圓都去哪兒了
——不同視角下命制“隱圓”

江蘇 曾小娟 張朋舉

圓是高中數學的主干知識，在高考中占據著重要的地位.縱觀近幾年的江蘇高考試題，可以看出，關于圓的相關問題，無論填空題或解答題，解決的方法都離不開軌跡思想，要有從運動的觀點看問題的能力.因此，圓成為試題背景中常常涉及的知識點，并深受各類?？济}專家的青睞，在江蘇各大市的高三模考題中屢見不鮮.以下筆者結合近幾年江蘇各大市高三?？碱}，談談命制試題中隱藏圓的幾種不同視角.

一、利用圓的定義

中學數學的教科書中是這樣定義圓的：平面內到定點的距離等于定長的軌跡叫做圓.因此，很多命題專家經常圍繞圓定義中的“定點”和“定長”這兩個關鍵詞不同表征的呈現，將圓的定義隱藏在已知條件里，“萬變不離其宗”的來命制試題.

例1.如果圓 (x-a)2+(y-a+2)2=1上恰有兩個點到(0，1)的距離為 2，則實數a的取值范圍是________.

解決現狀：筆者通過批閱自己執教班級學生的解答情況，發現部分學生沒能想到圓的定義，將問題轉化為兩圓的位置關系，而是研究兩個方程x2+(y-1)2=4和(x-a)2+(y-a+2)2=1有兩組解時實數a的取值范圍，使運算變得復雜,雖然最終也能算出來結果，但這種運算顯然沒能觸及問題本質.

試題命制：已知圓O：x2+y2=1，圓M：(x-a)2+(y-a+4)2=1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為________．

二、利用直角

直徑所對的圓周角是直角，這是圓周角很好的一個性質，因此，很多命題專家在命制試題時，在題目中經常隱晦地出現動點和兩個定點構成“直角”來隱藏圓.

例2.在平面直角坐標系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的最大值為________.

試題命制：在平面直角坐標系xOy中,已知點P(-1，0)，點Q(2，1)，直線l:ax+by+c=0,其中a，b，c成等差數列，點P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是________.

三、利用PA=λPB(λ>0)

試題命制：在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上. 若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

四、利用定長弦的中點

一個定圓內長度一定的弦的中點的軌跡是一個圓，這是大家熟知的結論.因此，很多時候高考命題專家們充分利用這一結論來隱藏圓，命制試題.

五、利用

六、利用PA2+PB2=λ(λ>0)

解決現狀：大部分同學對上面的“平方圓”結論陌生，且通過建立坐標系，用“坐標”將條件轉化為變量間的數量關系的意識淡薄，因此，沒能發現動點D的軌跡，導致題目越算越繁，計算出錯；當然，也有少數同學通過建系得到了動點D的軌跡方程，然后利用三角換元也得到了正確答案.

試題命制：在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1，點A(0,2),若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2=10,則實數a的取值范圍是________.

本題和例6相比，雖然思維容量變小了，但實質不變；只要學生了解“平方圓”，由MA2+MO2=10易得動點M的軌跡方程為圓，進而將問題轉化為已知圓C和求出的動點M的軌跡圓有交點的問題，得到a∈[0,3].