全國卷Ⅰ三角函數相關考點探究

湖北 廖慶偉

三角函數是高中數學中非常重要的組成部分，此部分知識是對前面函數知識的延伸，也是對三角形知識的拓展，屬于高考中的熱點.因此在學習及備考中，要抓住三角函數的本質，把握好三角恒等變換的方向，進而提高三角函數復習的備考質量.

近三年全國卷Ⅰ中三角函數及解三角形回顧：

從知識點上看：三角函數的定義、誘導公式、同角三角函數間的關系、三角恒等變換、三角函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、最值等)、三角函數的圖象變換、正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式均有考查.

從題型上看：文科一般考查三個小題，分值15分；理科一般考查一大一小，分值17分，題目形式靈活多樣.

從難度上看：三角函數與解三角形是高考考查的重點，高考題中逐漸拋棄了對復雜的三角恒變換和特殊技巧的考查，重點轉移到利用三角函數公式進行恒等變換、三角函數的性質與圖象變換等方面.重視對基礎知識、基本技能的考查，屬中等題或容易題.

【考點焦聚一】三角函數定義

知識點：直線的斜率、三角函數的概念與性質、二倍角的余弦公式.

解題路徑：首先根據兩點都在角的終邊上，得到a，b的關系式，利用倍角公式以及余弦函數的定義式，求得a2，從而得到|a|，再結合a，b的關系，從而得到a-b的值，進而確定選項.

易錯點：記錯二倍角的余弦公式、三角函數的定義公式.

【考點焦聚二】三角函數的最值

例2.(2018·全國卷Ⅰ文·8)已知函數fx=2cos2x-sin2x+2，則( )

A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4

知識點：三角函數的性質

解題路徑：首先利用二倍角公式，對函數解析式進行化簡，應用余弦函數的性質得到相關的量，從而得到正確選項.

易錯點：該題考查的是用二倍角的余弦公式化簡三角函數解析式，并且通過余弦函數的相關性質得到函數的性質，在解題的過程中，要注意應用倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.

【考點焦聚三】三角函數的圖象與性質

A.11 B.9 C.7 D.5

知識點：正弦函數的圖象與性質、函數的零點.

解題路徑：根據已知條件求ω的范圍，討論當ω=11、ω=9時是否滿足條件，確定正確選項.

所以ω的最大值為9，故選B.

易錯點：判斷函數f(x)的周期出錯，注意fx=Asinωx+φA≠0,ω≠0的單調區間長度是半個周期；若fx=Asinωx+φA≠0,ω≠0的圖象關于直線x=x0對稱,則fx0=A或fx0=-A.

知識點：三角函數的圖象與性質.

解題路徑：先判斷函數的奇偶性，再取x=π，x=1代入解析式驗證，從而確定正確的選項.

當x=π時，y=0，故排除D；

故選C.

易錯點：看圖不仔細、不能靈活利用估算法求解數學問題.

【考點焦聚四】三角恒等變換

知識點：同角三角函數關系、兩角差的余弦公式.

解題路徑：由同角三角函數間的關系求出cosα，sinα，再根據兩角差的余弦公式及特殊角的三角函數值求結論.

解析：由tanα=2得sinα=2cosα，

易錯點：記錯兩角差的余弦公式和特殊角的三角函數值的符號.

【考點焦聚五】正弦定理

知識點：三角形內角和定理、兩角和的正弦公式、正弦定理.

解題路徑：由三角形內角和定理、兩角和的正弦公式求角A，再由正弦定理求sinC，根據三角形的性質確定角C的大小.

解析：由題知sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0，

所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，

因為c

易錯點：記錯三角函數公式、忽視三角形中大邊對大角.

【考點焦聚六】余弦定理

知識點：余弦定理.

解題路徑：由余弦定理求結論.

易錯點：根據余弦定理整理出關于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因.

【考點焦聚七】解三角形

例8.(2018年·全國卷Ⅰ文·16)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為________.

知識點：解三角形、三角形的面積.

解題路徑：首先利用正弦定理及題中的式子化簡求得sinA，利用余弦定理，結合題中的條件，可以得到A為銳角，從而求得cosA，進一步求得bc，利用三角形面積公式求得結果.

解析：根據題意，結合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，因為sinB≠0，sinC≠0，

因為b2+c2-a2=8，所以2bccosA=8，

易錯點：忽視隱含條件判斷角A為銳角.

例9.(2018·全國卷Ⅰ理·17)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(Ⅰ)求cos∠ADB；

知識點：正弦定理、余弦定理、同角三角函數關系.

解題路徑：(Ⅰ)根據正弦定理、題設條件，求得sin∠ADB，結合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得cos∠ADB；(Ⅱ)根據題設條件以及第一問的結論可以求得cos∠BDC，sin∠ADB，之后在△BCD中，用余弦定理得到BC所滿足的關系，從而求得結果.

由題設知，∠ADB<90°，

所以BC=5.

易錯點：不能根據題目條件靈活運用正弦定理、余弦定理，對角∠ADB的范圍判斷出錯.