備；“知”的形成必然包括一個“去情境化”的過程，如果只是為數學問題“穿衣戴帽”地罩上一個未必恰當的“情境外套”，既難以激起學生真實的情感，也無益于學生對數學知識的真正獲取．

2.4 提升核心素養，啟迪數學思維

如果說“情境化”搭建了具體與抽象的橋梁、提供了探索與思考的空間，那么“去情境化”和“再情境化”恰可以幫助學生自主探究、參與交流、解決問題，是數學建模、數學抽象、數據處理等核心素養培育的重要載體．如“去情境化”環節中，可以用歸納或類比的方法發現情境中的數量圖形關系，在豐富的特例基礎上抽象出數學概念和規則；又如在“再情境化”環節中，涉及到如何選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題，以何種數學語言表述問題解決的過程和結果．由此可見，學生嚴謹、抽象、概括等一般化知識和思維方法的獲得，正是在具體情境的“超越”(去情境化)和“再現”(再情境化)的過程中得以實現、在情境、問題的有效互動中得到提升；反之也告訴我們，情境創設過程中，要以“境”為緯，建構生態場景及智慧平臺，在情與境中探尋最適合學生思維發散、綜合素養提升的理智與情感并存的意境；要結合特定教學任務，思考相應素養在教學中的孕育點、生長點，研究素養融入教學內容和教學過程的具體方式及載體，忽視“知”只會導致情境缺乏數學味而扭曲情境創設的本真．

3 可視化情境的設計原則

挖掘數學情境的價值功能，正是為創設情境探析路徑與方法．設計切合學生學情和教學實際的情境，既讓學生感興趣又具有一定挑戰性，既與所學內容有著本質聯系又具備數學活動基因，既啟發學生思考又蘊含數學核心素養訴求，于教師而言，無疑是具有挑戰性的任務，也是教師實踐創新的載體．

3.1 直觀形象原則

高中學段的特點決定了數學情境將更多地來源于數學自身，無論是現實生活的數據、數學發展中的史實或是學習過程中的疑難問題和典型錯誤，都離不開呈現方式和媒介手段的選擇問題，而文詞語言再豐富、符號語言再簡潔或許都不及圖形語言的形象直觀．況且情境創設的要義在于“以境啟知”，在認知沖突中激發學生的學習動機，在分析和探究數學問題中建構數學知識，因此好的情境應該簡潔而不冗長、具體而不晦澀．于是直觀形象原則要求，將抽象的數學學習對象(概念原理、結構關系、思想方法等)用可看見的表征形式(圖形、圖象、動畫等)清楚直白的呈現出來，一方面自然離不開可視化技術(數學學科軟件等)的教學應用，更重要的則是立足于教學任務對教學內容作有序化梳理，創設利于去情境化的、蘊含數學核心知識概念的、有助于學生習得知識技能與感悟思想方法的、符合學生認知經驗的富有趣味性的可視化情境．

3.2 先行支架原則

情境是產生數學行為的條件，情境創設應接近學生的“最近發展區”，為后續的“去情境化”提供學習支架和先行組織者材料．先行支架原則要求“跳一跳夠得著”，圍繞既定的數學知識點創設先于學習任務本身呈現的引導性材料，無論是游戲或競賽活動還是故事與操作情境，都應服務于一定的教學目標，有利于知識和思想方法的掌握，有助于問題提出和數學理解．避免“導課”而不“入課”或者為引出數學問題刻意地虛構一個情境的現象發生，需要在分析學生學習特征(包括知識經驗、學習水平、思維特點等)和數學知識核心本質的基礎上，找尋最初的現實原型，為情境教學的實施提供“物質”保證．

3.3 知情達理原則

知情達理的原意是“通人情、懂道理”，用在這兒指向“情”與“知”．知情要求教師在情境創設要將著力點從教師的“教”轉向學生的“學”，能洞察學生的內需(興趣愛好、情感體驗等)，弄清學生在學習過程中的起承轉合，知道學生所想所惑，何處山重水復、何處柳暗花明，然后再將所要學習的知識內容隱寓于具體情境之中，以吸引學生的積極主動參與．因為學生最佳的學習狀態不是“要我學”而是“我要學”，當學習變成自覺的行為時，學習才能達到理想的狀態．達理要求情境能啟發學生思考、引導其把握數學內容本質，因此情境創設時要緊緊圍繞既定的數學知識點展開，圍繞數學核心知識本質創設符合學生認知經驗的富有情趣的情境，并為后繼的“去情境化”打下伏筆、留有余地，既強調現實生活(情境化)也關注數學的內部邏輯(數學化)，在理解的關鍵處、認知的沖突處多加著力，以幫助學生實現具體到抽象的過渡、圖象到符號的轉譯．

