沖擊漸進振動系統的雙參數分岔分析

呂小紅, 羅冠煒

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院， 蘭州 730070； 2. 甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室， 蘭州 730070)

沖擊振動現象大量存在于動力機械系統中，這會使得系統呈現復雜的動力學響應。因此，沖擊振動系統動力學的研究是近十幾年來機械和振動工程界感興趣的一個研究方向，同時，沖擊振動系統動力學的應用研究也引起了很多學者的關注。Wen等[1]研究了沖擊振動系統的退化Hopf分岔。張永祥等[2]研究了沖擊振動系統在余維三分岔點鄰域內的動力學特性。樂源[3]推導了三自由度沖擊振動系統對稱周期運動的解析表達式，研究了對稱不動點在余維二分岔點鄰域內的局部兩參數動力學行為。李群宏等[4]結合理論推導和數值模擬研究了雙自由度碰振系統的單碰亞諧運動。朱喜鋒等[5]研究了兩自由度軟沖擊振動系統的顫振運動及其轉遷規律。張思進等[6]推導了線性碰振系統單碰周期振動的擦邊分岔方程，并以單自由度系統為例驗證了解析結果的正確性。Chillingworth[7]和Humphries等[8]應用不連續幾何的拓撲方法研究了碰撞振動系統在擦邊分岔點附近鞍結分岔存在與否的原因。Liu等[9]研究了三自由度碰撞振動系統的光滑和非光滑分岔，揭示了系統在擦邊分岔點附近的不連續跳躍和多解共存現象。馮進鈐等[10-11]基于圖胞映射理論研究了確定和隨機兩種情形下，Duffing碰撞振子擦邊誘導的兩種激變形式，以及鞍結分岔、混沌鞍激變分岔和混沌內部激變分岔等三類分岔的動力學。Peterka等[12-13]研究了沖擊振動系統各類周期振動的存在域和穩定性問題，揭示了系統周期振動的轉遷規律以及相互轉遷過程中的遲滯現象。Wiercigroch等[14-15]以沖擊鉆和鉆孔樁等帶有鉆進運動的機械系統為工程背景，研究了其動力學模型的分岔特點和動力學參數對鉆進性能的影響。

在一定參數條件下，沖擊振動系統可能呈現p/1類基本碰撞運動。國內外對此類周期振動的穩定性及分岔研究報道較少，而且已有的對沖擊振動系統動力學的研究基本都是基于單參數分岔進行分析的，很難全面揭示系統豐富的動力學行為和周期振動的分岔特點。本文以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立了考慮緩沖墊和支撐介質黏彈性的沖擊漸進振動系統的力學模型。研究系統的各類周期振動在二維參數(激振頻率ω和預壓量l)平面內的參數區域和分布規律，揭示p/1基本碰撞運動的分岔特點，為解決特定工程實際問題提供一定的理論依據和參考。

1 沖擊漸進振動系統的動力學模型

圖1 力學模型Fig.1 Mechanical model

引入以下無量綱參數

(1)

(2)

(3)

激振器M1與緩沖墊黏滯運動過程中，F1>0。待F1減小至零時，兩者分離。黏滯運動結束瞬間，F1=0，x1=x3+l。黏滯運動結束后，激振器M1自由振動，緩沖墊在其自身彈性和阻尼的作用下恢復到平衡狀態，隨質塊M2一起自由振動。

用P0表示作用于滑塊的彈性恢復力和阻尼力的合力，有

(4)

當激振器M1第k次沖擊緩沖墊后，兩者黏滯向下運動，彈簧K3被壓縮，最終使得作用于滑塊的合力P0的絕對值增加。當P0滿足-P0>f時，滑塊克服干摩擦力f漸進運動，漸進的深度為lk，同時系統向下平移lk。當P0的絕對值減小至等于干摩擦力f時，滑塊漸進運動過程結束，滑塊與周圍介質接觸面間的摩擦力f由動摩擦力變為靜摩擦力，直到滑塊開始下一次漸進運動為止。不管滑塊處于哪種狀態，系統的靜平衡位置相對滑塊而言都沒有改變。

