變步長頻率加權能量算子在軸承故障診斷中的應用

劉澤潮， 林建輝， 丁建明, 吳文逸

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室， 成都 610031)

軸承是列車走行部中的關鍵部件，它的運行狀態與列車的運行安全息息相關。軸承的狀態監測可以采用溫度、聲學、振動等多種方式檢測方式。然而，軸承溫度的檢測具有滯后性，而聲學檢測易受環境噪聲干擾。所以，基于振動的故障診斷方法被廣泛應用于軸承的狀態監測[1]。

當軸承發生磨損、疲勞剝落、劃痕等故障時，軸承會產生周期性沖擊。這些周期性沖擊會激起機械系統的高頻振蕩，通過對高頻振蕩信號的解調可以實現故障早期微弱特征的提取。基于希爾伯特變換的包絡解調是一種常用的解調算法，通過分析其頻譜從而可以實現故障的診斷與識別[2]。然而，希爾伯特變換存在它的局限性：一是容易受到其他頻率的干擾；二是在計算瞬時能量時，其只保留了瞬時幅值，而忽略了瞬時頻率的影響[3-5]。所以，為了更好的提取沖擊的周期成分，Teager-Kasier 能量算子(TEO)被用于進行信號的解調。Teager算子解調相較于包絡解調具有更好的抗干擾特性[6-10]。但是，Teager算子作為一種能量算子不應當存在無意義的負值，所以John提出了一種類似的算子，頻率加權能量算子(FWEO)[11]。相比較于Teager算子解調，FWEO算子解調具有更強的抗干擾特性。FWEO算子通過計算信號導數的包絡來實現信號的解調。對于離散信號，在計算導數時包括多種差分方式：前向差分方式、后向差分方式和中間差分方式。FWEO算子使用了中間差分方式。但是研究發現，當解調信號的中心頻率較低時，其相鄰采樣點的數值相近。這就導致FWEO幅值較小，所以故障信息被噪聲所淹沒。

所以，提出改進的變步長頻率加權能量算子(VFWEO)，該算法不僅具有FWEO算子優越的抗干擾特性，同時改善了其在中心頻率較低時解調魯棒性差的缺點。通過研究發現，改變步長參數可以實現針對不同共振頻帶的解調。同時，本文給出了針對不同共振頻帶中心步長參數的計算公式。通過仿真信號與實測信號表明，該解調算法可以有效的提取不同共振頻帶中心的特征頻率信息，實現軸承的早期故障檢測與診斷。

1 能量算子

1.1 Teager-Kasier 能量算子

Teager能量算子通常用于計算信號的瞬時能量，它克服了希爾伯特變換在計算瞬時能量時只考慮瞬時幅值而忽略瞬時頻率的缺點。其表達式為：

(1)

根據研究，震蕩物體的信號為調幅-調頻信號[11]，它的表達式為：

x(t)=Acos(ωt+φ)

(2)

式中：A為幅值；ω為震蕩的固有頻率；φ為初始相位。

(3)

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)可得式(5)：

(5)

式(1)的離散形式為：

ψ[x(n)]=[x(n)]2-x(n+1)x(n-1)

(6)

1.2 頻率加權能量算子

因為包絡解調與Teager算子解調容易受到干擾信號的影響，所以提出了頻率加權能量算子。頻率加權能量算子通過計算信號導數的包絡來計算調制信號的瞬時能量,實現解調。頻率加權能量算子的表達式為：

(7)

式中：S[·]表示包絡；H[·]表示希爾伯特變換；Γ[x(t)]為頻率加權能量算子。

根據式(2)則

(8)

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)可得

Γ[x(t)]=(-Aωsin(ωt+φ))2+

(Aωcos(ωt+φ))2=A2ω2

(10)

因此，表明頻率加權能量算子在計算瞬時能量時具有同Teager算子相似的性質。

對比式(1)與式(7)，Teager能量算子與頻率加權能量算子的區別主要是在第二部分。為了對比第二部分在解調時對頻譜的影響，分別計算第二部分對應的傅里葉譜：

*X(ω)

