巧處理，活變形，突破高考統(tǒng)計大題的運(yùn)算瓶頸

廣東 林國紅

近年來，高考對數(shù)學(xué)能力的考查強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性，并要求切合考生的實(shí)際.在高考試卷中，能綜合考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的，無疑是統(tǒng)計大題了.統(tǒng)計大題一般有文字閱讀量較大、數(shù)據(jù)的信息點(diǎn)多、計算量偏大的特點(diǎn).而近幾年統(tǒng)計解答題的得分都不盡如人意，其原因之一是學(xué)生在解題時停留在直接套用公式計算上，不會對計算公式進(jìn)行變形與數(shù)據(jù)的處理，又多因運(yùn)算能力不足，導(dǎo)致計算困難，信心受挫，解題過程一旦受阻，無法找到解題方向及時調(diào)整思路，則會在“思路單一，運(yùn)算難行”的興嘆中無奈放棄.

下面筆者以幾道統(tǒng)計題為例，對解題中的數(shù)據(jù)處理技巧、公式變形應(yīng)用等方面加以分析說明，希望能拋磚引玉，以此增強(qiáng)高三復(fù)習(xí)的針對性，突破高考統(tǒng)計大題的運(yùn)算瓶頸.

一、數(shù)據(jù)的巧處理

例1(2011·安徽卷文·20)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份20022004200620082010需求量(萬噸)236246257276286

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量.

解答：(Ⅰ)由所給數(shù)據(jù)得出，年需求量與年份之間是近似直線上升的關(guān)系，下面來配回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)處理如下：

年份-2006-4-2024需求量-257-21-1101929

例2從某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品，測量這批產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：

(Ⅱ)若該種產(chǎn)品的等級及相應(yīng)等級產(chǎn)品的利潤(每件)參照以下規(guī)則(其中Z為產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值)：

否則該產(chǎn)品定為不合格品，企業(yè)將損失1 000元.

(i)若測得一箱產(chǎn)品(5件)的質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)分別為：76，85，93，105，112，求該箱產(chǎn)品的利潤；

分析：①本題的“題源”是2014年全國乙卷文科第18題，高考題的數(shù)據(jù)及問題與本題的第一個問題完全一樣(值得注意的是：2014年高考題也是“2018年考試大綱文科說明”的示例)；

③其實(shí)題目已給出相應(yīng)的說明：“同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表”，這表明同一組中的所有數(shù)據(jù)都是同一個值 ，如第一組[75,85)中的所有產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值均是80，而且由題目可以得到每組的頻率與頻數(shù)，這樣樣本的平均數(shù)與方差就可以求了.

解答思路：由題意，可得第一組[75,85)的產(chǎn)品頻數(shù)為200×0.006×10=12，設(shè)這12件產(chǎn)品的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值為x1,x2,…,x12，則有x1=x2=…=x12=80.其他組同理可得，數(shù)據(jù)分組如下表：

組別12345頻率0.060.260.380.220.08頻數(shù)1252764416指標(biāo)值8090100110120

可以看出，實(shí)質(zhì)上由指標(biāo)值與相應(yīng)的頻率就可算得平均值與方差.

解答：(Ⅰ)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：

產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為：

s2=0.06×(-20)2+0.26×(-10)2+0.38×02+0.22×102+0.08×202=104.

(Ⅱ)略.

二、公式的靈活變形

例3(2016·全國卷Ⅲ文·18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.

(Ⅰ)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.

例4(2017·全國卷Ⅰ文·19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

(Ⅰ)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).

(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

≈-0.18，

由于|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.

剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

三、小結(jié)反思

1.教師要清楚考綱的要求

2018年版《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》的“考核目標(biāo)與要求”中對能力的要求有七點(diǎn)，包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.其中“數(shù)據(jù)處理能力”是指：會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷.選擇合適的統(tǒng)計方法整理數(shù)據(jù)，并構(gòu)建模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論.“運(yùn)算求解能力”是指：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形、和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算.運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.

教師只有在吃透考綱的前提下，才能做到有的放矢，高三的復(fù)習(xí)才有針對性，要結(jié)合考綱的要求，進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，才可能提高復(fù)習(xí)的有效性.

2.教學(xué)建議