近地圓軌道真的內切于橢圓軌道近地點嗎？

余歡 李帖

摘 要：本文運用橢圓參數方程，運動的合成和分解，簡諧運動相結合的方式，探討了近地圓軌道和橢圓軌道近地點的相切問題，以較簡單的方式解開了困擾學生和教師已久的困惑。

關鍵詞：近地圓軌道；橢圓軌道；相切

一、問題說明

在進行萬有引力的教學時，總會有學生很疑惑地來問我：老師，近地圓軌道真的內切于橢圓軌道的近地點嗎？可以通過研究，找到了簡諧運動結合運動的合成與分解，再搭配曲率半徑的概念予以講解論證的思路。

二、知識準備

1.橢圓的方程

a.橢圓的標準方程

+ （長軸位于x軸）.其中（x，y）為橢圓上點的坐標，a為橢圓的半長軸長，b為橢圓的半短軸長，橢圓的半焦距為c，且c2=a2-b2.

b.橢圓的參數方程

x=asinθ，y=bcosθ，聯立，消去θ可得： + =1。

由此聯想到若令θ=ωt，則x=asinωt，y=bsinωt，則可將軌跡為橢圓的運動視做兩個圓頻率相同且互相垂直的簡諧運動的合運動。

2.曲率半徑

曲線的曲率：就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率。通過微分來定義就是：k=lim ，Δs趨向于0的時候，k值就是曲率。曲率表明曲線偏離直線的程度，或曲線在某一點的彎曲程度的數值。曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。

3.簡諧運動的速度時間關系

運用數學求導的工具求解簡諧運動的速度時間關系。

簡諧運動的位移時間關系為：x=Asin（ωt+？漬）

對x關于時間求導，得簡諧運動的速度時間關系：V=Aωcos（ωt+？漬）

由此可知，做簡諧運動的物體經過平衡位置處的速度大小為：V=Aω。

小結：由以上的論述可知，橢圓運動可以視作互相垂直且圓頻率相同的兩個簡諧運動的合運動，如圖所示，則橢圓近地點即A點的速度為：VA=bω。我們將在此認識上繼續討論。

三、近地軌道與橢圓軌道

1.軌道在近地點的相切關系

圓軌道的半徑為：R=a-b，近地點處橢圓軌道A點，設其向心加速度為anA，曲率半徑為ρA，則：anA= ，anA=ω2a且VA=bω，聯立以上三式，得：ρA= 。

欲知近地圓軌道與近地橢圓軌道在近地點的相切關系，就需要比較R與ρA的大小關系，用作差法論證：R-ρA=（a-b）- = <0

所以：R<ρA，即近地圓軌道半徑小于近地橢圓軌道在近地點的曲率半徑，表明兩者的在近地點的空間關系為：近地圓軌道內切于近地橢圓軌道。

2.向心力及向心加速度的關系

對于同一衛星而言，無論其繞行軌道是近地橢圓軌道還是圓軌道，當其通過近點時都是萬有引力提供其運動所需要的向心力，由F萬=G 及a= 可知，向心力及向心加速度完全相同。

3.速度關系

a.從發射速度的角度定性角度思考釋疑：想要使衛星能夠到達更高的軌道上運行，就需要更大的發射速度。所以衛星在橢圓軌道上A點的速度就大于近地圓軌道上A點的速度。

b.從圓周運動線速度表達式的定量角度思考釋疑。

對于近地圓軌道上的A點，由萬有引力提供向心力的線速度表達式，有：G =G =M2 ，所以：VA=

對于橢圓軌道上的近地點A，同理可得：

G =G =M2 ，代入ρA= ，整理得：V′A= =

用作商法比較VA與V′A的大小關系： = =

因為：a-c

即：衛星在近地圓軌道上A點的運行速度小于其在近地橢圓軌道處A點的運行速度。

四、總結

定性、定量、實驗驗證是教師在授課過程中常用的講解方式，是已被實踐證明的有效的講解方式。但考慮到學生的思維方式存在差異，必要時教師也需要根據學生的情況予以調整，給以另外一個角度的思維補充，滿足學生的求知欲，也讓學生對知識產生發自內心的認可和切實的理解。

編輯 原琳娜