高中數學概念教學中教與學的處理

戴慧麗 陳岳鵬

摘 要：課堂是教學的主要陣地，新課的教學尤為重要，課堂上學生只有自然地接受知識，能力才能得到提升，所以課堂中教與學的處理很重要。以“直線與圓的位置關系”這堂課為例，精心設計，通過基礎過關、知識拓展、課后鞏固以等環節的把握，探索新課教學中如何進行教與學的處理，同時也反思課堂教學中學生與教師應該扮演的角色。

關鍵詞：課堂設計；教學處理；反思

隨著教學年限的增長，對于一節好課的理解在慢慢地發生變化，一開始覺得要把一節課設計得很充分，面面俱到，滴水不漏，再后面想著要突出重點、突破難點，課堂上師生良好互動，但慢慢地對課堂教學的反思，想著課堂上不能只傳授自己想教的知識，而應該傳授的是學生需要的內容。數學課堂上應關注哪些因素，怎樣提高課堂效率，形成有效教學，通過對“直線與圓的位置關系”的課堂教學，對概念課的設計多了一些新的理解。

一、基本情況

（一）學情分析

學生來自于普通高中高一實驗班，他們中大多數學生的數學學習能力處于聽得懂但不會做，能跟著走但自己不會自行思考的水平，他們有一定的模仿能力，但創新意識不強，運算能力一般，碰到較難的運算和思維過程，容易有畏難心理，比較容易放棄。

（二）教材分析

直線和圓這兩個概念在初中數學中都已經有所接觸，特別是圓的定義和基本性質學生已經有了大致的了解，在本節課的學習中所需要的垂徑定理、直線與圓的三種位置關系都有所了解，但相應地運用哪些數量之間的關系來具體刻畫，以及每一種位置關系如何刻畫，都存在不小的困難，由具體的圖象怎樣轉化成抽象的運算也是學生學習的難點，是本節課處理的一個關鍵，因此制訂出本節課的教學目標、重難點如下：

教學目標：（1）學生能判斷直線和圓的三種位置關系。

（2）學生會利用兩種方法判斷直線與圓的位置關系。

（3）通過探究學習，滲透分類討論、數形結合的思想。

教學重點：直線和圓的位置關系的判定方法。

教學難點：直線和圓的位置關系的運用。

二、教學設計

（一）內容提要

直l：Ax+by+C=0，圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2

（二）基礎過關

例題1.已知直線l與圓C：x2+y2=4相切，且分別通過下列各點，求直線l的方程。

（1）A（0，4） （2）B（2，3） （3）C（1， ）

課堂小結：過一點求圓的切線方程需要注意這個點是否在圓上。

（三）拓展提高

例題2.設直線l：3x+4y+8=0和圓C：x2+2x+y2-24=0相交于

A、B兩點。（1）求弦AB的長；（2）求弦AB的垂直平分線的方程。

例題3.過點（4，0）的直線l與圓C：（x-4）2+（y+2）2=4相交，并且將圓C分割成弧長之比為1∶2的兩段，求直線l的方程。

（四）課外鞏固

1.已知直線 x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切，則實數

m=__________。

A.± B.- 或3

C.-3 或 D.±3

2.已知直線l：x+2y-1=0與圓C：（x-1）2+（y-1）2=1，則圓C上的點到直線l的最大距離為______，最小距離為_______。圓C上的點到直線l的距離為 的點有______個。

3.若方程 =x+b有解，求b的取值范圍。

三、課堂回顧

（一）基礎過關

1.導入低起點、多樣性

在基礎過關中，用了三個看上去幾乎一樣的題目，由簡單到復雜層層深入。當拿到第（1）小題時，學生會習慣用點斜式假設直線方程，但在求解過程中會有部分學生聯立直線與圓的方程，求？駐來解決：

設直線方程為y=kx+4

聯立方程：y=kx+4x2+y2=4 得：（1+k2）x2+8kx+12=0

∵直線與圓相切 ∴？駐=0

即（8k）2-4（1+k2）×12=0

得k=± ∴直線方程為y=± x+4

也有一部分學生通過求解圓心到直線的距離d，結合題目條件d=r進行運算：

設直線方程為y=kx+4

圓心（0，0）到直線kx-y+4=0的距離d=

∵直線與圓相切

∴d=r即 =2得k=± ∴直線方程為y=± x+4

對比兩種解答方法，使學生體會到運用d-r法（數形結合）的優越性，并強化此方法的運用。另外本題在設計的時候，考慮到學生的計算能力，不再數字計算上設置障礙，題目一出現的時候，學生會有熟悉感，上手快，計算簡單。題目設置的目的是為了激趣、啟智，增強學生的自信心，任務的完成會讓學生松了一口氣，也為后面題目的設置形成一定的鋪墊。

2.題目設置循序漸進

在第（1）小題完成之后，學生很容易依葫蘆畫瓢地運算第（2）小題。

設直線方程為y-3=k（x-2）即kx-y-2k+3=0

圓心（0，0）到直線的距離d=

∵直線與圓相切

∴d=r即 =2得k=

得到答案只有一個，而大部分學生認為過程就此完結，這時教師就要提問，最后答案是否正確，過程中可有不妥之處。在這個過程中根據具體情況引導學生使用數形結合思想，讓學生先判斷出切線的總數，再讓學生發現遺漏的切線是怎樣的，為什么會遺漏，切線斜率不存在的判斷，同時教師可根據具體情況展示優秀學生的作業或自我示范解題過程。

