基于索引冗余字典的軸承故障組稀疏分類方法研究

鄧 韜， 林建輝， 黃晨光， 靳 行

(1. 西南民族大學 電氣信息工程學院, 成都 610041; 2. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室,成都 610031)

高速列車輪對軸承故障檢測的重點在于其早期故障預警。聲發射檢測作為一種故障早期檢測手段其信號比振動加速度頻率范圍寬、包含的信息量大，能捕捉軸承微小的故障信號。軸承內部運動狀態復雜，滾動體與保持架、內外圈、擋邊之間呈現高度復雜的運動關系，故障信號易出現雙沖擊混疊等，加上其他噪聲干擾給聲發射信號特征提取及其故障診斷帶來一定困難[1]。輪軸故障的診斷實際上就是對故障信號進行模式分類，提高分類器的工程實用性是高性能分類器研究的重要目標之一。

目前對高速列車軸承故障的多級、多態分辨仍存在困難。如采用人工神經網絡易陷入局部極小值，其結構類型依賴于經驗[2]。SVM方法在多分類時難以保證內部所有的二分類器核參數及懲罰因子選取的最優性。近年采用稀疏表示的分類方法(Sparse Representation-based Classification, SRC)在圖像、語音分類上表現優異，無需多個二分類器組合[3]，僅通過樣本在字典下稀疏解的重構，就可實現理想的多分類效果。研究軸承故障聲發射信號的SRC分類，對高速列車運營安全有積極意義。

文獻[4]揭示了SRC優異性能更多是基于樣本間協作而非稀疏性, 并以L2范數替換L1范數設計了協作表示分類器(Collaborative Representation Classifer, CRC)提升分類速度，但未考慮樣本類標簽。Majumdar等[5]提出采用L1L2混合范數求解的組稀疏分解模型(Group SRC)，可減小稀疏系數分散，實現最佳相關原子選取。此外，基于核協作表示分類器[6]和加權的組稀疏算法[7](Weighted GSR)也相繼出現，前者通過核空間取代字典原子和信號的內積運算來解決范數歸一化問題，對非線性成分更敏感，但分類效果和優化機制還有待驗證。后者通過距離加權做約束，但復雜信號匹配差，且距離約束方法與組范數特性相違背。

本文針對軸承故障的組稀疏分類，設計了一種帶索引的故障冗余字典，利用信號多尺度排列熵為原子構成索引字典，實現快速預匹配以縮小故障類范圍，加快收斂速度。通過在組LASSO算法中結合鄰近梯度與最優一階優化來減小計算量；在字典原子獲取上，利用改進EEMD結合VMD方法對輪對信號作分解，實現原子自適應獲取，以保留故障非線性特征。同時設計了一種原子區間平移稀疏編碼方法來提高原子匹配性。

1 組稀疏分類

1.1 GSRC原理

定義一個超完備字典D=[d1,d2,…,dK]，D∈Rm×n，D中內部原子數為n，m代表每個原子的長度，di代表每個類別原子集合。設X∈Rm是待稀疏分類的目標信號，則基于字典D對X進行稀疏逼近可通過下式表述

(1)

式中：C為稀疏分解系數向量，稀疏分類的前提是基于足夠多的原子，目標信號能用其所屬類別中原子的某種線性組合進行表述。當一個超完備字典包含數個不同類別原子時，目標信號稀疏表示的非零值將主要對應其所屬類別原子，稀疏逼近誤差為

(2)

尋找稀疏重構誤差最小的那類就可判斷目標信號的分類，即

identity(X)=argmin(εi)

(3)

要獲得最終分類結果，實際上是解決凸優化問題。

1.2 組LASSO方法

凸優化求解主要有基追蹤(BP)、匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤(OMP)和基于迭代回歸的凸松弛算法(LASSO)等[8]。以L0范數求解最優稀疏模型是個NP難問題，LASSO算法最初由Tibshirani等對特征系數通過L1范數約束來計算，通過對稀疏系數絕對值懲罰，使絕對值之和小于某常數而不相關原子系數接近零來求解。但字典內部特征之間存在的組效應使L1范數求解存在稀疏系數分散問題，于是考慮采用L2范數的組LASSO進行GSRC求解。對一個組分類問題，設字典D共有K類n個樣本構成，則第i類樣本矩陣為

