立足問題探究 提升思維能力
——以一道教材練習題為例談解題教學

安徽 陳曉明

哈爾莫斯說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟．”波利亞說：“掌握數學就意味著善于解題．”羅增儒教授說：“數學學習中發生數學的地方都無一例外地充滿著數學解題活動．”……由此可見，解題教學在數學學習中及其重要．然而，不同教師對解題教學的理解和操作存在很大差別，解題教學現狀不容樂觀．筆者在此以一道教材練習題為例談解題教學，解題教學的關鍵是立足問題探究，提升思維能力．

1.解題教學現狀分析

無論是教師還是學生，都感覺高中數學的學習內容深，時間緊，任務重，考試多．學生總感覺數學題目做不完，教師總感覺數學題目講不完．于是在解題教學的課堂上出現常見的現象是：教師教學方法模式化：“例題+練習”；教學目標單一化：“歸題型+列解法”；學生解題范式化：“對題型+套解法”．課堂上教師就題講題，不停灌輸題目的解法，不停按知識點和考點進行“題型”歸類，很難涉及解法的發現過程，更談不上探究題目的數學本質，學生對教師講解的題目經常是只知其然，而不知其所以然．教師解學生看，學生再模仿訓練，在低水平重復操作中達到熟練．

這種灌輸講授加“題海戰術”可能短期效益明顯，但我們必須承認：這樣的解題教學長此以往必將“奴化”學生的思維，學生對解題缺乏自己的思考和認識，甚至沒有獨立解題的體驗，也就不可能真正意義上學會解題．考試時對熟悉的題型可產生本能的反應，但對不熟悉的題型，“無型可套”時很難做到具體問題具體分析，最終把鮮活的、富于挑戰性的數學解題智慧淪為以牢固記憶、熟練模仿為主要特征的解題技能．

如此的解題教學，嚴重違背了我國課程改革的初衷，為了讓那些把大量的時間花在無休止的“題海戰”上，企圖用操練代替創新，以經驗積累代替理性思考的考生沒有大的作為，高考命題者必然采用反題海戰術，多設計一些規避模式化的試題，特別是把關題更是如此．因此，高考加大了探究能力及學習潛能的考查，考查的不是學生會不會套用常見的題型，而是重在考查學生會不會思維，有沒有良好的思維習慣，考查的是學生是否有那種探索、求真、質疑的科學精神！這樣，沒有了教師的“攙扶”，靠“題海戰”的學生也就不知所措，無能為力了．

下面筆者以人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1第37頁練習第3題為例，研究如何做到立足問題探究，提升思維能力，讓我們的解題教學落到實處．

2.教學案例

教師：在前面的學習和作業中同學們出現了這樣那樣的錯誤，感覺在求曲線方程時困難較大．今天我們來探究教材第37頁練習第3題，以此來研究求軌跡方程的一般方法，看看此類問題難點在哪兒，以及我們如何突破．

問題如圖，已知點C的坐標是(2,2)，過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點B．設點M是線段AB的中點，求點M的軌跡方程．

這個問題起點低，所有學生都可參與探究．學生可以從問題的多元表征去探究，形成問題解決的不同思路，培養思維的分散性、靈活性、廣闊性與深刻性，從而提升思維能力．

讓學生充分思考并理清自己的思路后開始交流、展示．由學生分析思路并給出解法，教師引導反思．

學生1：要求M點坐標，需要知道A，B兩點坐標，而這兩點坐標都不知道，于是我想到設出A點坐標(含參)，然后求出B點坐標(含同樣的參數)，再利用中點坐標公式消去參數．這樣問題的關鍵轉化為求B點坐標，而只要求出直線CB的方程即可(令x=0)，又直線CB過定點C(2,2)，因此只需求直線CB的斜率，因為CA⊥CB，所以只需求直線CA的斜率，而A點坐標已設出，問題就迎刃而解了．

解法1(參數法)：設點A,M的坐標分別為(t,0)，(x,y)．

(2)當t=2時，可得點A，B的坐標分別為(2,0)，(0,2)，此時點M的坐標為(1,1)，它仍然適合方程③．

由(1)(2)可知，方程③是點M的軌跡方程，它表示一條直線．

教師：分析地很有道理，一步步順藤摸瓜，我們解題需要這樣的良好思維習慣．而且注意到了分類討論，很好．

學生2：我沒有引進參數，直接設出M點坐標，利用中點坐標公式求出A，B兩點坐標(用M點坐標表示)，然后求出直線CA和CB的斜率，利用CA⊥CB得到它們斜率的等量關系，從而得到方程．

