平面體截交線邊數和頂點數的計算模型研究

肖昕迪， 吳 燕

(安徽科技學院，安徽 鳳陽 233100)

平面體截交線的繪制一直是建筑圖學界的難題之一,需要從平面到三維空間反復模擬、求證后方得以解決。從截切體斷面形狀的空間想象,到其三面投影圖中邊數和頂點數的確定,以及最終投影圖的繪制,每一步都錯綜復雜,其中截交線的邊數和頂點數的確定是最關鍵的一步。目前解決平面體截交線投影圖難題的常用方法為畫法幾何法求解截交線多邊形[1]，即先根據截切位置判斷截交線的形狀[2],以截切面與形體各棱線的交線為線索[3],在形體面上取點的方法[4],找出截交線各頂點的位置,按三視圖的“三等”關系,畫出截交線各頂點的三面投影,最終圍合出截交線[5]。這種方法求截交線多邊形,對空間想象能力要求高,截交線形狀判斷時需要花費時間建?？臻g形體。另外,因為截交線多邊形的邊數和頂點數不確定,畫圖過程中容易出現思路不清晰,導致三視圖的輪廓線遺漏、多畫現象,審核圖樣耗時較多。

為了快速判定平面體截交線的邊數和頂點數,節省繪圖的時間成本,提高畫圖的準確性,本文提出了構建平面體截交線的計算模型方法,求解出截交線多邊形頂點數、邊數,來確定整個截交線的形狀,最終按照投影規律補全截切體的三視圖。對此,深入分析由單截面到多截面的頂點和邊數計算特點,建立截交線邊數和頂點數建計算模型。

1 單截面平面體的截交線算法

單截面平面立體的截交線是一個由直線組成的平面封閉多邊形,其形狀取決于平面立體的形狀及截平面在平面立體上的截切位置。目前常用的方法有兩種:棱面法和棱線法。

1.1 棱面法

將參與相交的各棱線(或底邊)與截平面求交線,交線的集合即為所求截交線[6]。截交線的邊數可視為截平面所截到的棱面數。以圖1為例,圖中正四棱錐被傾斜的正垂面切割,四個側棱面全被切到,就會有四段交線,這四條交線的集合即是此截交體的截交線(Ⅰ Ⅱ、Ⅱ Ⅲ、Ⅲ Ⅳ、Ⅳ Ⅰ),截交線的邊數N總設定為:

N總=Ny

(1)

其中,N總為截交線的總邊數;Ny為被截平面截到的棱面(或底面)數。

圖1 一個平面截切四棱錐的截交線

1.2 棱線法

將參與相交的各棱線(或底邊)與截平面求交點,然后將各交點按照位置關系依次連接,即為所求截交線[6]。此時,棱線(或底邊)與截平面相交時產生的交點個數的即為截交線多邊形的邊數。如圖1,正四棱錐被傾斜的正垂面切割,有4條棱側棱全被切到,有4個交點(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ)。計算式設為:

M總=Mx

(2)

其中,M總為截交線總定點數;Mx為被截平面截到的棱線(或底邊)數。

單截面的平面體截交線,是最簡單的截切情況,不適合直接計算2個或者2個以上的截面截切體的截交線邊數和頂點數。

2 多截面平面體的截交線邊數和頂點數計算模型的構建

2.1 多截面平面體截交線邊數的計算模型

以圖2為例，3棱錐被2個相交的截平面(水平面和傾斜于水平面的正垂面)截切時的截交線。若按照式(1)棱面法的算法：截交線的總邊數應為兩個截平面產生的截交線邊數的總和，列式為：N總=N1+N2=3+3=6。

N1——第一個截平面截切時產生的截交線邊數

N2——第二個截平面截切時產生的截交線邊數

從空間圖上可以數出截交線的總頂點數為6，分別是：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ；總邊數是7，不是6，分別為：直線ⅠⅡ，直線Ⅱ Ⅴ，直線Ⅴ Ⅵ，直線Ⅵ Ⅰ，直線Ⅱ Ⅲ，直線Ⅲ Ⅳ，直線Ⅳ Ⅴ，在采用式(2)累加的基礎上需要再加數字“1”。“1”來源于2個截平面不是各自獨立地作用平面體，截平面之間有1條交線。由此設置代表交線數量的參數X。

圖2 兩個平面截切三棱錐的截交線

由此,計算圖2形體截交線邊數的時,分別計算2個截平面獨立截切時各自產生的截交線邊數,在此基礎上加上截平面之間相交的交線數參數,即可算出截交線的邊數。過程如下:

先按照式(2)的計算方法可得:N1=3,N2=3;再加上交線數參數。列式為:N總=3+3+1=7。與空間圖形中的截交線的邊數一致。

由此,構建多個截切面形成截交線邊數N總的計算模型為:

(3)