Di=[di,1,di,2,…,di,ni]∈Rm×ni

(4)

所有類別構成的組稀疏向量為

C=[0,…,0,ci,1,ci,2,…,ci,ni,0,…,0]T∈Rn

(5)

給定一種分類信號，不失一般，僅有若干特征對這一信號具有區別性，即從中所提取的特征對某一特定信號而言是冗余的。式(5)中除與第i類樣本對應的系數外其余系數均為0或逼近0，體現出了同類樣本的集中性和其他類樣本的稀疏性。基于L1L2混合范數約束的GSRC模型可表述為

(6)

該模型可減小在多相關類中零散選擇樣本的情況，強化在同一相關類中原子選擇的集中性，同時實現各組內原子的最優選擇。

1.3 組LASSO求解

LASSO優化求解常采用最小角回歸、快速乘法交替方向、塊稀疏匹配追蹤和梯度下降法。梯度下降法在計算復雜度上有一定優勢，是利用迭代公式和局部梯度信息計算的一種一階方法，即

(7)

(8)

梯度步長求解鄰近運算有

(9)

通過鄰近梯度法獲得ck展開的目標函數為

(10)

式中:ρ∈[0,1]為正則化參數，以平衡過擬合與稀疏性，搜索點bi為bi=ci+ωi(ci-ci-1)其中ωi為調節系數。對式(10)采用最優一階加速算法有

(11)

通過設定軟閾值即可求解，可明顯減小計算量。

2 自適應原子故障類字典

2.1 自適應原子提取

字典可分為參數化的分析字典和基于訓練的學習字典。前者通過參數波形函數獲取原子，如Fourier字典、Gabor字典和基于小波時間尺度字典等，其理論成熟構造簡單，但適應性和稀疏性差。學習型字典通過學習和訓練獲得與目標信號在結構和形態上更匹配的原子庫，如采用K-SVD方法對字典原子逐列更新，但配性能仍依賴初始原子。

經驗模態分解(EMD)無需基函數就可實現信號的自適應拆分，前期在文獻[9]中提出了一種軸承故障聲發射信號提取的改進噪聲加入EEMD方法，分解效果較好。若把包含聲發射特征頻段的幾個高頻模態作為字典初始原子，將獲得稀疏性很高且原子都為自適應獲取的字典。但從原子體積和復雜度上看該分解并不充分，IMF內部復雜構成和噪聲干擾將弱化其匹配性，因此有必要對IMF作進一步拆分。

VMD作為一種新的信號拆分新手段，通過不同頻率中心及帶寬迭代搜尋變分模型自適應對信號進行分離，本質是尋找所設定的K個固有模態函數估計帶寬之和達到最小。考慮約束變分問題

(12)

式中:{uk}是模態集合，{wk}是其中心頻率集合，σ(t)為脈沖函數；對uk分別作Hilbert變換并與指數函數e-jwkt相乘可估算uk中心頻率wk。計算wk在基頻帶調制信號梯度L2范數，可估計uk帶寬。引入一個擴展Lagrange函數

(13)

(14)

(15)

(16)

式中:τ為步長，若滿足收斂條件c則停止更新，即

(17)

VMD方法雖然是自適應進行的，但結果受分量個數K和懲罰參數α影響。根據經驗，α可參考信號采樣率進行設置，不應偏離太多。K過小會出現欠分解，過大則易出現虛假模態。虛假模態與相鄰模態中心頻率相隔很近，因此考慮以各模態分量中心頻率的最小間距限定K取值上限來避免過分解，即設定較大初始K值逐次遞減做計算，直至中心頻率間隔滿足要求。

利用EMD分解剔除低頻干擾后對剩余IMF做VMD分解易提取出較低能量的高頻信息，且IMF相對窄的帶寬可降低K值。把分解出的若干窄帶模態作為字典原子，原子復雜性顯著降低，因整個過程是自適應的，所以仍可保障匹配稀疏性。

2.2 原子區間平移稀疏編碼

軸承故障一般呈現周期性，從訓練數據和待分類數據中截斷提取樣本難以確保故障沖擊波形總是位于截斷數據的正中心，這種故障信號在時間軸上偏移造成的匹配誤差會影響稀疏分解效果。

