一道解三角形試題的探究與賞析

廣東 楊偉達

一、試題呈現

考點分析：本題以三角形為背景，以正余弦定理、三角恒等變換、最值為載體，在正余弦定理、三角函數、不等式等基礎知識的交匯處精心設計，本題考查了學生邏輯推理能力、轉化與化歸能力、運算求解能力.試題背景熟悉，條件簡單清晰，表述簡潔，對數學知識、思想方法能有效地考查，能較好地甄別學生的數學思維水平和數學潛能，是一道看似平淡無奇，實則內涵豐富的好題.

二、思路探究及解答過程

1.題目已知條件是什么？結論是什么？未知量是什么？嘗試用自己的語言表述.

本題已知條件涉及△ABC邊BC的高，題設目標求最大值，涉及熟悉的基本不等式結構.

2.思維障礙

本題看似熟悉但又陌生，不少學生看到基本不等式結構就秒殺，其結果是錯誤的，因為它不是求最小值，而是求最大值，且題目條件僅涉及三角形的高，需要挖掘三角形的隱含條件，不少學生沒見過此類題型，一時無從下手，只能望題興嘆.

3.常見相關類型題目及解題思路

有關三角形為背景的題型通常用正余弦定理、三角恒等變換處理，最終回歸到函數或三角函數形式處理最值.

解法一(正余弦定理+輔助角公式)

在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA, ④

由③④得b2+c2=4bcsin(A+30°),

點評：從三角形的面積公式出發，利用正余弦定理、三角恒等變換、輔助角公式，最后利用三角函數的有界性求解. 這種解題過程思路清晰、自然，運算簡單，方便求解.

解法二(函數法)

在△ABC中a2=b2(1+x2)-2b2xcosA， ①

①④聯立化簡得x2-4sin(A+30°)x+1=0，

不妨令sin(A+30°)=t，

點評：此題轉化為對勾函數求最大值時，關鍵在于求自變量的取值范圍，所以必須充分挖掘三角形的隱含條件，結合正余弦定理及三角形面積公式轉化為一元二次方程，利用三角函數、導數等知識即可求解.此方法思路雖然簡單、自然，但解答過程繁雜，運算量大，不宜提倡.

解法三(坐標法)

如圖不妨令a=6，

以BC連線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，

因為b,c>0，

點評：從點的坐標出發，結合兩點間距離公式，原式轉化為函數關系式，變形后利用基本不等式可將問題解決. 經比較發現，選擇B，C為定點，A為動點，以BC連線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系對解題起到方便、快捷的效果.

三、解題后反思

1.絲絲困惑，一一拆解

【困惑1】滿足A=60°的△ABC有幾個？

所以像這樣滿足A=60°的三角形ABC存在2個.

【困惑2】如何求解A的取值范圍？

從解法一化簡結果4sin(A+30°)分析可知，

在△ABC中，0°

所以30°

由此，△ABC不存在最小值.經檢查發現，上述情形是錯誤的.原因是△ABC中沒有考慮角A的取值范圍.那么角A的最大角度是多少？如圖，當△ABC為等腰三角形時，D為BC的中點，此時角A最大.

所以B=C=30°，A=120°，

所以0°

2.等價轉化，尋找最佳解法

筆者細心研究發現，原題與2016年高考數學江蘇卷第14題的已知條件是等價的，所以原題可轉化為：

3.小題快做，提高增分意識