循序而進，發展學生幾何思維水平
——以《角的初步認識》教學為例

宋 慧 顧曉東

荷蘭學者范希爾夫婦提出了幾何思維水平發展的理論，他們認為學生幾何思維水平各層次的發展是循序漸進的，若要成功發展到某一特定層次，必須先具備前一層次的概念和思維策略。這一理論啟示我們：教師在進行小學幾何圖形認識教學時必須找準學生思維的起點，設計適合學生思維發展的教學過程，有層次地組織教學活動。

角是基本的平面圖形，“角的認識”是小學階段“圖形與幾何”領域的一個重要教學內容。蘇教版教材二年級下冊編排了《角的初步認識》，為第二學段深入認識角打下重要的基礎，直接影響學生對于角的概念理解，更關系著學生能否從依據表象為主的直觀辨認水平順利向依據特征為主的初級概念判斷水平的過渡。本文以《角的初步認識》教學為例，在范希爾夫婦幾何思維水平發展的理論指導下，通過精心設計教學活動，使學生思維水平實現從直觀水平到描述水平進而到演繹水平這三個層次循序漸進的發展。

一、整體辨認重具象，發展直觀層次幾何思維水平

范希爾夫婦認為，處于“視覺”水平（水平1）的學生能“按照外觀整體印象來辨認一些幾何圖形，直接將概念鏈接到具體模型，學生的推理由直覺主宰”。因此，在幾何圖形認識的起始階段，需要引導學生基于概念的原型具象展開認知活動，主動經歷對幾何圖形具體形象的視覺感知，進而初步建構起幾何圖形概念的視覺表征。

【教學片斷1】

師：老師帶來了兩個圖形（如下圖），可是中間部分被白紙遮住了，請你猜一猜，這兩個可能是什么圖形？

生：三角形和長方形。

師：說一說你是怎么猜的？

生1：第1個圖形有3個角，所以它是三角形。

生2：第2個圖形有4個角，可能是長方形。

師：同學們猜對了，都關注到了這兩個圖形上有角，今天就讓我們一起來認識角。

（板書：角的初步認識）

師：為了研究方便，老師把這些角從圖形上取下來（如下圖），想一想一共能取下多少個角？

生：7個。

師：同學們看，這么多角！它們長得一模一樣嗎？但是它們都是角，說明它們肯定有——？

生：相同的地方。

師：請大家仔細觀察，你能發現它們有什么相同的地方嗎？小組討論。

生1：都有個尖尖的地方。

生2：還有兩條直直的線。

師：這個尖尖的地方叫做角的頂點，還有兩條直直的線叫做角的邊。選擇一個角，把它的頂點和邊指給同桌看。

【思考】

低年級學生生活經驗不夠豐富，且抽象思維能力較弱，學生往往對直觀形態的圖形或概念更容易理解。因而在“認識角”的起始階段，如果能讓學生通過眼睛、手等各種感官來接觸、感知空間圖形的各種具體形象，將有助于他們幾何概念的直觀感悟與表象建構。鑒于認識角之前，學生已有整體認識長方形、三角形、平行四邊形等“含角”平面圖形的經驗，因此教師將長方形和三角形這兩個不同的平面圖形作為呈現角的直觀載體，讓學生充分依托原有認知經驗，主動地在不同的平面圖形上找角，經歷對角的形狀輪廓的整體辨認過程，從而使學生將相對熟悉的平面圖形中的角與本課要認識的角建立起直觀而牢固的聯系，進而把新知識納入到原有的認知結構之中。學生在頭腦中初步形成了角的獨立具象，這為學生展開畫角、做角等后續活動提供了依據，使學生的思維發展水平順利達到視覺直觀化層次。

二、同中求異重特征，發展描述層次幾何思維水平

范希爾夫婦在幾何思維水平發展理論中指出，處于“描述”水平（水平2）的學生能“通過圖形的性質來識別圖形并確定圖形的特征，能通過觀察、測量、搭建等活動，經驗性地建立圖形的性質，并用日常生活的經驗用語將這些性質描述出來”。值得注意的是，學生由“視覺”水平過渡到“描述”水平是極為不易的，這需要教師在日常教學中給予學生自主體驗的機會，讓學生通過切身動手實踐，不斷獲得并豐富活動體驗，進而展開比較、分析等思維活動，逐步達到描述層次的幾何思維水平。

