“橢圓極限模型”在直線運(yùn)動(dòng)中的妙用

徐華兵

(浙江省金華第一中學(xué),浙江 金華 321015)

通常研究的物體的運(yùn)動(dòng)往往都在地球表面或表面附近,物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與地心的距離變化遠(yuǎn)小于地球半徑,所以一般可認(rèn)為物體所受地球引力是不變的,物體做勻變速運(yùn)動(dòng)．但是當(dāng)物體在萬(wàn)有引力作用下做長(zhǎng)距離的一維直線運(yùn)動(dòng)時(shí),物體所受地球引力要發(fā)生變化,此時(shí),就要考慮物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度變化．

求解這類萬(wàn)有引力作用下做長(zhǎng)距離的一維直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題的一般方法是先建立一個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程,然后對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分,且要用到一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)成的積分公式,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了中學(xué)生的能力．此時(shí),若用“橢圓極限模型”來(lái)等效此變加速直線運(yùn)動(dòng),會(huì)巧妙求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

基礎(chǔ)模型:空間中相距為L(zhǎng)(L較大)的A、B兩質(zhì)點(diǎn)(如圖1),A為固定質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量為M;B質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,B質(zhì)點(diǎn)在A質(zhì)點(diǎn)萬(wàn)有引力作用下向著A質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．求:經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩質(zhì)點(diǎn)相遇．

圖2

例1.赫菲斯托斯是希臘神話中的冶煉之神,剛出生的時(shí)候很丑而且還是個(gè)瘸子,如圖3所示．他的母親赫拉怕被其他神笑話就把他從奧林匹斯山上扔了下去,經(jīng)過(guò)整整一天,赫菲斯托斯才落到海里．假設(shè)赫菲斯托斯運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力可忽略不計(jì),試估算奧林匹斯山的高度．

圖4 等效橢圓軌道

赫菲斯托斯僅在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng),可設(shè)想有一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓軌道,它的一個(gè)焦點(diǎn)在地心,其近地點(diǎn)為A,遠(yuǎn)地點(diǎn)為赫菲斯托斯開(kāi)始下落的B點(diǎn),此橢圓越扁,其兩側(cè)軌道就越向赫菲斯托斯下落的實(shí)際軌道靠攏,如圖4所示．在極限情況下,可認(rèn)為兩者重合,赫菲斯托斯做直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就等于在橢圓軌道上相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．此時(shí),此極限橢圓的焦點(diǎn)非常接近于A點(diǎn),赫菲斯托斯下落的距離就近似為橢圓的長(zhǎng)軸．

變式:假設(shè)宇宙空間中的一個(gè)慣性系中,有兩顆相距為d,質(zhì)量分別為M和m的靜止不動(dòng)的星球,在它們之間萬(wàn)有引力作用下,開(kāi)始相向運(yùn)動(dòng)．求:兩星球自靜止起,至相碰時(shí)止,共經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間?設(shè)兩星球半徑遠(yuǎn)比相互間距離小．

圖5 兩星球與質(zhì)心位置關(guān)系

質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下做長(zhǎng)距離的直線運(yùn)動(dòng)時(shí),加速度不斷發(fā)生變化,不能直接運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間．此時(shí),可以將此直線運(yùn)動(dòng)用“橢圓極限模型”來(lái)等效．質(zhì)點(diǎn)長(zhǎng)距離一維直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于在原萬(wàn)有引力作用下橢圓運(yùn)動(dòng)周期的一半．進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),質(zhì)點(diǎn)在它們之間距離平方反比力作用下的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題都可以用上述“橢圓極限模型”來(lái)等效求解．