巧妙處理力學中的無窮網絡

周啟勇

(深圳中學，廣東 深圳 518000)

物理競賽中無窮網絡更多的是在電路中應用,特別是無窮網絡等效電阻的計算.求解此類問題的基本思路與技巧,就是要深刻地理解“無窮”的含義,弄清楚“無限”與“有限”這對矛盾,巧妙地創設條件,使無限向有限轉化.

如圖1所示的電路為開端型半無窮梯形網絡,由于它是半無窮網絡,所以a、b間的等效電阻與去掉一個格子后的電阻是相等的,即

圖1

力學中也有類似的問題,我們通過以下例題講解力學中的無窮網絡的巧妙處理.

圖2

圖3

圖4

解析:如果只有少數幾個,比如3個圓盤串聯,我們常用牛頓運動定律和轉動定律求解,如圖4,由牛頓第二定律

mg+T2-T1=ma1,

mg+T3-T2=ma2,

mg-T3=ma3.

通過圓盤軸心的轉動,應用轉動定律

角加速度和線加速度的關系為

由以上3式可得

4a1-a2=2g,

-a1+4a2-a3=2g,

-a2+3a3=2g.

解之得到

但對無限多個圓盤,我們無法列無數個方程并求解,那我們如何處理呢?我們可設系統包含N個串聯圓盤,再去找通用方程,具體解法如下.

圖5

設系統包含N個串聯圓盤,如圖5所示,從上向下對圓盤編上號碼.第k號圓盤受到第k根線向上拉力Tk、向下重力mg以及第(k+1)線向下拉力Tk+1.列出第k個圓盤動力學方程

mg+Tk+1-Tk=mak，

(1)

式中ak為圓盤質心加速度在運動方向上加速度分量,對于任何圓盤都適用.因為第(N+1)號線根本就不存在,所以TN+1=0.由此可見,對于k=1～N,我們列出N個方程式,這N個方程中含有2N個未知量(ak,Tk).

而對第k個圓盤又有

ak=Rβk+ak-1,

k=1～N.

從這方程式中取k和k+1表示拉力方程,代入(1)方程式,最后得到

-ak-1+4ak-ak+1=2g(k=1～N).

(2)

在這方程組中應該認為a0=0,因為這是第一個圓盤懸掛點的加速度.沒有第(N+1)根線,TN+1=0,所以aN+1=aN.

我們根據(2)式以展開形式,列出對于3個圓盤情況下的方程組

4a1-a2=2g,

-a1+4a2-a3=2g,

-a2+3a3=2g.

(3)

此方程組與前面分開列是一樣的,解之得到

注意,在N為任意有限值的情況下,方程式(2)均可以解答,其實它對于即使N→∞情況也是正確的.

假設第一個圓盤的加速度等于

a1=cg，

(4)

式中c是某一常數,現在過渡到以加速度a1運動的坐標系中,在此加速坐標系里描述所有圓盤的運動.從第2個圓盤開始,這與原來的問題相似,類似無窮網絡的等效電阻,區別只是在等效重力加速度為g′的引力場中進行運動

g′=g-a1=g(1-c).

若去掉第1個圓盤,因為N→∞,圓盤依然是無窮多,自然認為上邊(第2個)圓盤的加速度等于a′=cg′.

因而,在靜止參考系里第2個圓盤的加速度等于

a2=a′+a1=cg′+cg=c(g′+g)=

cg(2-c).

(5)

將表示a1和a2的(4)和(5)式代入方程組(3)第一個方程中,并求出c.

我們可分析出在不同情況下,第1個圓盤的加速度分別是

圖6

例2.如圖6,有質量的圓柱體(質量為M)和無質量的平板組成的無限結構,柱板之間無滑動即純滾動,整體放在水平桌面上,現給最下面的底板—水平加速度a.試求最底端圓柱加速度.

圖7

解析:同一行中的兩個圓柱體以相同的方式移動,因此我們可以簡單地將它們視為具有質量m=2M的一個圓柱體.如圖7,標記板施加在圓柱體上的力.其中,F是來自圓柱體下方平板的力,G是來自其上方木板水平方向的力.

由牛頓第二定律,因為板是無質量的,從而有

Fn+1=Gn.

我們的 (求解) 策略是根據其下方圓柱體的加速度,來求解每個圓柱體的質心加速度和角加速度.由于要求解兩個量,我們需要獲得兩個與加速度相關的方程.一個方程來自F=ma,τ=Iβ和牛頓第三定律的組合,另一個方程由純滾條件給出.

根據圖7中,給出的a的方向為正方向,第n個圓柱體的牛頓第二定律和轉動定律分別得

Fn-Gn=man.

(1)

(2)

求解這兩個關于Fn、Gn的方程得(3)，(4).

(3)

(4)

而我們有Fn+1=Gn,從而可得(5)式.

(5)

利用圓柱體相對板無滑動的條件,第n個圓柱體上方板的加速度用圓柱體的加速度和角加速度表示為an-Rβn,但這塊板也可以看成是第n+1個圓柱體下方的板,于是

an+1+Rβn+1=an-Rβn.

(6)

(5)、(6)式為an+1、βn+1關于an、βn的兩個方程,可以化為(7) 式,

an+1=-3an+2Rβn,

Rβn+1=4an-3Rβn.

(7)

又有an+2=-3an+1+2Rβn+1.

消去Rβn+1和Rβn得

化簡得

an+2+6an+1+an=0.

(8)

因為這個系統是線性的,即第1個圓柱的加速度正比于最底下板子的加速度.設比例系數為c,即a1=ca.由于這是一個無窮網絡,如果遮掉第1個圓柱和底板不看,把第一個圓柱上方的板視為底板,則這塊“底板”的上方也是一個一模一樣的無窮系統,與之前的系統有相同的性質.所以,這塊“底板”上方的圓柱的加速度a2和“底板”的加速度a′,也有相同的比例系數c,即a2=ca′.重復這個分析過程可知,所有圓柱的加速度,和其下方板加速度的比例系數都為c.另一方面,板子的加速度之間也是成正比的(因為這個系統是線性的).所以圓柱的加速度之間也是成正比的,比例系數設為λ,即a2=λa1,a3=λa2,a4=λa3……

又由(8)式,得

(λ2+6λ+1)an=0.

(9)

注意到 |λ2|>1,則當n趨于∞時,λn會趨于∞.這不符合能量守恒,應舍去.

注:無窮網絡因為無窮,無法每一個對象都列方程求解,但我們可以找到類似的關系,使無窮變與有限.常用的方法有極限法、遞推法、類比法等方法求解.