思路不同 用時迥異

馬 輝 王金聚

(1. 江蘇省豐縣中學,江蘇 豐縣 221700; 2. 浙江省溫州中學，浙江 溫州 325000)

在求解物理問題時,針對同一道題目,不同的人往往會有不同的思路,不同的思路會產生不同的解法,雖然最終殊途同歸,都能求得正確的結果,但不同解法所花費的時間成本往往會有較大的差異.今以高考試題為例,來剖析造成這一時間差別的具體原因.

1 公式法、圖像法用時不同

解題時我們最慣常使用的就是公式法,雖然它很常用,但對某一具體問題而言,不一定就是最快、最好的選擇.而圖像作為一種特殊的數學語言,更能精準展現清晰的物理過程,物理圖像中的面積、斜率、截距、交點、最高的、最低點等往往都蘊含著特殊的物理意義,對應著某些特定的物理量或物體的狀態,靈活運用圖像解題往往能快速、準確地求得結果.

圖1

例1.(2018年浙江選考卷第4題)一輛汽車沿平直道路行駛,其v-t圖像如圖1所示.在t=0到t=40s這段時間內,汽車的位移是

(A) 0. (B) 30 m.

(C) 750 m. (D) 1200 m.

解法1.公式法.

解法2.圖像法.

2 常規解法、作圖法用時不同

將兩個力合成時,本來有兩種途徑:一是利用公式計算,二是利用平行四邊形定則去作圖求解．但現行教材中并沒有給出求合力的公式,而只是介紹了作圖法,這自然就說明了作圖法的地位及優越性.因為該法能將物理問題轉化為一個幾何問題,顯得直觀形象,便于定性分析,利用作出的圖形再結合數學上的幾何知識,又可以進行定量計算,這無疑給解題帶來了很大的方便.

圖2

例2.(2017年全國理綜Ⅰ卷第21題)如圖2,柔軟輕繩ON的一端O固定,其中間某點M拴一重物,用手拉住繩的另一端N,初始時,OM豎直且MN被拉直,OM與MN之間的夾角α(α>90°).現將重物向右上方緩慢拉起,并保持夾角α不變,在OM由豎直被拉到水平的過程中

(A)MN上的張力逐漸增大.

(B)MN上的張力先增大后減小.

(C)OM上的張力逐漸增大.

(D)OM上的張力先增大后減小.

解法1.利用正交分解法.

圖3

解法2.作圖法.

圖5

如圖5所示,初始時M球所受重力、拉力F1、張力T1圍成一矢量△MPF1,作出該三角形的外接圓⊙C,因為α角度不變,所以代表重力mg的邊MP的對角π-α也不變,由于同一圓弧所對的圓周角都相等,可知在拉動小球上升的過程中,代表拉力F矢量的箭頭頂點會沿外接圓的圓周逆時針方向移動,最終繩OM呈水平狀態,即繩OM上的張力T3與重力mg成90°角,此時代表拉力的F3恰處在圓的直徑的位置,所以該過程中拉力F是逐漸變大的;而OM上的張力大小從圖中的|mg|→T1→T2→T3,容易看出是先變大后變小的.故正確選項為(A)、(D).

點評: 可以看出,利用常規的正交分解法雖然可以做出,但卻建立了兩次傾斜的坐標系,考生很不適應.若以我們慣常使用的以水平、豎直方向為軸建立坐標系,求解會愈加復雜,用時無疑也會更長.

3 公式法、二級結論法用時不同

例3.(2018年浙江選考卷第13題)如圖6所示為某一游戲的局部簡化示意圖．D為彈射裝置,AB是長為21 m的水平軌道,傾斜直軌道BC固定在豎直放置的半徑為R=10 m的圓形支架上,B為圓形的最低點,軌道AB與BC平滑連接,且在同一豎直平面內.某次游戲中,無動力小車在彈射裝置D的作用下,以v0=10 m/s的速度滑上軌道AB,并恰好能沖到軌道BC的最高點.已知小車在軌道AB上受到的摩擦力為其重量的0.2倍,軌道BC光滑,則小車從A到C的運動時間是

圖6

(A) 5 s. (B) 4.8 s.

(C) 4.4 s. (D) 3 s.

解法1.公式法.

小車在水平軌道上時,由0.2mg=ma得加速度大小a=0.2g.設到達B點的速度為v,由v2=v02-2aL得v=4 m/s,由v=v0-a1t1得t1=3 s.

圖7

解法2.借助二級結論.

圖8

4 基本公式、導出公式用時不同

相當于導出公式而言,基本公式我們更熟悉一些,故在解決問題時我們更容易想到的也是利用基本公式.的確,有些問題利用基本公式確實能夠解決,但求解的過程往往臃冗繁雜、費力耗時.但若利用導出公式來解,反倒更加方便快捷,會收到意想不到的效果.

例4.(2011年安徽卷第16題)一物體做勻加速直線運動,通過一段位移Δx所用的時間為t1,緊接著通過下一段位移Δx所用的時間為t2,則物體運動的加速度為

解法1.基本公式法.

看到題述中的位移、時間為已知條件,我們自然很容易想到利用位移公式求解.

設物體的初速度為v0,則有

(1)

(2)

由(2)-(1)式得

(3)

由(1)、(3)式得

解法2.導出公式法

5 看問題的角度不同,用時不同

同一物理過程,不同的人可能會有不同的看法.譬如物塊沿粗糙的斜面下滑,有人從力和運動的角度去看待,也有人從能量轉化的角度去看待.前者會想到利用牛頓運動定律、運動學公式求解,后者則會利用動能定理、能量守恒定律、功能原理等加以解決.因解題的出發點不同,致解題的用時可能會有較大的差異.

圖9

例5.(2007年江蘇卷第19題)如圖9所示,一輕繩吊著粗細均勻的棒,棒下端離地面高H,上端套著一個細環.棒和環的質量均為m,相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k>1).斷開輕繩,棒和環自由下落.假設棒足夠長,與地面發生碰撞時,觸地時間極短,無動能損失.棒在整個運動過程中始終保持豎直,空氣阻力不計.求:

(1) 棒第1次與地面碰撞彈起上升過程中,環的加速度;

(2) 從斷開輕繩到棒與地面第2次碰撞的瞬間,棒運動的路程s;

(3) 從斷開輕繩到棒和環都靜止,摩擦力對環及棒做的總功W.

解析: (1) 由牛頓第二定律kmg-mg=ma環得a環=(k-1)g,方向豎直向上.

(3) 解法1.運動學公式法.

環相對棒的總位移x=x1+x2+…+xn+…

解法2.功能關系.

設環相對棒滑動距離為l,根據能量守恒有mgH+mg(H+l)=kmgl，

摩擦力對棒及環做的總功W=-kmgl.

可以看出,選擇不同的解法,用時各不相同,有的甚至還相去甚遠.要想在考場上迅速鎖定最簡單、快捷的解法,還要靠我們平時日積月累的訓練.解題時要做一個有心人,在做每一道題目時,要想想還有沒有其他解法?老師是怎樣解的?同學們又是怎樣解的?他們的解法和自己的有何不同?孰優孰劣?優勢在哪?這樣思考的多了,經歷的多了,功到自然成,到時候多種解法就會自然而然地從腦海里噴涌而出了.