Smith等提出的移不變稀疏編碼方法(Shift Invariant Sparse Coding, SISC),把同一模式沿時間軸平移當做獨立事件，利用基函數的移不變性，即字典中原子與稀疏系數通過卷積運算實現信號逼近，每一近似波形都通過同一原子的任意時移來表達。SISC對周期信號的匹配性更強，但求解稀疏基計算量較大。對此有學者提出如差分求導或轉化為頻域求和來簡化計算[10]。受SISC算法啟發，為進一步簡化計算，提出一種原子區間平移稀疏編碼方法(Interval Translation Sparse Coding，ITSC)。定義平移系數?，平移后原子為di?。圖1給出了平移操作計算步驟示意，具體步驟如下:

(2) 確定平移方向后，平移范圍變為(-0,+a)，平移中點變為+b，繼續按步驟1中內積做判斷。

(3) 依次做平移計算，直至迭代后新原子與信號內積無明顯增加時停止，此時獲得最終平移系數?。

圖1 區間平移構建新原子Fig.1 New atom from ITSC

即使原子特征波形與待分解信號偏移量大于原子長度一半，只需適當放寬a值大小，做一次迭代就可大幅修正偏移。為簡化計算，迭代平移次數可根據原子長度設定為一恒定值。該方法針對旋轉件故障信號放寬了在數據段截取上的要求，實質上是一種簡便快速的基函數平移稀疏求解方法。

3 索引組合冗余字典

3.1 索引字典與索引原子

字典體積過大會導致多組類分類計算量很大。若能以長度很短的樣本信號某一“特征”作為原子構成故障字典的“索引”，經過“索引”預先提取“最相關類”組成新字典再進行故障匹配，則無需字典中所有類別都參與計算。只要這一特征能較好區別各故障，與待分類信號匹配的原子所屬“類”將只占整個字典類的很小部分，從而加快分類速度。

索引字典原子長度越小，其匹配時間越短。當待分類信號特征索引與索引字典原子逐一匹配后，滿足不大于給定誤差εsy的索引原子所指向的故障字典類被選中，εsy足夠小時，選中的相關類字典組體積將遠小于整個故障字典組。

構建索引字典的核心是尋找適合的字典原子。排列熵(Permutation Entropy，PE)作為一種序列隨機性和動力學突變的檢測方法指標，能有效反應信號內部特征，相比條件熵和樣本熵其抗噪能力更強。但單一尺度排列熵還難以揭示復雜信號內部豐富信息。多尺度排列熵(Multiscal PE)能在多尺度下反應信號復雜性，噪聲魯棒性更好，在各尺度下都只輸出一個無量綱參數，數據很短，故本文嘗試將其作為故障聲發射信號特征來構建索引字典。

考慮一個故障序列{X(i):i=1,2,…,L}，首先對X作粗粒化處理，然后計算各尺度下排列熵。粗粒化序列可表示為{Y^ε(I):I=1,2,…,L/ε}，其中

(18)

對Yε(I)進行相空間重構，嵌入維數為m，延遲時間為t，有

(19)

式中:每行表示一個重構分量，重構個數為k，k=L-(m-1)t,j=1,2,…,k。將尺度I下Yε的m個數據按升序重新排列，可獲得如下符號序列

Sl=(j1,j2,…,jm)

(20)

(21)

Pl為1/m!時有最大值ln(m!)，歸一化排列熵為

(22)

排列熵中有3個重要參數，嵌入維數m、數據長度L和時延t。一般建議嵌入維數取3～7，m過小，重構序列會因包含狀態太少而失去意義；m過大，會使相空間重構序列均勻化，運算量增大的同時降低對細微變化的敏感性。L，m和t之間應該根據信號實際采樣率決定，L和m的取值應盡量保持正相關，t對數據序列的影響很小[11]，一般取固定值1。

3.2 索引組合冗余字典

圖2給出了基于索引組合冗余字典的GSRC輪對軸承故障狀態分類流程。

圖2 索引組合冗余字典GSRC分類流程Fig.2 The classification process of GSRC

故障樣本經改進EEMD分解后選取包含典型聲發射頻段的IMF分量做VMD分解。以含特征頻帶主能量的分量重構并計算各尺度排列熵作為索引字典原子，所有分量直接作為對應故障類初始原子。重構信號多尺度排列熵受不相關頻段影響小，而以全部分量作為故障類原子是為了方便信號重構。

