高中數學核心素養研究之數學建模

湖北 項 欣 王衛華

數學核心素養是數學課程的基本理念和總體目標的體現，可以有效地指導數學教學實踐.《普通高中數學課程標準(實驗)》修訂稿提出了數學學科的六種核心素養，即數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理、數學運算和數據分析.提升數學建模核心素養，要求數學教師在課堂教學中強化學生的建模意識，教師在教學中通過設置數學建?；顒?，培養學生的建模能力.

一.數學建模核心素養的定義及相關價值

從數學建模的內涵看，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.

從數學建模的學科價值看，數學建模素養是學生在數學建模活動中形成的，它集理解問題、提出問題、分析問題和解決問題于一身，是最具有綜合性的數學素養.數學模型素養搭建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式.數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.

從數學建模的教育價值看，通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯,學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗,認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神.

二.數學建模核心素養的學業質量水平劃分

每一個數學學科核心素養劃分為三個水平，每一個水平是通過數學學科核心素養的具體表現和體現數學學科核心素養的情境與問題，知識與技能，思維與表達，交流與反思四個方面進行表述.數學建模的三個水平表述如表：

水平一是高中畢業應當達到的要求，也是高中畢業的數學學業水平考試的命題依據；水平二是高考的要求，也是數學高考的命題依據；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內容對數學學科核心素養的達成提出的要求，可以作為大學自主招生的參考.

三、數學建模的特點

數學模型是由數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、圖形或算法.也就是說，數學模型就是通過抽象和簡化，把某一特定的問題或者具體事物的某種具體特征和內在聯系使用數學語言、數學方法表達出來并將問題解決.作為反映實際問題的數學模型，具有逼真性和可行性，抽象性和轉移性，多樣性和優化性.

1.逼真性和可行性

通常情況下，作為解決現實問題的數學模型，要求越是逼真越好，但越逼真的數學模型，在數學處理上越復雜，需要考慮的因素就越多，甚至需要跨多學科建模，不易達到解決問題的目的.在高中數學建模時，可以適時簡化考查因素，設置建模預期目標，只要能達到預期目標就是可行的.比如在解決貸款買房的問題時，我們在高中階段要忽略通貨膨脹的因素等.

2.抽象性和轉移性

數學模型就是通過抽象和簡化，把某一特定的問題或者具體事物的某種具體特征和內在聯系使用數學語言、數學方法表達出來并將問題給予解決.對于某一特定問題建立的數學模型可以轉移到其他適當的領域使用.比如解決了貸款買房的問題，我們也可以用相同的模型解決退耕還林的問題.

3.多樣性和優化性

數學建模建立的數學模型，隨著時間的變化，以前建立的模型的諸多因素將發生變化，不可能總用現成的數學模型去解決問題，要認識到數學建模的多樣性，對同一問題的數學模型需要不斷優化.

四.數學建模素養的具體體現及案例

數學建模是將實際問題中的因素進行簡化，抽象變成數學中的參數和變量，運用數學理論進行求解和驗證，并確定最終是否能夠用于解決問題的多次循環.數學建模能力包括轉化能力、數學知識應用能力、創造能力和溝通與合作能力.數學建模主要表現為：發現和提出問題、建立和求解模型、檢驗和完善模型、分析和解決問題.

高中數學建模的主要知識載體：平面向量及應用、復數、概率、數列、一元函數導數及應用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何、計數原理.

從現行的高中數學教材，筆者找到了以下幾個例子，可以從現實生活中的實際問題切入，培養數學建模的思想，并開展活動.

1.函數最值的研究

可以由現實生活中的面積、體積的最值、用料最省、費用最低等問題引入，發現和提出問題，引導出函數模型，提出函數單調性的概念及性質等知識，最終幫助解決最值問題.在教學中，還可以穿插強調函數圖象的教學，增強數形結合的意識，最后提出投資方案的選擇問題(必修一3.2函數模型及其應用)，建立一次函數、二次函數、指數函數等模型，直觀用函數知識解決實際問題，做到能多次循環解決同類型的問題.

2.三角函數的應用(解三角形)

可以由現實生活中的測量問題、足球射門角度問題、觀察的最大視角問題、緝私船的追擊方向問題等，引入對三角函數的應用，建立相關解三角形數學模型(什么情況下用正弦定理，什么情況下用余弦定理).

3.數列的實際應用

可以由現實生活中的房貸分期還款、存款利息、利潤增長等問題引入用數列的相關知識建立數學模型.

4.概率統計的應用

5.立體幾何的應用

可以由現實生活中的體積、面積、長度測量與極值問題、幾何體的最佳設計等問題引入用立體幾何的相關知識建立數學模型.

6.解析幾何的應用

可以由現實生活中的拱橋及衛星軌道的設計問題、投擲項目的最遠距離問題、簡單的線性規劃問題等引入用解析幾何的相關知識建立數學模型.

五.2018年高考試題中數學建模素養的案例分析

例1.(2018全國卷Ⅰ理·20題)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p(0

(Ⅰ)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；

(Ⅱ)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(ⅰ)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，p=0.1.

本次會議還對優秀品牌、優秀產品進行了表彰。品牌類：美菱榮獲2018年中國電冰箱行業保鮮領導品牌；美的榮獲2018年中國電冰箱行業智能領軍品牌；海爾榮獲2018年中國電冰箱行業科技領袖品牌；TCL榮獲2018年中國電冰箱行業智慧健康創新品牌。產品類：奧馬纖薄系列冰箱榮獲2018年中國電冰箱行業完美嵌入時尚先鋒。

(ⅰ)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知，Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ⅱ)如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400，故應該對余下的產品作檢驗.

案例評析：本題以產品檢測質量的現實應用問題為切入口，考查了獨立事件、二項分布等概念，同時考查了利用導數知識求解最值的跨章節知識點.通過對隨機變量期望考查學生的數據處理能力，更考查實際問題化歸為數學問題的數學建模思想.

例2.(2018全國卷Ⅱ理·18題)如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

(Ⅱ)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

解：(Ⅰ)利用模型①，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

利用模型②，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

(Ⅱ)利用模型②得到的預測值更可靠.

(ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預測值更可靠.

案例評析：數學建模本質上就是一個解決問題的過程.本題以實際問題環境基礎設施投資額為切入口，考查學生選取適當的數據，利用函數擬合的方法進行預測，并根據實際背景對結果進行預測的解決問題的能力.建立函數模型解決實際問題的數學建模素養得以充分呈現.

例3.(2018全國卷Ⅲ理·18題)某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產方式第二種生產方式86556899762701223456689877654332814452110090

(Ⅰ)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；

(Ⅱ)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表；

超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式

(Ⅲ)根據(Ⅱ)中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

(Ⅰ)第二種生產方式的效率更高.

理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.

(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.

(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產方式的效率更高.

(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少，因此第二種生產方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

列聯表如下：

超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515