分類討論在熱學解題中的應用

曹少平

(湖北枝江市第一高級中學,湖北 枝江 443200)

分類討論思想是中學物理解題中的一種重要思想方法,它一般是在原問題不能統一解決的情況下,將其分解成相互獨立的若干子問題來處理,最后綜合這些子問題的解答,得到對整個原問題的解答．分類討論思想在學生的思維、推理過程中起著重要的作用,它實際上是一種化整為零、分別對待、各個擊破的思維方式在物理解題中的體現．也就是說,如果被研究的問題包含多種情況,不能一概而論時,那么將確定的同一標準所研究的問題劃分成若干不同的情形,并把每一種情形毫無遺漏地劃分到某一類中去,再進一步討論每一種情形的特性,得出每類情形下相應的結論,即所謂的分類討論思想．分類討論思想在解析中學物理熱學題中有很多應用,下面結合實例談談分類討論思想的應用．

1 活塞或氣缸分“動”和“不動”兩種情況討論

圖1

例1.如圖1所示,長為2 L的圓筒狀氣缸可沿動摩擦因數為μ的水平地面滑動,在氣缸中央有一個橫截面積為S的活塞(氣缸與活塞之間的摩擦不計),氣缸中封閉的理想氣體溫度為T0,壓強等于外界大氣壓強P0.氣缸和活塞的總質量為m,在固定壁與活塞之間連有一勁度系數為k的輕彈簧(處于自然長度),現對氣體緩慢加熱(設氣缸與地面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力),求當氣體體積變為原來的2倍時的溫度．

解析：本題是熱學和力學的綜合題力學綜合題,仔細分析可以發現,摩擦因數大小不同,會出現不同的結果．當氣體受熱膨脹時氣缸始終靜止不動是一種情形;在膨脹過程中氣缸發生移動將得到另一種情形．下面分兩種情況討論．

(1) 在μmg>kL的情況下,氣缸始終處于靜止狀態．活塞平衡條件為kL=(p-p0)S.

據理想氣體狀態方程有

(2) 在μmg

活塞平衡條件為(p-p0)S=μmg.

階段2.氣缸發生移動后,設最終溫度為T,初始狀態壓強p1=p0,體積V1=LS,溫度為T1=T0

點評：本題的已知條件不明確,即氣缸是否發生移動不明確,要求學生在求解的過程中自已補充必要的條件,然后再針對補充的不同條件進行求解．且不同的補充條件對應不同的物理情景，會產生不同的計算結果．求解本題的關鍵要注意分析氣缸的運動過程,當溫度緩慢升高時,氣體的壓強逐漸增大,彈簧被壓縮,彈力逐漸增大.當彈簧的彈力與氣缸受到地面的最大靜摩擦力相等時,氣缸開始向左移動,氣體的壓強不變．這種試題對學生的能力要求更高,要求學生有較強的分析判斷能力、邏輯推理能力、物理表達能力以及創新能力．

圖2

針對訓練1：如圖2所示,水平放置的柱形氣缸內用活塞封閉一定質量的理想氣體,初始溫度t0=27 ℃,體積為V0=100 cm3,活塞面積為S=10 cm2．開始時容器內外壓強均為p0=1.0×105Pa,已知活塞與缸壁間的最大靜摩擦力為f=5.0 N,且等于滑動摩擦力.

(1) 若將溫度升高到t1=37 ℃時氣體的體積是多少?

(2)若將溫度升高到t2=127 ℃時氣體的體積是多少?

因為p1S

答案：(1) 100 cm3，(2) 127cm3.

2 細線分“松馳”和“張緊”兩種情況討論

圖3

解析：設加熱前,被密封氣體的壓強為p1,輕線的張力為F．因而活塞處在靜止狀態,對A活塞有

2poS-2pS+F=0.

(1)

對B活塞有

p1S-p0S-F=0.

(2)

由(1)、(2)式得

p1=p0.

(3)

F=0.

(4)

即被密封氣體的壓強與大氣壓強相等,細線處在拉直的松馳狀態．這時氣體的體積

V2=2SL+SL+SL=4LS.

(5)

對氣體加熱時,被密封氣體溫度緩慢升高,兩活塞一起向左緩慢移動．氣體體積增大,壓強保持p1不變,若持續加熱,此過程會一直持續到活塞向左移動的距離等于l為此,這時氣體體積

V2=4SL+SL=5SL.

(6)

設此時氣體的溫度為T2,由蓋-呂薩克定律V2∝T2有

(7)

由(3)、(6)、(7)式得

(8)

p2=p0.

(9)

當T>T2時,活塞已無法移動,被密封氣體的體積保持V2不變,氣體經歷一等容升壓過程．當氣體的溫度為T時,設其壓強為p,由查理定律p∝T,即有

(10)

由(8)～(10)式得

(11)

點評: 本題中對被密封的氣體加熱使其溫度緩慢上升到T,輕線是“松馳”還是“張緊”是不確定的,因此要分兩種情況討論．能較好考查科學推理、科學論證和質疑創新等核心素養．

圖4

針對訓練2:如圖4所示,兩端開口的氣缸水平固定,A、B是兩個厚度不計的活塞,可在氣缸內無摩擦地滑動,其面積分別為S1=20 cm2、S2=10 cm2,它們之間用一根細線連接,B通過水平細繩繞過光滑的定滑輪與質量為M=2 kg的重物C連接,靜止時氣缸中氣體的溫度T1=450 K,氣缸兩部分的氣柱長均為L,已知大氣壓強p0=1×105Pa,g取10 m/s2,缸內氣體可看作理想氣體.