數學課堂教學中，學生的主體地位是毋庸置疑的，但教師的主導作用也是非常重要的，教師的引導可以調動學生的疑問、思考和自主討論，最后促進新舊知識間的相互作用，使整個思維連貫、完善。

3.最后出奇制勝，使學生豁然開朗

在第（2）小題的基礎上再加上第（3）小題，學生會經歷期待─困惑─迷茫─恍然大悟的過程，通過3道小題過山車般的體驗，讓學生自己總結求切線方程的步驟和需注意的問題。雖然提醒簡單，但存在一定的思維量，這樣遠比一開始就給定一個規范的解題過程要好，學生的體會會深刻得多，這樣也才能使這些知識成為學生自己的東西。

在第（3）小題之后，我們再給學生留有時間，規范書寫格式。這個環節的設置是讓學生體會用d-r法解決直線與圓的位置關系的優越性和注意事項，同時在課堂進行中慢慢抓住學生的注意力，在無形中繃緊上課的神經。

（二）拓展提高

1.平行應用，強化注意事項

通過基礎過關的訓練，學生對直線與圓的位置關系中d-r法的必要性和優越性有了深刻的體會，再通過直線與圓相交的問題的探究進一步深化d-r法的應用范圍。第（1）題的弦長問題應該是能簡單解決的，但第（2）題中求弦的垂直平分線是，學生仍會處于迷茫無助的狀態，此時再引導強化數形結合思想的運用，與基礎過關相呼應。

2.變形、深挖主題

直線與圓的位置關系的考查題型千變萬化，怎樣讓學生通過對圖象的觀察理解題目的本質，是這節課的重點也是難點，當學生碰到弧長比值這個陌生概念時，引導學生用通法，即觀察圖象─判斷直線與圓的位置關系─應用d-r法─求解直線方程。

（三）課外練習鞏固新知

本節課是對直線與圓三種位置關系的判定及研究，能應用相應的位置關系對應d與r之間的關系，求解直線方程中的各種問題，同時得出求解過程的幾個基本步驟與注意事項。課外鞏固的題型設計圍繞本節課的主題，難度依次上升，最終強化數形結合思想與解決此類問題的通法。

（四）結課留有余味

本節課內容多，考慮到學生直線與圓的問題的實用性與深刻性，課堂上題型設置基本上為求解直線方程，這樣能集中學生的注意力，提高課堂效率，為后續題型變換中的本質把握打好堅實的基礎。本節課對學生數學素養的要求體現在：觀察問題時，抓住特例，做一般推論；認識問題時，挖掘題目內涵，揭示關鍵本質。

四、教學反思

（一）課堂的導入要從學生的學習困難處入手

一種解題思路的形成，要先讓學生認識到問題的障礙、問題的本質屬性，需要教師在教學設計時創設恰當的情境，引起學生的興趣，讓學生的思維產生火花，最后才能運用已有知識解決未知問題，達到知識運用融會貫通的功效。本節課從基礎過關到探索拓展，一步步形成問題鏈條，從一般到特殊再回歸一般，步步設置小障礙，步步深入，在舊問題中形成新問題，教師適時提問，誘導過程自然真實，學生在不知不覺中完成了螺旋式上升。

（二）要引導學生自主思考，主動參與學習

新課程改革中重視以學生的“學”來評價教師的“教”，強調以學生在課堂教學中呈現的狀態為參照來評價課堂教學質量。學生是否有濃厚的學習興趣，對學習具有好奇心和求知欲；是否始終關注討論的問題，并保持較長時間的注意力；學生是否積極主動地投入思考，并興致勃勃地參與討論和發言；遇到困難時能否主動地與他人交流、合作，共同解決問題，在學生學習方式的變革中強調自主學習、探究學習與合作學習。本節課的教學設計充分考慮到學生學習的興趣點，學生現有的學習水平與潛在的能力之間的最近發展區，讓學生能夠在對比后受到啟示，在啟示之后能夠模仿，在模仿后逐步完善，在完善中適當小結，之后再加以應用，流程過渡自然，效果水到渠成。

（三）把握好課堂教學中教師與學生的地位，充分尊重學生

課堂教學中要以學生的學為主體，教師起主導作用。我們要在課堂上舍得放手讓學生做，在巡堂過程中不斷發現學生的閃光點與不足。讓學生自己做、自己講，在學生有困惑的時候適當地提問和引導。把時間還給學生，對學生來說通過自己的努力得來的知識遠比老師強加給他們效果來得好，久而久之，既能培養學生自學的能力，課堂效率也會相應地提高。另外在學生思考發言等過程中不輕易打斷，但在學生自主學習與探究過程中，教師要始終處于主導地位，放得出去也要能收得回來，能把控好分寸，為學生的理解、體驗、反思探究與創造提供條件。

（四）處理好學與講的關系，注重時效

本節課采用分層做、分步理解，學生自己做、自己講，教師在必要的時候提問、補充。本節課在問題設置時充分關注學生的現有水平，圍繞教學內容的重難點，排除一些干擾因素，凸顯出本節課的主題與關鍵，計算難度不高，雖然有些變化，但深究之后本質是一樣的，在思維的關鍵出設置難點，讓學生可以通過自己的努力，撥開烏云見月明。

（五）多媒體手段的應用

多媒體手段的應用應該服務于教學，一個優美的課件可以讓學生賞心悅目，通過幾何畫板的演示讓學生能夠直觀發現問題，但是不能過度。

參考文獻：

[1]鄭強.走進高中數學教學現場[M].首都師范大學出版社，2008.

[2]王千秋.高中數學課堂模式設計[J].高中數學教與學，2011（8）.

編輯 魯翠紅