2.3.2 藥物因素 在對危重患者實施治療的過程中，某些藥物可導致患者出現一系列不良心理反應。如使用利多卡因治療心律不齊，當靜脈滴注速度達到4 mg/min時，大部分患者可出現譫妄等精神癥狀［5］。將巴比妥類，抗膽堿能藥(尤其是東莨菪堿)作為術前用藥，將增加麻醉蘇醒期興奮、煩躁的發生率。氯胺酮麻醉后的患者發生情感改變的概率較高，因麻醉性鎮痛藥引起的蘇醒延長，常用納洛酮進行拮抗，但納洛酮同時會逆轉阿片激動劑的所有作用，包括鎮痛。患者會突然出現疼痛，引起明顯的交感神經興奮等［14］。

根據前面的分析，激振器M1沖擊緩沖墊后，兩者或黏滯運動然后分離，或立即分離，直至下次沖擊發生。滑塊靜止或漸進運動。因此，系統在漸進振動過程中可能呈現四種不同的運動狀態。下面給出每種運動狀態的判斷條件及運動微分方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

X′=f(v,X)

(9)

2 基本碰撞運動的參數域和分岔特點

選取一組參數：μm=0.35，μk=0.03，μc=0.03，μk3=0.7，μc3=0.7，ζ=0.1，f=0.5，應用前面定義的兩種Poincaré映射辨識在二維參數平面(ω∈(0.04，1)，l∈(0，15))內各點處，系統呈現的周期振動的類型如圖2(a)所示。在圖中沒有用符號p/n標注的灰色區域內，系統主要呈現概周期運動或混沌運動。在圖2(a)所示二維參數區域內，系統主要呈現p/1(p=1, 2, 3)類基本碰撞運動。圖2(b)為p/1基本碰撞運動的分岔線示意圖。圖中PD表示周期倍化分岔線，PB表示周期泡型分岔線，Gr表示實擦邊分岔線，Gb表示虛擦邊分岔線，SN表示鞍結分岔線，MS表示多重滑移分岔線，HP表示Hopf分岔線。圖2(c)和圖2(d)分別為激振器M1沖擊緩沖墊的速度和滑塊在一定時間內(t=200)的漸進量在(ω，l)參數平面內的分布圖。圖中1/1振動的響應和其余類型振動的響應分別用不同的顏色線型表示。圖3(a)和圖3 (b)為ω=0.5，l=0.5時，系統呈現1/1基本碰撞運動的相圖和時間歷程圖。每個激振力周期內，激振器M1沖擊緩沖墊一次，沖擊后，兩者黏滯向下運動。當作用于滑塊的合力P0滿足-P0>f時，滑塊克服干摩擦力f漸進運動，且具有一定的漸進量。

2.1 1/1基本碰撞運動的分岔分析

如圖2(a)所示，1/1基本碰撞運動的參數域被灰色區域分割為兩個子區域S1和S2。子區域S1的邊界線為1/1基本碰撞運動的虛擦邊分岔線(Gb)、Hopf分岔線(HP)和周期倍化分岔線(PD)。子區域S2的邊界線為1/1基本碰撞運動的多重滑移分岔線(MS)和周期倍化分岔線(PD)，見圖2(b)。在子區域S1和S2中，增加ω穿越周期倍化分岔線(PD)時，1/1基本碰撞運動經周期倍化分岔產生2/2周期振動。ω繼續增加，1/1基本碰撞運動的分岔過程受預壓量l的影響較大。當l很小時，2/2周期振動經周期倍化分岔產生4/4周期振動，ω進一步增加，系統在一個振動周期內，沖擊速度最小的一次沖擊逐漸消失，4/4周期振動經鞍結分岔產生3/4周期振動，見圖4(a)。對于略大的l，當ω增加時，1/1基本碰撞運動經倍周期序列最終通向混沌，見圖4(b)。