(11)

(12)

式中：F[·]表示傅里葉變換；X(ω)表示x(t)的傅里葉譜；*表示卷積操作。

為了得到頻率加權能量算子的離散形式，在計算導數時，使用了中點平均差分方式：

(13)

(14)

2 變步長頻率加權能量算子

2.1 基本原理

因此為了克服FWEO的缺點，在頻率加權能量算子的基礎上提出了變步長頻率加權能量算子(VFWEO)，使用變步長差分公式代替中間差分公式。變步長差分表達式為

(15)

(16)

式中：l為步長參數。

則VFWEO可以表示為：

h(n+l)h(n-l)]

(17)

因此，可以看出步長參數l的取值對VFWEO解調效果的影響至關重要。通過調節步長參數，使得公式(15)的取值變大，此時VFWEO的解調效果更好。

2.2 步長參數計算

如式(17)所示，步長參數l對VFWEO算子的解調效果具有重要影響。通過調節步長參數，可以使得VFWEO針對不同中心頻率的故障沖擊信號都可以得到較好的解調效果。因此，步長參數與中心頻率的關系對保證VFWEO的解調效果至關重要。

式(2)的離散形式如下所示：

x(n)=Acos(ωn+φ)

(18)

式中：A為幅值，ω=2πfC/fS為角頻率，其中fC為調制信號的中心頻率，fS為采樣頻率，φ為初始相位。

因為頻率加權算子的核心是計算導數的包絡，所以在保證信號的導數幅值最大時就可以保證更好的解調效果。

將式(18)代入式(15)，可以得到式(19)：

(19)

(20)

所以，當步長參數l與中心頻率fc滿足式(20)的關系式時，VFWEO的解調效果最好。這就說明通過調節不同的步長參數l使得VFWEO在對不同頻率中心fC的調制信號進行解調時，都可以得到理想的解調效果，有效地提取出故障沖擊。當計算得到的步長參數l為小數時，通過四舍五入取整。

3 仿真驗證

為了驗證VFWEO算子在強噪聲環境下的魯棒性，本文使用包絡解調、Teager算子解調、FWEO算子解調與VFWEO算子解調的對包含噪聲的軸承仿真信號進行分析。仿真信號的表達式為：

u(t-mTp)

(21)

式中:Am是沖擊的幅值，Am=1；Tp是故障沖擊的間隔，特征頻率FCF=1/Tp=50 Hz；ωr是故障引起共振的頻率，ωr=1 000 Hz；β是阻尼系數，β=1 500 N·s/m。

仿真信號的采樣頻率為20 kHz，信號長度為16 384個采樣點。仿真信號加入SNR=-5 dB的白噪聲和100 Hz與800 Hz的正弦干擾信號。仿真信號的時域波形、加噪信號的時域波形與頻譜如圖1所示。

如圖1(c)所示，信號的共振頻帶在1 000 Hz附近。根據公式(20),計算所得步長參數l=5。四種解調算法的解調效果，如圖2所示。

(a) 原始信號

(b) 加噪信號

(c) 加噪信號頻率圖1 仿真信號Fig.1 The simulated signal

(a) 包絡譜

(b) Teager譜

(c) FWEO譜

(d) VFWEO譜圖2 不同算子解調效果對比Fig.2 Comparison of demodulation results of different operators

圖3 不同步長參數的解調效果對比Fig.3 Comparison of demodulation results of different step parameters

為了驗證式(20)所計算的最優步長參數具有最好的解調特性，計算了不同步長參數l對應的VFWEO譜。步長參數的取值范圍為1～5，各個步長參數下的VFWEO譜如圖3所示。當步長參數l=1時，VFWEO算子就是FWEO算子。此時，故障沖擊被淹沒于噪聲之中。隨著步長參數l的增加x(n+l)與x(n-l)的差值越來越大。因此，VFWEO對故障沖擊的提取效果更好，所以特征頻率及其倍頻的幅值隨著步長參數的增加而增加。當步長參數l=5時，無論是幅值還是諧波數量都達到最大。此時的解調效果最佳，其結果與式(20)計算相同。這就證明，通過調節步長參數可以增強與之對應的共振頻帶的解調效果。