【教學片斷2】

師：現在我們來畫一個角，行嗎？看誰畫得又對又快。

師：同桌互相檢查一下，同桌畫的角對嗎？

師：你跟同桌畫的角一模一樣嗎？有什么不一樣的地方？

生1：大小不一樣。

生2：邊畫的長短不一樣。

生3：角的開口方向不一樣。

師：既然大家畫的圖形樣子各不相同，可你們卻認為都是角呢？

生：因為它們都有一個頂點和兩條邊。

師：大家總結得真好。把掌聲送給自己！

師：老師還為大家準備了圓紙片、吸管和小棒。你們能親自動手做一個角，并指一指它的頂點和邊嗎？

生：能。

（學生動手操作，教師組織展示）

生1：我選擇了圓紙片，先把紙片對折一次，再對折一次，這就是我折的角。

生2：我把吸管對折，也折出了一個角。

生3：我是用兩根小棒釘在一起，這也是一個角。

生4：老師，這三種方法都可以折出角，我還有第四種折法。把吸管折一下，一邊長一些，一邊短一些，這也是角。

師：能跟大家說說理由嗎？

生4：角只要滿足有一個頂點和兩條直直的邊就可以了，不一定非要把吸管對折。

這位同學說完，另外一位同學馬上舉手補充介紹并展示：老師，圓片也并不是一定要對折，同樣也能折出角。

學生做出的各種角如下圖所示，接著教師再讓學生指一指自己所做的角中的頂點和邊。

【思考】

動手操作是學生認識圖形，探索與圖形有關知識的重要方法和途徑。在學生建立角概念的第二個幾何思維發展水平層級中，教師還應讓學生經歷畫角、做角等操作活動，引導學生觀察和比較，經歷由整體視覺直觀回歸具體形象，最終又復歸抽象描述的認識過程。學生畫角的過程必然伴隨深入思考，將“角有一個頂點”和“角有兩條邊”這些零散的知識點進行整合，同時也考慮角的開口方向可不同、角的邊可長可短、角可大可小，在多種變式中全面把握角的特征；而做角的過程中，學生比較容易感知“尖尖的地方是頂點”、“有兩條直直的邊”這兩個顯性要素，而容易忽略“角的邊可長可短”、“角的開口方向可不同”等這些隱性要素。在動手操作這個學習活動中，給學生準備豐富的材料做角，學生利用豐富的材料多次實踐，不僅做出了兩邊長度一樣的角，也做出了兩邊長短不一的角。此時，教師提出“用語言描述、解釋”的要求，這是推進學生思維發展的重要一環，學生通過自己的話語對所做圖形加以描述和解釋，雖然學生的語言比較生活化，但也能看出學生對圖形概念本質的真正理解。通過畫角和做角活動，學生不僅能用語言歸納角的顯性特征，也能用語言描述角的隱性特征，可見學生頭腦中角的概念表征已經變得清晰而鮮明，其幾何思維水平順利發展到描述、分析的層次。

三、趣味變式重推理，發展演繹層次幾何思維水平

范希爾夫婦指出，處于“非形式化的演繹”水平（水平3）的學生“能形成抽象的定義，區分概念的必要條件和充分條件”。學生學習和建構幾何圖形概念，除了要感知、把握幾何圖形的基本形狀特征外，還應進一步關注幾何圖形內部各要素之間的關系。針對學生偏重于單個要素的心理特點，教學中教師可以設計各種有趣的學習活動，引導學生通過想象和非形式化推理來深入把握圖形的內在特點，從而促使學生幾何思維水平向“非形式化的演繹”層級發展。

【教學片斷3】

師：請所有同學拿出吸管，用你的巧手做一個角。

師：讓我們一起來給角做操吧，把角變大，再把角變小……

師：給角做操，你感受到了什么？

生：角有大小，可以變大也可以變小。

師：大家用吸管做角時，老師也做了三個大小不同的角。

（邊說邊放到黑板上，并各放一個小磁鐵，如下圖所示）

師：同學們一定喜歡玩滑滑梯，如果這三個當作滑滑梯，你喜歡玩哪個？為什么？

生1：我喜歡玩第2個，第1個滑滑梯感覺是垂直的，不敢玩，會摔傷的。

師：為什么會有這種感覺？

生2：這個角角度很大。

生3：我也喜歡玩第2個，第3個滑滑梯角度很小，人不容易滑下去。

教師小結：同學們真聰明，原來滑滑梯中，角度大小的設計還有不少學問呢！

師：如果要改造一下，讓1號和3號滑滑梯也適合我們玩，能行嗎？

課件配合學生回答改變兩邊的長短，學生看到改變邊的長短達不到效果，需要改變兩邊張開的程度。

師：角的大小與邊的長短無關，與兩邊張開的大小有關。玩中有收獲，你們對角的認識又進了一步。

【思考】

對于角的顯性特征（有一個頂點、兩條直直的邊），學生認識相對比較容易，而要認識到“角的大小與兩邊張開程度有關”，則相對比較困難。如何突破實際教學中的這一難點，將學生的思維引向數學本質？這就需要教師設計有意義、有趣味的數學活動來引導學生體驗感悟。在此環節，教師設計了“滑滑梯游戲”，通過出示三種“變式圖形”，讓學生用自己的語言表述了第2個滑滑梯最合適的理由，學生的發現直指角的大小的本質，即角的大小與兩邊張開的程度有關。接著學生又試圖改造第1個滑滑梯和第3個滑滑梯，通過延長兩邊的長度，課件展示動態的變化讓學生直觀感受到角的大小與兩邊張開的程度有關，與邊的長短無關，從而使學生清晰地建立起角的大小的概念?！白兪綀D形”的呈現，幫助學生在非正式的推理和想象的過程中不斷拓展對概念內涵的深刻認識，豐富概念表象，不經意間使學生的思維更上一層樓。