在子區域S1中，減小ω穿越擦邊分岔線時，1/1基本碰撞運動發生擦邊分岔，使得系統在一個振動周期內的激振力周期數和碰撞次數都發生了變化，根據文獻[16]的結論，此擦邊分岔線為虛擦邊分岔線(Gb)。由圖2(a)可見，在子區域S1和2/1基本碰撞運動的參數域之間存在一個中間過渡區域。中間過渡區域的右邊界線為1/1基本碰撞運動的虛擦邊分岔線(Gb)，左邊界線為2/1基本碰撞運動的周期倍化分岔線(PD)。l增加，中間過渡區域對應的ω區間略有增加。中間過渡區域內，存在3/2，4/2和4/3等周期振動的參數島。固定l，當ω變化時，中間過渡區域內存在兩種轉遷過程，分別對應小l區間和較大的l區間。以l=3.0和l=8.0為例，圖4(c)和圖4 (d)給出了兩種轉遷過程的單參數分岔圖。圖中4/2周期振動由2/1基本碰撞運動的周期倍化分岔產生，3/2周期振動和4/2周期振動之間經實擦邊分岔和鞍結分岔相互轉遷。由此可見，由于虛擦邊分岔的發生，使得1/1基本碰撞運動在向穩定的2/1基本碰撞運動轉遷的過程中出現一個中間過渡區域。中間過渡區域內的2/1基本碰撞運動都是不穩定的，系統由不穩定的2/1基本碰撞運動轉遷為3/2或4/3等周期振動或混沌運動。ω繼續減小，2/1基本碰撞運動逐漸由不穩定變為穩定，系統的運動退出中間過渡區域，嵌入2/1基本碰撞運動的參數域。

(a) 參數域分布圖(b) 分岔線示意圖

(c) 沖擊速度分布圖

(d) 有限時間內滑塊的漸進量分布圖圖2 二維參數平面分布圖Fig.2 Distribution diagram in two-dimensional parameter plane

(a) 相圖(b) 時間歷程圖

圖3 1/1基本碰撞運動的響應圖

Fig.3 Response of 1/1 fundamental impact motion

子區域S1和灰色區域之間的分界線為1/1基本碰撞運動的Hopf分岔線(HP)。以l=8.0為例，圖4(e)和(f)給出了1/1基本碰撞運動隨ω變化發生Hopf分岔產生概周期運動，然后經擦邊概周期運動轉遷為混沌的單參數分岔圖。當ω= 0.558 5時，1/1基本碰撞運動發生Hopf分岔，產生概周期運動，圖5(a)給出了ω=0.559時的Poincaré映射圖和時間歷程圖。ω增加，環面逐漸擴張。在某相鄰兩次沖擊之間，出現了激振器M1上下往復振動兩次，沖擊一次緩沖墊的運動過程。ω繼續增加，沒有沖擊的一次振動的振幅逐漸增加，最終使激振器M1與緩沖墊擦碰接觸，系統呈現1/1基本碰撞運動的擦邊概周期運動，見圖5(b)。當ω=0.562時，取Hopf分岔前1/1基本碰撞運動的不動點為初始映射點，當映射至第556次時，激振器M1以很小的速度沖擊緩沖墊。第555次和第557次沖擊的時間間隔大約為一個激振力周期，即在1/1運動的概周期運動模式中夾雜有近似2/1運動，導致系統的相位角發生突變，環面震蕩，Poincaré映射圖出現兩塊區域，概周期運動經擦邊分岔轉遷為混沌，見圖5 (c)。

(a) l=0.5(b) l=2.0

(c) l=3.0(d) l=8.0

(e) l=8.0(f) l=8.0

圖4 1/1基本碰撞運動的分岔圖

Fig.4 Bifurcation diagrams of 1/1 fundamental impact motion

(a) 概周期運動，ω=0.559

(b) 擦邊概周期運動，ω=0.561 5

(c) 混沌，ω=0.562圖5 Poincaré映射圖和時間歷程圖，l=8.0Fig.5 Poincaré maps and time series, l=8.0