研究發現，在進行解調時與步長參數l相對應的共振頻帶的幅值最大，而其它共振頻帶的幅值較小。通過調節步長參數可以實現特定頻帶的解調。為了驗證VFWEO中步長參數針對不同共振頻帶的解調效果，本文構造了包含兩個故障信息的軸承仿真信號，其表達式如式(21)所示。仿真信號的參數，如表1所示。

表1 仿真信號參數Tab.1 Parameters of simulated signals

加入SNR=-5的高斯白噪聲，仿真信號的傅里葉譜，如圖4所示。

從圖4中可以看出，該仿真信號包含兩個共振頻帶，中心頻率分別在1 000 Hz和5 000 Hz附近。

圖4 仿真信號頻譜Fig.4 The Fourier spectrum of simulated signal

根據式(20)計算可得，當步長參數l=1時，VFWEO對應中心頻率為5 000 Hz的共振頻帶。其解調結果如下圖5(a)所示，VFWEO譜中的主要為故障2的特征頻率及其諧波。根據式(20)計算可得，當尺度參數l=5時，VFWEO對應的為中心頻率為1 000 Hz的共振頻帶。其解調結果如下圖5(b)所示，VFWEO譜中的主要為故障1的特征頻率及其諧波。實驗表明，通過調節步長參數從而實現了針對不同頻帶的解調。

(a) l=1

(b) l=5圖5 VFWEO譜Fig.5 The VFWEO spectrum

4 實驗驗證

4.1 美國西儲大學軸承數據庫

美國西儲大學軸承數據庫作為一個標準的軸承故障診斷算法驗證數據庫，被廣泛用于驗證算法的有效性[12]。本文選用驅動端外圈故障信號，采樣頻率為12 kHz，數據長度為16 384個采樣點，轉速為1 730 r/min,外圈故障特征頻率fBPFO=103.3 Hz。其實驗裝置，如圖6所示。

實測信號如圖7所示，分析實測信號的頻譜可以發現共振頻帶主要集中在3 000 Hz附近。根據式(20)，計算可得步長參數l=1。此時，VFWEO算子與FWEO算子計算結果相同。

包絡解調、Teager解調和VFWEO解調結果的頻譜如下圖8所示。包絡譜、Teager和VFWEO譜中都可以發現很明顯的軸承外圈故障的特征頻率及其倍頻。但是包絡譜和Teager譜中的5倍頻的幅值高于4倍頻的幅值，而只有VFWEO譜中的倍頻呈指數衰減。因此，VFWEO算子解調相比較于包絡解調與Teager算子解調具有更好的解調效果。

圖6 實驗裝置Fig.6 The experimental device

(a) 時域波形

(b) 信號頻譜圖7 實測信號Fig.7 The measured signal

(a) 包絡譜

(b) Teager譜

(c) VFWEO譜圖8 不同算子解調效果對比Fig.8 Comparison of demodulation results of different operators

4.2 高速列車軸箱軸承故障實驗臺

由于美國西儲大學軸承數據庫中的信號的信噪比較高且頻譜成分較簡單，所以幾種傳統的解調算法都可以實現特征頻率的提取。為了進一步驗證VFWEO算子針對不同頻帶的解調效果，本文使用高速列車軸箱軸承故障實驗臺的振動數據進行了進一步驗證。實驗裝置，如圖9所示。

圖9 實驗裝置Fig.9 The experimental device

振動信號的采樣頻率為10 kHz，數據長度為16 384個采樣點。軸承的故障類型為滾子故障，轉動頻率fr為5.1 Hz，特征頻率fBSF為33.9 Hz。其振動信號的時域波形與頻譜，如圖10所示。