待分類信號經同樣方法分解，其多尺排列熵與索引字典原子匹配后，選中滿足給定誤差范圍的索引原子對應類別構成新的相關類字典。為強化字典性能，故障類字典中原子可采用K-SVD優化。以最優一階加速組LASSO算法結合ITSC對待分類模態重構信號做組稀疏匹配即可獲得分類結果。

索引字典采用逐一匹配方式，各類間差異較大時，誤差εsy應適當放寬來防止類別漏選。差異較小且各類間排列熵分布較一致時，εsy需盡量小，以確保選中相關類字典緊湊性，減小不相關類選中概率。

4 故障分類驗證

4.1 輪軸故障設置

采用輪對跑合臺獲取列車輪對軸承故障聲發射信號，如圖3所示。WSa型聲發射傳感器固定于軸箱側方呈上下放置，采樣率1 Msps，放大倍率20 dB，試驗速度0～200 km/h。詳細制作故障設置,見表1。

圖3 試驗驗證Fig.3 Experimental platform表1 七種故障軸承設置Tab.1 Fault setting

編號故障類型故障說明1外圈內表面故障3凹痕寬深1 mm,等角分布2保持架故障滾動體間保持架斷裂3滾動體故障2滾動體凹痕寬深1 mm,間隔分布4故障1、2、3復合故障5故障1、2復合故障6故障1、3復合故障7故障2、3復合故障

4.2 字典原子獲取

聲發射數據段以包絡線峭度變化結合等時間隔抽取獲得。圖4為200 km/h下單故障和三類復合故障聲發射波形，除缺陷沖擊波形外還伴有許多其他干擾，表明軸承內各部件運動聲發射信號的復雜性。

圖4 200 km/h速度級下故障時域圖Fig.4 The 200 km/h test signals

圖5為一段滾動體聲發射信號經改進EEMD分解的IMF2波形圖，中心頻率309 kHz，頻率范圍272～353 kHz。對其做VMD分解，按中心頻率平均間隔8 kHz設定起始分量數K=10，在290 kHz、310 kHz、330 kHz和340 kHz存在相近中心頻率，見圖6(a)。K值依次遞減到6，中心頻率見圖6(b)，此時相近頻率模態消失。圖7為分解得到的6個模態，判斷前三個分量含特征頻帶主能量，據此重構計算多尺度排列熵獲取索引字典原子，所有6個分量直接作為滾動體裂紋故障類中初始原子。

圖5 滾動體裂紋改進EEMD分解后IMF2波形Fig.5 The IMF2 of a Rolling body crack signals use MEEMD

(a)

(b)圖6 K取10和6時各模態中心頻率Fig.6 The modal center frequency(K=10,K=6)

圖7 K=6時初始原子Fig.7 The initial atoms(K=6)

分別對七類故障數據做改進EEMD分解，為減小誤差，同類故障字典訓練樣本取自相同速度級。對100～400 kHz包含典型聲發射頻段的前四個IMF經VMD分解和特征頻段重構，排列熵值基本在嵌入維數為6和7時進入相對穩態，在嵌入維數取7、時延t=1時計算前12個尺度下排列熵如圖8所示。第2和第3個重構IMF多尺度排列熵變化曲線差異最明顯，選取2、3分量的多尺度排列熵作為索引原子可獲得最好的索引性能。

圖9(a)和9(b)分別為隨機抽取的10組單一滾動體故障和12組包含三類復合故障的多尺度排列熵。單一故下分布一致性好，表明多尺度排列熵作為索引字典原子是可行的，其他單一故障也有類似分布，限于篇幅此處未給出。復合故障存在幾個不同的排列熵分布，說明信號內個組分變化多，字典訓練需要更多的樣本來涵蓋可能出現的各類故障。排列熵計算中，沖擊信號較弱時應縮短計算數據長度，否則AE信號占比過少將影響計算結果。

圖8 各故障前四個IMF-VMD特征頻率多尺度排列熵

Fig.8 The multiscal PE of first 4 IMF-VMD

(a)

(b)圖9 單一滾動體故障及三種復合故障多尺度排列熵Fig.9 The multiscal PE of the Rolling body crack and the Combination failure