子區域S2的左邊界線為1/1基本碰撞運動的多重滑移分岔線(Multi-Sliding Bifurcation)(MS)。以l=12.0為例進行分析，圖6(a)為ω=0.6，系統呈現1/1基本碰撞運動時，激振器M1和緩沖墊的相對位移時間歷程圖。一個激振力周期內，激振器M1沖擊一次緩沖墊。沖擊后，兩者黏滯運動，見圖6(a)中的水平直線。當ω減小至大約0.55附近時，黏滯期內出現了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現象，即所謂的隆起現象，見圖6(b)，使得系統在一個激振力周期內的碰撞次數和黏滯次數各增加一次，呈現2/1基本碰撞運動。Wagg[17]研究了兩自由度振動系統在黏滯期內的隆起現象，由此產生的分岔稱為隆起分岔(Rising bifurcation)，然后證明了隆起分岔在性質上與摩擦振動系統和繼電反饋系統中的多重滑移分岔相似。因此，子區域S2的左邊界線為1/1基本碰撞運動的多重滑移分岔線。

(a) 1/1基本碰撞運動，ω=0.6

(b) 2/1基本碰撞運動，ω=0.55圖6 相對運動的時間歷程圖，l=12.0Fig.6 Time series of relative motion, l=12.0

在子區域S2中嵌有一個2/2周期振動的小面積的參數島，其與子區域S2之間的分界線為1/1基本碰撞運動的周期泡型分岔線(PB)，見圖2(a)和圖2(b)。當ω增加或減小時，系統的分岔過程為：1/1基本碰撞運動→周期倍化分岔→2/2周期振動→逆周期倍化分岔→1/1基本碰撞運動。圖7給出了l=15.0時，系統發生周期泡型分岔的單參數分岔圖。

圖7 周期泡型分岔，l=15.0Fig.7 Type of periodic bubble bifurcation, l=15.0

2.2 2/1基本碰撞運動的分岔分析

由圖2(a)可見，2/1基本碰撞運動的參數域也被分割為兩個子區域S3和S4。由前面的分析可知，子區域S3的上邊界線為1/1基本碰撞運動的多重滑移分岔線(MS)，右邊界線為2/1基本碰撞運動的周期倍化分岔線(PD)，見圖2(b)。在子區域S3的左邊界線上存在一個奇異點X。奇異點X是2/1基本碰撞運動的實擦邊分岔線(Gr)和虛擦邊分岔線(Gb)以及3/1基本碰撞運動的鞍結分岔線(SN)和周期倍化分岔線(PD)的交點。在llx的區域內，子區域S3的左邊界線為2/1基本碰撞運動的虛擦邊分岔線(Gb)。由于虛擦邊分岔的發生，使得2/1基本碰撞運動在向穩定的3/1基本碰撞運動轉遷的過程中出現一個中間過渡區域，見圖2(a)。中間過渡區域被2/1基本碰撞運動的虛擦邊分岔線(Gb)和3/1基本碰撞運動的周期倍化分岔線(PD)包圍。中間過渡區域內，存在5/2和6/2周期振動的參數島。其中，6/2周期振動由3/1基本碰撞運動的周期倍化分岔產生，5/2周期振動和6/2周期振動之間經實擦邊分岔和鞍結分岔相互轉遷。以l=12.0為例，圖8(b)給出了ω穿越中間過渡區域時的單參數分岔圖。