(a) 時域波形

(b) 信號頻譜圖10 實測信號Fig.10 The measured signal

為了驗證VFWEO的有效性，使用包絡解調、Teager算子解調、FWEO算子解調與VFWEO算子解調對振動信號進行了分析。如圖10(b)所示，實測信號存在三個可能的共振頻帶，它們的頻帶中心分別是大約：500 Hz、1 500 Hz和3 400 Hz。因此根據式(20)，它們分別對應的步長參數為：5、2和1。當步長參數l=1時，VFWEO簡化為FWEO。包絡解調與Teager算子解調的結果如圖11所示。由于信號的頻譜中包含多個共振頻帶與干擾，所以，包絡解調無法解調出故障信息。而Teager算子由于其抗干擾性優于包絡解調，所以可以解調出滾子的特征頻率及其諧波。

(a) 包絡譜

(b) Teager譜圖11 傳統算子解調Fig.11 The demodulation results of traditional operators

(a) l=1

(b) l=2

(c) l=5圖12 VFWEO譜Fig.12 The VFWEO spectrum

如圖12所示為不同參數下VFWEO譜。當步長參數l=1，2時，VFWEO可以解調出滾子故障的特征頻率及其倍頻；當步長參數l=5時，VFWEO可以解調出與轉頻有關的特征頻率。所以，通過改變步長參數VFWEO可以實現針對不同頻帶的解調。為了進一步證明解調效果，使用經驗小波變換與尺度空間表示對故障信號進行預處理[13-14]。通過尺度空間表示可以自適應的實現共振頻帶的劃分，然后經驗小波變換可以根據頻帶劃分生成對應的濾波器組，這些濾波器組可以實現信號的自適應分解。通過尺度空間表示計算，信號的頻譜及其頻帶劃分，如圖13所示。

圖13 頻帶劃分Fig.13 Detected boundaries

根據如圖13所示的頻帶劃分,信號被分解成為三個分量，其對應的頻帶區間分別為:[0, 978 Hz]、[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]。它們的包絡譜，如圖14所示。

(a)[0,978 Hz]

(b)[978 Hz, 2 524 Hz]

(c)[978 Hz, 5 000 Hz]圖14 包絡譜Fig.14 The envelope spectrum

如圖14所示,在[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]區間的包絡譜中的頻率成分為滾子的特征頻率及其諧波。但是在圖14(a)中，存在很明顯的電源干擾成分。這就導致轉頻的2倍頻2fr及其諧波沒有VFWEO譜中明顯。為了進一步降低干擾的影響，使用VFWEO對EWT分解后的分量進行解調，其VFWEO譜，如圖15所示。

如圖15所示,在[978 Hz, 2 524 Hz]和[2 524 Hz, 5 000 Hz]區間的包絡譜中，可以發現滾子的特征頻率及其諧波。在圖15(a)中，轉頻的2倍頻2fr及其諧波更明顯，說明干擾的影響進一步降低。

(a)[0,978 Hz]

(b)[978 Hz, 2 524 Hz]

(c)[978 Hz, 5 000 Hz]圖15 VFWEO譜Fig.15 The VFWEO spectrum

4 結 論

變步長頻率加權能量算子通過使用變步長中點平均差分代替傳統的中點平均差分，從而改善了頻率加權能量算子在中心頻率較低時魯棒性差的缺點。同時，研究發現不同的步長參數可以實現針對不同的共振頻帶的解調。因此，變步長頻率權重能量算子可以在未進行信號分解的前提下實現對不同共振頻帶的解調。變步長頻率加權能量算子簡化了信號處理的步驟，使其在工程實際領域中具有較高的應用價值。最后使用仿真信號與實測信號對該算法進行了驗證。實驗表明該算法可以在強噪聲環境下有效的實現不同頻帶的解調從而提取其中的故障信息，實現早期微弱故障的診斷與報警。