3.4 融通延展原則

好的數學情境不僅能“入課”(幫助學生進入課堂學習狀態)，而且能作為主線貫串課堂學習始終(有助于學生了解知識的來龍去脈，經歷數學發現和創造的全過程)．延展原則強調的正是情境在知識發展過程中的穿插銜接之效，在“啟知”之境中，從具體到抽象，蓄勢待發、朝氣蓬勃；在“用知”之境中，從抽象回到具體，居高臨下、登高望遠．而正是在情境于知識學習的起承轉合中，融通各種教學要素使數學核心素養落地．面對可視化情境，提煉數學問題、剖析內在本質需要獨具慧眼，數學抽象和直觀想象蘊育其中；去情境過程中，離不開條分縷析抽絲剝繭，發展邏輯推理和數學運算正可以“用數學的思維想”；再情境化時，從抽象系統回到問題解決，回歸分析、數據處理中恰可以“用數學的語言說”．

4 可視化情境的創設路徑

就情境的創生方法而言，或采用注入改造式，即對原始的、復制的生活情境，注入數學因子改造或改善為有效的數學情境；或采用映射融入式，即將其他學科的情境、數學自身的情境、以及學生的數學經驗情境等映射融入進數學體系之中[9]．注入改造式是先有生活現實原型，然后加以數學化改造為我所用；而映射融入式是先有數學內容，然后選擇合適的素材量身定制．無論采用哪種方法，均需要教師對數學知識有深刻的理解，有敏銳的洞察力和創造力，能透視作為結果性知識背后的情境成分，對其進行教學法層面的再加工，形成可視化情境．

4.1 例舉歸納法

事實上，多數可視化技術內嵌有符號代數系統(CAS)，可以很好的實現規定、定理學習的流程倒置，變“法則記憶+法則應用”為“具體事例→歸納法則→識記應用”，如GeoGebra中可設置和差積商的導數法則的教學情境(如圖1)，因為有具體事例的支持和發現過程的展示，規則(f(x)·g(x))′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)更易于“深入人心”，可見技術助力于可視化情境的創設．

圖1 積商的導數法則

4.2 操作實驗法

實驗無疑是豐富學生體驗的重要手段和路徑，而將實驗交到學生手中，可以實現“做”中理解數學、發現數學，在算一算、畫一畫、量一量中獲得活動體驗；它強調的是不將現成結論直接拋給學生，而是根據數學思想發展脈絡創造問題情境；強調的是親歷數學知識的建構過程，而不是簡單的應用數學解決問題．

如，在GeoGebra環境中學習對數函數，學生可以隨意地取a的值(而不一定是特殊值)畫出相應的函數圖象(不論多少也不論多復雜)，可以清楚地觀察到底數a是如何影響并決定著函數y=logax的性質，實現在函數解析式與圖像間的相互轉換，構建參數a與函數y=logax圖象、解析式之間的聯系通道．在可視化技術的支持下，操作實驗法也已成為情境創設的通行做法，諸如函數與其導函數(極值點與零點)、離心率與橢圓形狀、正方體中的截面形狀等數學內容均可以采用映射融入式構造實驗情境，如圖2中，改變其中的基本函數f(x),g(x)的解析式，可以觀察到復合函數f(g(x))或g(f(x))的圖像變化，而進一步的研究則將復合函數的性質聚焦到基本函數的聯系比較中．事實上，操作實驗的價值正是在“做”數學的過程中豐富感知，在直觀感知的基礎上建立表象，在表象提取與運用中發展想象．

圖2 復合函數的操作實驗

4.3 問題探究法

問題和情境是密不可分的，如果說情境只是靜態場域的話，那么問題則讓情境變得靈動而鮮活，它直接驅動著情境的展開，于是以問題為紐帶設置探究情境自然也是一重要途徑．當然，將抽象的數學原理寓于具體的問題之中，在任務驅動過程中理解數學概念、獲取數學方法、優化思維層次、提升數學觀念則是問題探究法的直接目標．

圖3 向量投影的問題探究

4.4 應用拓展法

數學情境的作用不應僅限于幫學生“入課”(進入學習狀態)，而且能助學生“出課”(學以致用，從應用的角度認識所學知識的價值)，也就是說情境可以貫穿學習始終，既承前揭示知識來龍，又啟后明了知識去脈．應用拓展類情境的價值不僅在于說明“數學有用”，而且可以尋求“問題空間”的數學解釋，架設新舊內容間的聯系通道，構建更加完善的知識網絡體系，以此發展學生的數學應用意識，回歸素養為重的常識．

圖4 構造周期函數