對一個水杯重心變化問題的定性分析

陳小明

(安徽省銅陵市第一中學,安徽 銅陵 244000)

物體的重心是物體各部分所受重力等效集中的點.高中物理在重心的教學時,注重對重心概念的理解,要求學生理解重心與質量分布和形狀有關,知道形狀規則的均勻物體的重心在幾何中心,不要求進行重心的定量計算.資料上經常出現這樣一類題.

例題.一個空心均勻球殼里面注滿水,球的正下方有一小孔,當水由小孔慢慢流出的過程中,空心球殼和水的共同重心將會

(A) 一直下降. (B) 一直上升.

(C) 先升高后降低. (D) 先降低后升高.

解析:開始時系統包含均勻球殼和內部的水,系統重心在球心位置.水剛流出時,水重心下降,系統重心先下降.最后水流完時,重心又回到球心.所以選項(D)正確.這種分析存在一個問題,初、末重心位置雖然相同,但中間過程會不會有反復的先減小后增大,無法從上面的分析中得出結論.有文章[1]通過定量計算分析出重心的變化規律,其中涉及到重心的公式、復雜函數的單調性以及求導確定重心最低位置,并且容器的形狀為橫截面積不隨高度變化,不然列重心的公式時難度增加.定量計算能看出重心的變化,但對數學運算能力有一定的要求,下面通過重心的概念來定性分析重心的變化.

為了方便討論,我們將往球殼里注水的過程看成是一層層的水鋪起來,每層水的質量依次為m1、m2……,每層水的重心在圓形水層平面的幾何中心.如圖1所示,開始時球殼的重心在x0處,當注入第一層水時,分別找出這層水和球殼的重心,水看成是集中在O1點的質量為m1的質點,球殼看成集中在x0處的質量為M的質點,此時系統的重心可定性判斷出在兩點之間設為x1位置.當注入第二層水時,這層水同樣看成是集中在O2點的質量為m2的質點,前面球殼和第一層水由前面分析可知,看成是集中在x1處的物體,故此時系統重心在x1和O2之間的位置設為x2.以此類推,只要每次注入的水層重心在前一次系統重心的下面,系統的重心就在下降,直到注入第i層水時系統重心xi在水面的位置.在此之后,當注入第i+1層水時,如圖2所示,這層水看成是集中在Oi+1點的質量為mi+1的質點,球殼和前面所有水看成是集中在xi處的物體,故此時系統重心在xi和Oi+1之間的位置設為xi+1,由于系統重心在Oi+1下方,故肯定在這層水面的下方,依次類推,以后每次注入的水都在前次系統重心的上方,故而重心是逐漸上升的.最后水注滿時,很容易判斷出系統重心在x0處.綜合整個分析過程,可以得出結論,開始注入水時,系統重心逐漸下降,當系統重心在液面位置時重心位置最低,再注入水時,系統重心逐漸上升,最后回到初始的位置.

圖1 重心下降

這種方法相比只分析初、末狀態的方法而言,能看出單調性的詳情.相比于定量計算,可以避免形狀的影響以及數學運算的處理,能讓學生清楚認識重心的概念.