(1) 求活塞靜止時氣缸內氣體的壓強;

(2) 若緩慢降低氣缸內氣體的溫度,求當活塞A、B間細線的張力剛好減為0時氣缸內氣體的溫度.

解析： (1) 對活塞A、B整體,根據平衡條件得p1S1+p0S2=p0S1+p1S2+Mg,解得p1=1.2×105Pa.

3 水銀分“溢出”和“不溢出”兩種情況討論

圖5

例3.如圖5所示,有一個直立的氣缸,氣缸底到氣缸口的距離為L0,用一厚度和質量不計的活塞封閉一定質量的理相想氣體,平衡時活塞上表面與氣缸口的距離很小(計算時可忽略不計),周圍大氣的壓強為H0水銀柱.現把盛有水銀的一個瓶子放在活塞上(瓶子的質量可忽略),平衡時活塞到氣缸底的距離為L.若不是把這瓶水銀放在活塞上,而是把瓶內水銀緩緩不斷地倒在活塞上方,這時活塞向下移,壓縮氣體,直到活塞不再下移.求此時活塞在氣缸內可能的位置以及與之相對應的條件(即題中給出量之間應滿足的關系).設氣體的溫度不變．

解析：設整瓶水銀放在活塞上后,使氣缸內氣體增加的壓強為h水銀柱,由玻意耳—馬略特定律

H0L0=(H0+h)L,

(1)

解得

(2)

h的大小反映了水銀質量的大小.

當水銀注入后,活塞不再下移時,設活塞上水銀的深度為ΔH,活塞下移的距離為Δx,則由玻意耳—馬略特定律得

H0L0=(H0+ΔH)(L0-Δx).

(3)

(4)

根據水銀量的多少可能發生兩種情況:

(1) 水銀比較少,瓶內水銀全部注入后,尚未灌滿或剛好灌滿活塞上方的氣缸,這時

ΔH=h,

(5)

ΔH≤Δx,

(6)

由(2)、(4)、(5)3式,得

Δx=L0-L,

(7)

活塞距氣缸底的距離

L′=L0-Δx=L,

(8)

由(4)、(6)、(7)3式,得

L≥H0,

(9)

即若L≥H0,則L′=L.

(2) 瓶內水銀比較多,當活塞上方的氣缸灌滿水銀時,瓶內還剩有一定量的水銀,這時

ΔH=Δx,

(10)

ΔH

(11)

由(4)、(10)2式,得

Δx=L0-H0,

(12)

活塞到氣缸底的距離

L′=L0-Δx=H0,

(13)

由(2)、(10)、(11)3式,得

L

(14)

即若L

圖6

點評：本題中由于水銀量的不同可能會出現兩種情況:一是水銀量較少,當水銀全部倒在活塞上方時沒有水銀溢出;二是水銀量較多,當水銀部分倒在活塞上方時就開始有水銀溢出．多數考生沒有注意“把盛有水銀的一個瓶子放在活塞上”與“把瓶內水銀緩緩不斷地倒在活塞上方”的區別,不能根據水銀量的多少分類討論而出錯．

針對訓練3：橫截面積為S=0.1 m2、高為H=1.0 m的豎直圓筒,其頂端裝有一光滑緊密配合的活塞,活塞的質量和厚度均略去不計,外界大氣壓強為p0=75 cmHg水銀柱高．現將水銀緩慢注入活塞上面,活塞逐漸下降,壓縮氣體,直到活塞不再下移.試求:(設氣體的溫度不變)

(1) 若水銀總體積V1=4.5×104cm3時,最終筒內空氣柱的高度h1；

(2) 若水銀總體積V2=1.5×104cm3時,最終筒內空氣柱的高度h2.

解析：(1) 假設注入水銀以后水銀剛好從圓筒頂部溢出時,筒內空氣柱的高度h0,則對于密封的氣體,初態V1=HS,p1=p0;末態:V2=h0S,p2=p0+(H-h0).

根據玻意耳定律可得p1V1=p2V2，

代入數據解得h0=75 cm.

其注入水銀量為V0=(H-h0)S=2.5×104cm3.

因為水銀總體積V1=4.5×104cm3>V0時,最終筒內空氣柱的高度h1=h0=75 cm.

(2) 因為水銀總體積V2=1.5×104cm3

根據玻意耳定律可得p1V1=p3V3.

代入數據解得h2=83.3 cm.

綜上所述,求解熱學中可能存在多種情況的試題,關鍵是要通過分析,正確的進行分類,且不重不漏．再根據問題分類找出相應的物理條件,然后根據條件針對不同的情況分別求解．