其中,N1為第一個截平面截切時產生的截交線邊數;N2為第二個截平面截切時產生的截交線邊數;Nn為第n個截平面截切時產生的截交線邊數;X為截平面之間的交線數。

2.2 多截面平面體截交線頂點數的計算模型

仍以圖2中的平面形體為例,設頂點數為M總。有兩個截平面作用平面形體,每個截平面切到2個棱,按單個截平面形成的截交線頂點數的兩次累加,M總=4,和空間截交線6個頂點數并不一致,需要加上截平面之間相交交線的2個端點。因此,需要設置截平面之間交線的端點數參數Y,因每條交線有2個端點,故Y=2X,X為截平面之間的交線數。圖2中截交線的頂點數計算式可列為：M=M1+M2+Y=2+2+2=6,與空間圖形中的截交線的頂點數一致。

由此,構建多個截切面形成截交線頂點數的計算模型為:

(4)

其中,M1為第1個截平面截到的棱線數;M2為第2個截平面形成的棱線數;Mn為第n個截平面形成的棱線數;Y為截平面之間交線的端點數。

2.3 模型對單截面的適用性

式(3)(4)是以多個截平面截切平面形體為模型建立的,對于1個截平面截切平面形體所形成截交線的計算也可以使用(3)(4)式,二式中的Nn、X、Mn、Y都沒有值,或者都設為零。因此,1個截平面的情況也適用。

3 截交線邊數和頂點數計算模型的驗證

3.1 三個截平面作用的截切體

如圖3所示,正四棱錐被水平面、鉛垂面、正垂面3個截平面截切,3個截平面有2條交線,參數X=2,參數Y=4。

按式(1)(3)可得截交線的邊數為:N總=N1+N2+N3+X=4+2+4+2=12;

按空間圖和式(1)、(4)可得截交線的頂點數為:M總=M1+M2+M3+Y=3+0+3+2×2=10;

以上結果與空間相符。

圖3 三個平面截切四棱錐的截交線

圖4兩個平面截切棱柱的截交線

Fig.4 Intersection line of two planes cutting prism

3.2 兩個截平面作用的截切體

如圖4所示,橫放的棱柱被2個傾斜的正垂面截切,有1條交線,參數X=1,參數Y=2。按照式(1)(3)(4)計算,可得截交線的邊數為N總=13;截交線的頂點數為M總=12。結果與空間相符。

3.3 單截平面作用的截切體

如圖5所示,水平放置的六棱柱1個傾斜于正面投影面和側面投影面的鉛錘截平面截切,截切到6條棱線和6個棱面,截交線的邊數和頂點數均為6,按式(3)(4)計算N1=6,M1=6,其余參數和變量都為0,截交線的邊數:N總=N1=6。

截交線的頂點數為:M總=M1=6,結果與空間相符。

圖5 一個截平面截切棱柱的截交線

圖6三個平面截切四棱臺的截交線

Fig.6 Intersection line of three planes cutting four prism

4 截交線邊數和頂點數計算模型的應用

如圖6所示,為被3個截平面(2個側平面和1個水平面)截切的四棱臺,求其被截切后的截交線。

解題思路:先把截交線的頂點數和邊數分別用式(3)(4)計算出來;再按照求出的邊數和頂點數利用投影規律來連接圍合成各投影面上截交線投影。

4.1 先求解出截交線的邊數和頂點數

空間分析:水平截平面與四棱臺4個棱面相交,交于4條邊,即N1=4;2個側平截平面均與四棱臺3個面相交,分別交于3條邊即N2=3,N3=3;截平面之間有2條交線,即X=2。則此截交體截交線的邊數N總=N1+N2+N3+X=4+3+3+2=12。

空間分析:水平截平面與四棱臺兩個棱相交,即M1=2;兩個側平截平面均與四棱臺上底面分別兩個棱相交,即M2=2,M3=2;截平面之間有2條交線,每根交線2兩端點,即Y=2X=4。則此截交體截交線的邊數M總=M1+M2+M3+Y=2+2+2+4=10。在正面視圖中注出10個點的位置和編號。詳見圖7。

4.2 補齊各點的投影,連接圍合成截交線

由上面的空間分析和頂點、邊數計算得出,截交線是空間10邊形,并有2條交線。按照三面投影“長對正、寬相等、高平齊”的作圖規律[7-8]和形體表面點的投影規律,求解出10個點的另兩面投影,并分別連接成截交線的各面投影,詳見圖8。

圖7 三個平面截切四棱臺的截交線

圖8三個平面截切四棱臺的截交線

Fig.8 Intersection line of three planes cutting four prism

5 結論與討論

通過空間圖形的驗證表明,截交線頂點和邊數的計算公式是可行的。通過設置截平面交線參數解決了多截面平面體的截交線邊數和頂點數計算,通過截交面交線推出兩個參數間的關系,解決了截交線求解過程中的邊數計算難題。省去了對截交線復雜的空間想象和建模的時間,為工程中常見的平面形體截交線的求解提供了普適方法。

本文只討論了平面體被一個或多個相交截平面截切時截交線邊數和頂點情況,對于曲面體被截切時截交線的邊數和頂點確定尚未討論。式(1)和(2)只適用于平面體被一個截平面截切時對截交線邊數和頂點的確定。式(3)和(4)適用于平面體被一個或多個截平面截切時對截交線邊數和頂點的確定,是否適用于曲面形體、相貫體和組合體還有待進一步的研究。