(a) l=3.0(b) l=12.0

圖8 2/1基本碰撞運動的分岔圖

Fig.8 Bifurcation diagrams of 2/1 fundamental impact motion

子區域S4和3/1基本碰撞運動的參數域之間的分界線為2/1基本碰撞運動的多重滑移分岔線(MS)。以l=12.0為例進行分析，圖9(a)為ω=0.43，系統呈現2/1基本碰撞運動時，激振器M1和緩沖墊的相對位移時間歷程圖。一個激振力周期內，激振器M1沖擊兩次緩沖墊。每次沖擊后，兩者黏滯運動，見圖9(a)中的水平直線。其中第二次沖擊后的黏滯運動時間比第一次沖擊后的黏滯運動時間較長。當ω增加至大約0.45附近時，第二次黏滯期內出現了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現象，2/1基本碰撞運動發生多重滑移分岔，使得系統在一個激振力周期內的碰撞次數和黏滯次數各增加一次，呈現3/1基本碰撞運動，見圖9(b)。

(a) 2/1基本碰撞運動，ω=0.43

(b) 3/1基本碰撞運動，ω=0.45圖9 相對運動的時間歷程圖，l=12.0Fig.9 Time series of relative motion, l=12.0

3 基本碰撞運動的沖擊速度和滑塊漸進量

為了更全面、更深入的認識圖1所示系統的動力學性能，需要研究系統參數、沖擊速度和滑塊漸進率之間的關聯關系。由圖2(a)，圖2 (c)和圖2 (d)可見，激振器M1沖擊緩沖墊的速度越大，滑塊的漸進率越好。對于p/1基本碰撞運動而言，p越大，其沖擊速度的峰值以及滑塊在有限時間內的漸進量的峰值越大。但是，p越大，意味著在一個激振力周期內，激振器M1沖擊緩沖墊的次數越多，引起不利的后果越明顯。因此，綜合考慮各方面因素，實際工程應用應優先選擇1/1基本碰撞運動的最大漸進量。在1/1基本碰撞運動的子區域S1中，l增大，存在1/1基本碰撞運動的ω區間增加，但是沖擊速度的峰值和滑塊在有限時間內(t=300)的最大漸進量卻減小。選擇合適的預壓量，并確定動力學參數的合理匹配規律，有利于使系統在較寬的激振頻率區間呈現穩定的1/1基本碰撞運動，并獲得較大的瞬時沖擊速度和較好的漸進效果。

4 結 論

本文建立了考慮緩沖墊和支撐介質黏彈性并能夠模擬有界漸進運動的沖擊漸進振動系統的力學模型。通過二維參數分岔分析得到在二維參數平面(ω∈(0.04，1)，l∈(0，15))內各點處，系統呈現的周期振動的類型，揭示了1/1和2/1基本碰撞運動的分岔特點，以及系統參數、沖擊速度和滑塊漸進率之間的關聯關系。

(1)ω增加，1/1基本碰撞運動通常發生周期倍化分岔產生2/2周期振動。ω減小時，1/1基本碰撞運動的分岔特點跟預壓量l有關。在小l區域內，減小ω，1/1基本碰撞運動經虛擦邊分岔產生不穩定的2/1基本碰撞運動。在大l區域內，減小ω，1/1基本碰撞運動經多重滑移分岔產生2/1基本碰撞運動。此外，在一定的參數條件下，系統呈現1/1基本碰撞運動的概周期運動和周期泡現象。

(2)ω變化時，2/1基本碰撞運動經實擦邊分岔，虛擦邊分岔或多重滑移分岔產生3/1基本碰撞運動。由于p/1(p=1, 2)基本碰撞運動的虛擦邊分岔，使得p/1基本碰撞運動在向穩定的(p+1)/1基本碰撞運動轉遷的過程中出現一個中間過渡區域。中間過渡區域內，存在(2p+2)/2，(2p+1)/2和(3p+1)/3等周期振動的參數島。

(3) 激振器M1沖擊緩沖墊的速度越大，滑塊的漸進率越好。對于p/1基本碰撞運動而言，p越大，其沖擊速度的峰值以及滑塊在有限時間內的漸進量的峰值越大，但引起不利的后果越明顯。因此，實際工程應用的最佳選擇應該是使系統工作于1/1基本碰撞運動的沖擊速度峰值附近。