4.3 ITSC方法驗證

為驗證原子區間平移稀疏編碼(ITSC)效果，每類故障各取25個樣本做識別，平移范圍設為原子長度一半，以分析字典原子個數對分類識別率影響。因復合故障隨機抽取的數據段中可能只出現單一故障波形，故此時分類到所屬單一故障視為正確識別。對比結果如圖10(a)和10(b)所示，觀察字典尺寸，本文提出的ITSC方法在原子利用率上優勢明顯，在較少訓練樣本下通過原子平移和迭代尋找最佳匹配減小了訓練樣本提取壓力，利用較少原子就能實現較高精度的匹配和分類。

(a)

(b)圖10 采用ITSC前后字典尺寸與識別率的關系Fig.10 ITSC impact on dictionary size and recognition rate

4.4 分類效果對比

同一故障在100 km/h、150 km/h、200 km/h三種速度級下聲發射信號存在一定差異，為進一步檢驗本文方法分類性能，對不同速度級下單一故障各取40組數據，復合故障各取80組數據進行分類試驗，訓練樣本和待分類樣本按3∶1劃分。圖11給出了幾組待分類樣本在不同正則化參數以及是否采用ITSC編碼時稀疏系數分布和重構誤差情況。

正則化參數ρ=0.6時采用ITSC獲得七個正確分類結果，其中單一故障選中原子種類比復合故障少，整體誤差也更小，分析原因是單一故障字典中原子少且匹配性能較好，復合故障受限于訓練樣本個數以及字典體積，在原子匹配和重構誤差上會受影響。考慮聲發射信號具有瞬時性和局部性，復合故障的故障點難以同時被傳感器捕捉，此時基于排列熵的索引比對可能指向單一故障類字典。為驗證此時分類性能，根據聲發射沖擊間隔和波形比對，對包含三種復合故障軸承截取一段只包含滾動體故障的數據，采用單一滾動體故障類字典作匹配，其稀疏系數分布見圖第4行第3列。稀疏性較第3行單一故障差，原因可能是復合故障中其他缺陷產生的高頻沖擊信號并未完全衰減，存在波形疊加。試驗中復合故障訓練樣本已經包含三類單一故障信號，所以分類結果并未出錯，檢驗了方法的識別性能。

圖11 稀疏系數分布和重構誤差Fig.11 Sparse coefficient distribution and reconstruction error

進一步分析原子區間平移稀疏匹配問題，圖中第3行第3列為常規方法計算的稀疏系數，在分類誤差相近的情況下稀疏性明顯較ITSC方法差。

分析正則化參數對組稀疏分類結果的影響，圖中第4行圓點為正則化參數ρ=0且未采用索引字典計算的稀疏系數分布，此時重構精度較高，但原子選取類別跨度大。ρ=1時有最佳稀疏性(第6行方框)，但重構誤差較大。所以本文選取正則化參數為0.6以平衡組間稀疏性和重構性。

表2為三種速度級下幾種分類方法對比，均采用基于最優一階加速的組LASSO算法求解，運行CPU為2.4 G-I5，內存8 G。本文方法提取的原子單個原子長度較長，但字典原子數比采用Gabor原子學習字典少的多，原子匹配能力更強，稀疏性也更好，識別率明顯高于Gabor字典。采用索引組合字典時，雖然需要計算數據排列熵，且增加了一個字典用于索引，但在未明顯降低識別率情況下仍縮減了計算時間。通過結合本文提出的ITSC方法，分類整體計算時間雖有所增加，但識別精度顯著提高，平均重構誤差在所有方法中最低。

表2 幾種方法分類對比Tab.2 Classification performance comparison

5 結 論

(1) 改進EEMD結合VMD方法能夠自適應獲得與故障信號高度相關的字典原子，相比傳統字典構造方法能更好的保留故障信號內部信息。

(2) 多尺度排列熵能反應故障的內部信息，其構成的小體積索引字典能快速實現故障的預匹配，縮小故障類范圍，從而加快分類速度。

(3) 原子區間平移稀疏編碼算法可大幅擴展原子匹配性能，降低樣本數據截取數量和截取要求，在字典緊湊性和分解稀疏性上優勢明顯。

(4) 本文提出的GSRC方法用于軸承故障聲發射信號分類識別，無需復雜參數設置，對經驗依賴小，實現了較高的分類精度。