解法2(直接法)：設點M的坐標為(x,y)．

(1)當直線CA的斜率存在時,

(2)當直線CA的斜率不存在時，

易求點A，B的坐標分別為(2,0)，(0,2)，此時點M的坐標為(1,1)，它仍然適合方程③．

由(1)(2)可知，方程③是點M的軌跡方程，它表示一條直線．

教師：不引進參數也能解決問題，真聰明！大家比較一下這兩種方法，看看有什么異同點？

學生3：兩種方法本質相同，都用到了中點坐標公式；都利用題中關鍵條件CA⊥CB，將幾何條件代數化；都考慮到了斜率的存在性，進行分類討論．只不過前者含參，后者不含；前者用A，B兩點坐標表示M點坐標，后者用M點坐標表示A，B兩點坐標；前者由垂直關系得斜率關系，得直線方程求坐標；后者由垂直關系得斜率關系，由等量關系直接得軌跡方程．從計算量等方面來說直接法更簡潔些．

教師：比較得很徹底．我們解題要抓住題目的本質．

教師：很好，把垂直關系用向量形式表示，進一步用坐標表示，幾何條件代數化，解答變得簡潔，而且避免了分類討論．

教師：厲害！沒想到幾何法也能解決軌跡問題，數形結合思想真是重要，而且也不需分類討論．

教師：真是“條條大道通羅馬”！這種解法利用等量代換，還避免了求點A，B的坐標．

學生8：我由前面兩位同學的解法受到啟發，發現O,A,C,B四點共圓，于是我想到先設出圓的方程，利用半徑為|OM|，點C(2,2)在圓上解決問題．

解法6(解析法)：設點M的坐標為(a,b)，因為CA⊥CB，OA⊥OB，所以O,A,C,B四點共圓，圓心為點M，半徑為|OM|，因此令圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2，又點C(2,2)在圓上，把點C坐標代入圓的方程可得(2-a)2+(2-b)2=a2+b2，化簡得a+b-2=0，即點M的軌跡方程為x+y-2=0．

教師：不難看出，解法6與解法5本質相同，但視角不同，數學之間的聯系真是奧妙無窮．另外，O,A,C,B四點共圓對于圖中點A，B分別在x軸，y軸正半軸成立，其他情況就不成立了，這一點應引起注意．

在不知不覺中課堂學習氛圍變得十分熱烈，這時一位一向比較內斂的同學舉手了，可能是被課堂氣氛感染了，筆者立即給他說話的機會．

學生9：我也是用M點坐標表示A，B兩點坐標，但我沒有利用直角三角形的中線性質，而是直接在Rt△ABC中利用勾股定理．

解法7(幾何法)：設點M的坐標為(x,y)，由中點坐標公式易得A(2x,0)，B(0,2y)，又C(2,2)，所以|CA|2=(2x-2)2+4，|CB|2=4+(2y-2)2，|AB|2=4x2+4y2．因為CA⊥CB，所以△ABC為直角三角形，由勾股定理得|CA|2+|CB|2=|AB|2，所以(2x-2)2+4+4+(2y-2)2=4x2+4y2，進一步可化為x+y-2=0 ③．

教師：很好，原來幾何法有這么多表現形式．集體的智慧真是不可限量！想出了這么多方法，接下來大家比較一下這些方法，總結一下求軌跡方程的方法．

學生10：參數法是觀察軌跡的形成過程，選擇恰當的參數描述動點坐標所適合的等量關系，消參化為普通方程．所以說參數法是一種通法，參數由問題背景確定．

學生11：向量法在本質上屬于直接法，都是將幾何條件代數化，只是轉化的途徑不同，有時用向量法要簡潔些，可能避免了分類討論．

學生12：幾何法在本質上也屬于直接法，只不過對幾何條件采取了不同的表現形式，能讓我們看到問題的本質而已．

教師：大家總結地很好，盡管求軌跡的方法很多，但有些方法在本質上是相同的．雖然思考問題的視角不同，就像本題對關鍵條件CA⊥CB的處理方式不同，但最終目標是一致的，即求動點坐標之間的關系(方程)．請同學們接下來思考教材中本頁習題第4題，看看該如何解決？

變式(人教A版普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1第37頁習題第4題)：

過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．

3.教學反思

本課例以自主探究活動為載體，以貼近學生“最近發展區”的軌跡問題為支點，在探究、變式中，使學生的解題能力與思維能力同步提升．解題教學要選擇適宜的問題，學生“跳一跳，夠得著”的問題，而且問題具有分散性，即解決問題方法的多樣性和條件或結論的可變性．有了問題學生就有了思考與討論的方向，從而能持續地驅動學生進行探究，激發思維．另外，解題教學中，解題后教師要引導學生對解題方法進行分析、評價，從而培養學生的思維能力．

在解題教學中,有些教師一堂課能講很多題目，有些題目點到為止，其“含金量”會有多少？因為學生缺少了各種體驗的機會，沒有了比較分析，一旦遇到了不同的問題，當然不會隨機應變，因此考場上經常出現教師講過的題學生仍然不會做的現象就不足為奇了．課堂上教師、學生都花了時間，卻沒得到相應的效果，得不償失．所以，草草講10道題，不如講透1道題，解題教學要講究質量．